大一(第一學期)高數(shù)期末考試題及答案

1、大一上學期高數(shù)期末考試-、單項選擇題(本大題有4小題， +1 設 f(x) cos X (X(A ) f (0) =2設 a =412(X)j+x(A)叢X丿是同階無窮小，但不是等價無窮小; 是等價無窮小；(C) Jx丿是比高階的無窮?。粺o窮小.sin X),則在(B ) f (0)二 1 'P( ) = 3_3廠XX每小題4分，共16分)X 0處有()»()f ( X )(C) f(0)=(D)不可導.則當T 1時()X(B 嚴(X)與%)(D) 0(x)是比)高階的3若F仗)f (X ),(A)函數(shù) (B )函數(shù)h(C)函數(shù) (D )函數(shù)洸仙其中心)在區(qū)間上5)二階可導且

2、I X)必在x= 0處取得極大值；(X)'必在x= 0處取得極小值； 'X丿在X =0處沒有極值，但點 區(qū)在x=0處沒有極值，點4.設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且(U丿丿斗.理z 丄'比1 為曲線 F(X)的拐點;(U,卜2丿丿也不是曲線y=F(X)的拐點。 f(X ) = X + 2 f (t)dt ,則 f(X ) Xs5.6.x2+(A) 2 (B ) 2 填空題(本大題有 4小題，每小題4分，共16分)2lini(l+ 3 X )sin X =p Q Q y已知是f(x)的一個原函數(shù),X2(C ) X T (D ) X "LCl / cosx貝Ijff(X

3、)d XX7.兀/ 9冗9 藥lin 一 fcos + cos -S- +11 j + cos ftnnn2 2 X arc sin x+ 11 I 2 dx1 V 1- X 2-28三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)Y=+ +=，9設函數(shù) y 60由方程"y sin (xy) 1確定，求y (x )以及y (0). 1 - x7 求 fdx10. x(i 尹)ax12設函數(shù)t gw并討論xe X，X < 0_求J2 X -x 2 ,0< X11g（X）X= Jf（xt）dtlim連續(xù)，日曲0，且gx）_設 f（X ）=XX-0 ' f（X ）dx

4、.-3F +=求微分方程2 y X h X滿足解答題（本大題 10分）A為常數(shù)求y（l）=-13.四、9的解.=>0）、斗上（01,）已知上半平面內一曲線 y"y（x） （X-，過點M q，y丿處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與X軸、y軸、直線面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）15.過坐標原點作曲線y = m X的切線，該切線與曲線y = m X及X軸圍 成平面圖形D.（1）求D的面積A；求D繞直線X = e旋轉一周所得旋轉體的體積V.六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）虹丄連續(xù)且單調遞減，證明對任意的盧0,1,14.且曲線上任一點 x

5、=x。所圍成16.設函數(shù)f（X）在Iq1f f（X）d X > q f f （x）dx0017設函數(shù) f（x）在OtJ上連續(xù)，且TTf f（X ） d X =ITJ Of（X ） cos X （fe 00內至少存在兩個不同的XF（X ） = f f（X ）dx示：設0）證明：在心兀）0J _ A _ 使f （iT f Gi 0.（提解答一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分， 共16分）1、D 2、A 3、C4、C二、填空題（本大題有14小題,COSX 2i +每小題4分，共16分）715. e®.6. 2 ( X三、解答題(本大題有 5小題， 9.解：方程兩邊求導eX弋,

6、(1+ y / C osxy(xyMy ex+y+ y cos (xy) eX ' y + X cos 仗y) =0 ,y'(0) =-17 xdx (1- u) duTTc .7.2 8.3.每小題8分，共40分)X 0,10.解:U = 原式Jyx77 uCl +u)1=Qn I u I 2 In7上h7x72duu + lu+1)+ch |1 宰 7 70xbTdx+f 血X -X 2 dx0=f xdXe-)+ f J _(X_1) 2 dx 一qW+ J_jcos2日d。(令 X 1 =5in P2f f (x)dx = f11.解：03-Lxe' -e71=

7、一2訐一14 .12.解：由土叫0 ,知 g(o) 一 0。XJ f (u)dug(X ) = If (xt)dt = °0Xxf(X)- J f a)du g '(X)=X乙XJ f(u)du g0) = Bm 一T 2X 0X乙(X- 0)xo 2 X 2Xxf(X)- J f (u)dulim g，(X)= lim2.xfTOX0處連續(xù)。應+ y= h X13.解：dx X-Pye X ( Je X h xdx"C )=Jxh X _4x +CxN3y (C, _9四、解答題(本大題0 y =丄 xln x_l X3910分)XV = f+14解：由已知且2

8、0 y d X y，將此方程關于X求導得y J 2y + r特征方程：H -r2 =0 解出特征根：1其通解為y =Cie匚+C2e2x1, rz 2.V(0).1代入初始條件y 5 y (0)=，得y = -2 尹 + 4 e2x故所求曲線方程為：33五、解答題(本大題10分)15解：(1)根據(jù)題意,1y - h xo = (X 啜0)X丿,切線方程：X0=e xo,從而切線方程為:由于切線過原點，解出1A = ffey ey)dy= 1 e _ 1 0 2則平面圖形面積()三角形繞直線2 曲線ybxV2一周所得圓錐體體積記為X 二 e與X軸及直線X = e所圍成的圖形繞直線X = e 一周

9、所得旋轉體體積為V2 =丿兀(ee y )2 dy0V D繞直線X二e旋轉一周所得旋轉體的體積 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分,q1qJ f(X)d x" q / f (x)dff(x) d x16 證明：00°=V1 -V 2 =JI c(5以-12e t3)6共12分)q-q ( / f(X)d x+ J f(x)dx)01+ XqX(V0處連續(xù)。dy13.解：dx2yXIxh X3y (1 ) C,9四、解答題(本大題e X h xdx C )Cx 21 xn X 13910分)X14.解：由已知且y2 0 y d X y，將此方程關于X求導得y特征方程：H其通解為yCie X代入初始條件2y y0解出特征根:C2e2xCl(0)故所求曲線方程為：五、解答題(本大題10分)e2x15解：(1)根據(jù)題意,由于切線過原點，解出1xo2,3y,切線方程：e ,從而切線方程為:2.1(X Xo )xoA則平面圖形面積ey)dy 1 e 12()三角形繞直線2 1曲線5V2一周所得圓錐體體積記為X 二 e與X軸及直線X = e所圍成的圖形繞直