(全國通用版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課時分層作業(yè)十六2.11.3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(文)

1、課時分層作業(yè)十六導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用A組屈礎(chǔ)達(dá)標(biāo)珠 (2%分彈。分一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若不等式2xln x > -x 2+ax-3對xC(0,+ oo)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(- 00,0)B.(- 00,4C.(0,+ 8)D.4,+ 8)31【解析】 選 B.2xln x >-x 2+ax-3,貝U aw 21n x+x+ ',設(shè) h(x)=2ln x+x+ 口 (x + 3)(x - 1)(x)=%當(dāng)xC (0,1)時,h ' (x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC (1,+ 8)時,h '(x)>0,函數(shù)h(x

2、)單調(diào)遞增,所以 h(x) min=h(1)=4,所以 a< h(x) min=4.Inx + (x - t)22.(2018 長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=，若對任意的成立，則實數(shù)t的取值范圍是()A.2b F)C. (D. Z+8)x2 - Inx + 1 - t2【解析】選B.因為f ' (x)=X,所以對任意的?C(x>0),貝U h'x 1,2, f，(x) x+f(x)>0 恒xC 1,2, f ' (x) x+f(x)>0 恒成2xz - 2tx + 1立？對任意的xC 1,2,無>0恒成立？對任:2x2 + 111t<

3、2乂=x+2*恒成立，又g(x)=x+ 2x在1,2上單調(diào)遞增意的 xC 1,2,2x 2-2tx+1>0 恒成立2 2，所以 g(x) min=g(1)=2,所以 t<2.3.若 0<xi<X2<1,貝U ()A.>ln x 2-ln xB.<ln x 2-ln xXC.x2cXD.xzC>xi<xie2【解析】選C.設(shè)f(x)=ex-ln x(0<x<1),貝Uf' (x)=e x-X,而？ x°e (0,1),使 f' (x。)=0.故 f(x)在(0,x。)上為單調(diào)減函數(shù)，在(x 0,1)上為單

4、調(diào)增函數(shù)，故選項A,B均不正確.設(shè)g(x)= k,則xex - e-1)exA.2OO >eB.C.D.【解題指南】將不等式化為,求出f(x)=x+ 1在(-1,1上的最小值即可得出a的范圍.【解析】選B.因為e2x-ax<a在(-1,1上有解，所以a>* + 1在(-1,1上有解,令 f(x)=X + l,x C (-1,1,則 a>f(x) min.e2x(2x + 1) 2 則 f，(x)= I一廠,f -11 -1)所以當(dāng) xC I2J時,f '(x)<0,m 當(dāng)xC l 乙 時,f (x)>0, 所以f(x)在 所以當(dāng)x=-5.(2018

5、南昌模擬)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f' (x),滿足f' (x)<f(x),且f(x+2)為 偶函數(shù)，f(4)=1,則不等式f(x)<e x的解集為 ()A.(- 2,+ 8)B.(0,+ oo)C.(1,+ 8)D.(4,+ 8)【解析】選B.因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，所以 f(4)=f(0)=1.fix)設(shè) g(x)= e (x e R),fYx)m - W")一以x)(n 八 2X則 g，(x)=)=廿,又因為 f ' (x)<f(x), 所以 g

6、' (x)<0(x £ R),/(x)f(0)x*P0x所以函數(shù)g(x)在7E乂域上單倜遞減，因為f(x)<e ? g(x)= L <1,而g(0)=匕 =1,所以f(x)<e ?g(x)<g(0),所以 x>0.二、填空題(每小題5分，共15分)6.若存在正數(shù)x,使2x(x-a)<1成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .【解析】由2 (x-a)<1得x-a< 2 ,即a>x- 2 ,即存在正數(shù)x使a>x-2 成立即可,令h(x)=x- 2(x>0),則h(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時,h(x)>h(

7、0)=0-2°=-1,所以 a>h(x) min,即 a>-1,即a的取值范圍是(-1,+川.答案：(-1,+ 87.(2018 西安模擬)下列說法中，正確的有(把所有正確的序號都填上).？ x0C R,使'>3的否定是？ xC R,使2x<3;2x +函數(shù)y=sin2x的最小正周期是兀；命題“若函數(shù)f(x)在X=Xo處有極值，則f(x 0)=0 ”的否命題是真命題；函數(shù)f(x)=2 x-x2的零點有2個.【解析】由特稱命題的否定可知說法正確；由于函數(shù)y=sin2x +2x=sin71-2x61in=24x +3 J，其周期為2,故說法錯；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極

8、值的關(guān)系可知命題“若函數(shù)于 f ' (x)=2 xln 2-2x,當(dāng) x<0 時恒有 f 'x 1<0,所以函數(shù)f(-1)f(0)二f(x)在x=xo處有極值，則f ' (xo)=0”為真命題，故說法錯；由 (x)>0,即函數(shù)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，又因為 f(x)在(-1,0)上存在一個零點，還有f(2)=0,f(4)=0, 所以函數(shù)f(x)在R上共有3個零點，故錯.答案：8.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l與函數(shù)f(x)=2x 2+a2(x>0)和g(x)=2x 3+a2(x>0)均相切(其中a為常數(shù)),切點分別為 A(xi

9、,y 1)和B(x2,y 2),則xi+x2的值為【解析】因為f(x)=2x 2+a2(x>0),所以 f ' (x)=4x,所以 f' (xi)=4xi,所以曲線f(x)=2x 2+a2(x>0)在點A(xi,yi)處的切線方程為y-(2+a2)=4x i(x-x 1),即 y=4xix-2*1+a2.同理，曲線g(x)=2x 3+a2(x>0)在點B(x2,y 2)處的切線方程為yx-4+a2.由題意可得，兩條切線相同，4%2 + a2,整理得Xl =勺，結(jié)合xi>0,x 2>0解得32X1 = 27f8 叼=敏32 8 56所以xi+x2=2

10、7+9=2756答案：27三、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=ln x-e x-a+a(e是自然對數(shù)的底數(shù) ).(1)當(dāng) a=0 時，求證:f(x)<-2.(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】當(dāng)a=0時,f' (x)='-ex,令 f' (x)=0,得 x=xo Cx0,即e,兩邊取對數(shù)得ln x0=-x 0,且f(x)在(0,x 0)上單增，在(x 0,+ 8)上單減,所以f(x) ma=In x o-(2) f ' (x)=t x-a-e故等價于f(x)在(0,+ 8)上有唯一極大值點xi,且f(xi)>

11、0.1七一4因為 f ' (xi)=0? "l=e? -in x i=xi-a,得:a=x i+ln x i,1y故 f(x i)=2ln x i-1+xi,1令 h(x)=2ln x- 卜+x,h(1)=0,2 1一2因為 h' (x)= X+X +1>0,所以 h(x)>0 ? x>1,則 xi>1,又因為 y=x+ln x 在(0,+ 8)上單增，由 x1>1,得 a=x+ln x 1>1.綜上,a>1.【變式備選】卜T)(2018 茂名模擬)已知函數(shù)f(x)= 6x3-4x2-ax-2的圖象過點(1)求函數(shù)f(x)的單

12、調(diào)區(qū)間 (2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3 有3個零點,求m的取值范圍4,T)« 5【解析】(1)因為函數(shù)f(x)= 6x3-4x2-ax-2的圖象過點32a10所以 3 -4a-4a-2= 3 ,解得 a=2,11即 f(x)= 3x3- 2x2-2x-2,所以 f ' (x)=x 2-x-2.由 f ' (x)=x 2-x-2<0,解得-1<x<2;由 f ' (x)>0,得 x<-1 或 x>2.OO)所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(-1,2),遞增區(qū)間是(- oo ,-1),(2,+(2)由(1)知 f(x)的極

13、大值=f(-1)=-3- 2+2-2=- 6,:16同理,f(x)的極小值=f(2)= 3-2-4-2=- 3 ,由數(shù)形結(jié)合思想,要使函數(shù)g(x)=f(x)-2m+3 有三個零點,1657 1則-3 <2m-3<-6,解得-6<m<L 2.一，?所以m的取值范圍為I 12/10.已知函數(shù) f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值.(2)若對于所有x>1,都有f(x) > ax-1,求實數(shù)a的取值范圍【解析】 函數(shù)f(x)=xln x 的定義域是x|x>01(1)f ' (x)=1+ln x, 令 f' (x)=0,解得 x=4(o

14、f(0)當(dāng)xel e/時,f '(x)<o,f(x)在' e/+ -當(dāng) xC，時,f，(x)>0,f(x)在所以當(dāng)x=E時，函數(shù)f(x)取得最小值fe 人-a(2)依題意得f(x) >ax-1在1,+ 8)上恒成立v -L 一 1.上遞減；-> + 8 ，上遞增.1，即不等式a<ln x+ '對于xC 1,+ 8)恒成立，即 a<X),x C 1,+ 8).1 1 1 X 1一一 22設(shè) g(x)=ln x+ '(x>1),則 g' (x)= X-/ = ">0,所以g(x)在1,+ 8)上是增函

15、數(shù),g(x)的最小值是g(1)=1.故a的取值范圍是(-8,1.B組能力提升練2份界40分)ax2+ax-1(a>0)的圖象有且只有一個公共點，則a所在的區(qū)間為1.(5 分)已知函數(shù) f(x)=ln x+x 與 g(x)=【解析】 選 D.設(shè) T(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-1 X + 1(x)=+1-ax-a= |3-a(x+1)= (x+1)2ax2-ax+1,在x>0時，有且僅有1個零點,T(1 1Cl )1久 =(x+1) - X - (1-ax),當(dāng) x-0 時,T(x) - 8 ,x -> +°° 時，T(x) - 8 ,11x&g

16、t;0上單調(diào)，所以ln Q 2 0 =0在a>0上最多有1個零點,a=1時,ln 口+ ；=2 >0,1 1a=2 時,ln U : <0,(1曰所以aC I 3.所以D選項是正確的2.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f X/,當(dāng)xd1,3時,f(x)=ln x,若在區(qū)間 xd3 J內(nèi)，函數(shù)g(x)=f(x)-ax 后二個小同的零點黑)A, 3 e)C.H)自【解析】選A.因為f(x)=2fh e時,f(x)=2f/ =2ln=-2ln x直線y=ax后二個小同交點，作出.1x=e,a= £直線 y=ax 經(jīng)過 y=f(x)L圍是L 3 ej,則實數(shù)a的取值

17、范圍是 ()B.ED.(01 3_Wf所以 1，且 xC 1,3時,f(x)=ln x,所以 x C 2 J因為函數(shù)g(x)=f(x)-ax 與x軸有3個/、同的交點，所以曲線y=f(x)與1 Inx 1二者的圖象，則二者在1,3上相切時，因為f' (x)=%，所以X =a? In3右側(cè)端點(3,ln 3) 時,a= 3 .綜上所述，由函數(shù)圖象可得實數(shù)a的取值范V* *»O3.(5 分)(2018 太原模擬)若對？ xiC(0,2, ? x2 1,2, 則實數(shù)a的取值范圍為.轉(zhuǎn)化為B3：8ax 2+4>x1-4ln x 1+16-,其取大值.令g(x)=8ax+4x ,

18、x 1,2,問題等價于g(x) maxAo2 Q聲一使 4x1ln x 1 - + +3+4xi + +8ax iX2-16x 1 > 0,3令 f(x)=x-4ln x+16-* ,x C (0,2,利用導(dǎo)數(shù)可得>f(x) max再利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)的最大值，即可得出a的范圍.【解析】 因為xi>0,所以4xiln x i-+3+4x+8axiX2-16x i>0,32化為 8ax2+42 A xi-41n x i+16-*l33 (x - 1) (% - 3)22令 f(x)=x-41n x+16- H,x £ (0,2,4f' (x)=1- X

19、+X =X當(dāng)0<x<1時,f ' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時,f ' (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)取得最大值，f(1)=14.令 g(x)=8ax+4x 2,x 6 1,2,因為對？ x (0,2, ? xzC 1,2,他一 X1使 4x1ln x 1-1+3+4xi+8ax1x2-16x i>0 成立,所以g(x) max f(x) max.g' (x)=8a+8x=8(x+a),當(dāng) a>-1 時,g ' (x) >0,函數(shù) g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x

20、=2時,g(x)取得最大值，g(x) max=16a+16.由 16a+16>14,解得,滿足條件.當(dāng)-2<a<-1 時,g ' (x)=8x-(-a),可得當(dāng) x=-a 時,g(x)取得最小值，g(2)=16+16a<0,g(1)=4+8a<0, 舍去.當(dāng)aw-2時，經(jīng)過驗證，也不符合條件，舍去.綜上可得：a的取值范圍是答案：8,4.(12分)已知函數(shù)f(x)=1一 + co8'In (2x)(1)求f(x)在1,a(a>1)上的最小值.(2)若關(guān)于x的不等式f 2(x)+mf(x)>0只有兩個整數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍【解析】(1)

21、f ' (x)=1 - ln(2x)x2,令f' (x)>0得f(x)的遞增區(qū)間為fe(,+ 8令f ' (x)<0得f(x)的遞減區(qū)間為12因為x C 1,a,則當(dāng)1<aw2時,f(x)在i,a上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)=ln 2;當(dāng) a>2時,f(x)月 (14 憐在L/上為增函數(shù)，在I*上為減函數(shù)，又f(2)= /=ln 2=f(1),所以2<aw 2時,f(x)的最小值為f(1)=ln 2,Zn(2a)若a>2,f(x)的最小值為f(a尸Q ,bi (2 a)綜上，當(dāng)1<aW2時,f(x)的最小值為ln 2;當(dāng)a>2時,f(x)的最小值為Q(2)由知,f(x)的遞增區(qū)間為所以f(x)不等式f 2(x)+mf(x)>0,即f(x)(f(x)+m)>0只有兩個整數(shù)解-i|所以I - m之，解得-ln 2<m w-31n 6.j - ln