2018-2019學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

1、絕密啟用前上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué) 2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題評(píng)卷人得分1, 8名學(xué)生和2位教師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為（）A. P88P92B. P88C2C. P8P72D. P88C72【答案】A【解析】【分析】本題選用“插空法”，先讓8名學(xué)生排列，再2位教師教師再8名學(xué)生之間的9個(gè)位置排列.【詳解】先將8名學(xué)生排成一排的排法有 P88種，再把2位教師插入8名學(xué)生之間的9個(gè)位置（包含頭尾的位置），共有P92種排法， 故2位教師不相鄰的排法種數(shù)為 P8P92種.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合和計(jì)數(shù)原理，此題也可用間接法.特殊排列組合常用的方法有：1、插空法

2、，2、捆綁法.2, 是“工 1” 的A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充分必要條件D .既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】由。VI可得工 ?；騒A1,所以若戈1可得。1 ,反之不成立，的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】命題：若P則自是真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件3.設(shè)M ,N為兩個(gè)隨機(jī)事件,-1P（N ）=-，則 P（M 2 N1給出以下命題：(1)若M，N為互斥事件，且P(M)=一,59111)=20；若 P(M )=a P(N)=g，P(MN 產(chǎn)石111則M,N為相互獨(dú)立事件；(3)若P

3、M =，P(N)=2, P(MN) =，則M,N 236111為相互獨(dú)立事件；(4)若P M = , P N = , P MN =，則M ,N為相互獨(dú) 236 1-15 一立事件；(5)若P(M)=, P(N)=, P(MN )=，則M , N為相互獨(dú)立事件；236其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 418【分析】根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷(1)的正誤；根據(jù)相互對(duì)立事件的概率和為1 ,結(jié) 合相互獨(dú)立事件 M , N的概率滿足P(MN尸P(M )P(N ),可判斷(2)、(3)、(4)、(5 )的正誤.【詳解】11若M , N為互斥事件，且P M =,P N =, 5411

4、9則 P(M N N )=-+-= 一 ,5 4 20故(1)正確；111若 PM ,P N ,PMN= 一 236則由相互獨(dú)立事件乘法公式知 M,N為相互獨(dú)立事件，故(2)正確；八 111若 P(M )= 一,P(N )= 一,P(MN )=一, 236一一 1則 P M =1 -P M ,P MN = P M P N2由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知故(3)正確；M , N為相互獨(dú)立事件，111p(M )=2,p(N 七尸(MN 尸112 1M , N 為相互獨(dú)立事件時(shí)，P(N )=1 P(N ) = ,P(MN ) = x二22 3 3（4）錯(cuò)誤;a11一 5若 P M =

5、,P N =,P MN =2361則 P MN ；=P M P N = ,P MN j>1 -P MN6由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事件,故（5）正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題11144.右正數(shù) a, b滿足 一 十 =1,則+的取小值為（）a b a -1 b -1A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知得出a -1,b -1的符號(hào)及（a -1）（b -1）的值，再根據(jù)基本不等式求解11,1.- a >0,b >0, + =1 ； a b.a 1, b 1, a b

6、= ab1a -1二2ab - (a b) 11a -114一3當(dāng)且僅當(dāng) =,即a =，b =3時(shí)，等號(hào)成立a-1 b-12故選B.本題考查基本不等式，注意基本不等式成立的條件“一正二定三相等”第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分5,已知集合，= tL234J,集合口 = 1345九則.【答案】3, 4.【解析】【分析】利用交集的概念及運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】二口，2, 3, 4,8二3. 4, 51A 4 G 5 = （3 4： 1.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集的概念與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 6 .函數(shù)="4+1虱3k+1）的定義域是 .【答案】【解析】【分析

7、】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.【詳解】要使函數(shù) 八為=亍q+ 1式3二+ 1）有意義，則除+ 1 0，解得 七第 ，即函數(shù)3/1/（"）=11十里（3才+1）的定義域?yàn)椋?下1）. -V14故答案為：（0.1）.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式求定義域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.7 .若關(guān)于,的不等式2/-3工十。0的解集為（X 1），則實(shí)數(shù)血=【答案】【解析】【分析】由不等式2x2 - 3x+av 0的解集為（m, 1）可知：x=m, x=1是方程2x2-3x+a=0的兩根.根據(jù)韋達(dá)定理便可分別求出m和a的值.【詳解】由題意得：1為2二2-3萬(wàn)+0的根

8、，所以口=1,2 r . 八 11從而 .故答案為：【點(diǎn)睛l本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.1、68 .在（2x + 方）6二項(xiàng)式展開(kāi)式中，第五項(xiàng)為 .,x【答案】60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式（a+b）n的通項(xiàng)公式Tr噂 = cnanbr求解.【詳解】二項(xiàng)式 2x +工的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr噂=C6r（2xjj3=C；26Jx6）,x634令r=4,則 T4+=C：22x 2網(wǎng)=60，故第五項(xiàng)為60.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，注意丁是第r +1項(xiàng).9 .若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2元的半圓面，則該圓錐的底面半徑為 .【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)側(cè)面展開(kāi)是面積

9、為 2n的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)求解.【詳解】如圖所示:設(shè)圓錐的半徑為r,高為h,母線長(zhǎng)為1,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為1,面積為2n的半圓面,12所以一 m =2冗，解得1 =2,2因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng),所以 2nr =n1 ,故圓錐的底面半徑r = =1.2【點(diǎn)睛】 本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計(jì)算 .主要依據(jù)側(cè)面展開(kāi)的扇形的弧長(zhǎng)即底面圓的半徑, 扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算公式 .10 .在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科（3門理科，3門文科）中選擇 3門學(xué)科參加等級(jí)考試，小李同學(xué)受理想中的大學(xué)

10、專業(yè)所限，決定至少選擇一門理科學(xué)科，那么小李同學(xué)的選科方案有 種.【答案】19【解析】【分析】6門學(xué)科（3門理科，3門文科）中選擇3門學(xué)科可以分為全為理科，有理科有文科，全為文科，決定至少選擇一門理科學(xué)科包括前兩種，考慮起來(lái)比較麻煩，故用間接法：用總數(shù)減去全為文科的數(shù)量 .【詳解】根據(jù)題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科任選3門，3有C6=20種選取方法，3其中全部為文科科目，沒(méi)有理科科目的選法有C3 =1種，所以至少選擇一門理科學(xué)科的選法有20-1 = 19種；故答案為：19,【點(diǎn)睛】本題考查排列組合.方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時(shí)；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時(shí)，

11、可以用此法 .11 .如圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為 .【解析】【分析】幾何體是一個(gè)圓柱，圓柱的底面是一個(gè)直徑為1的圓，圓柱的高是1,圓柱的全面積包括三部分，上下底面圓的面積和側(cè)面展開(kāi)矩形的面積【詳解】由三視圖知幾何體是一個(gè)圓柱，圓柱的底面是一個(gè)直徑為 1的圓，圓柱的高是1,故圓柱的全面積是：2xni11 +2nM1M1=3i222【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和圓柱的表面積，關(guān)鍵在于由三視圖還原幾何體12 .若某學(xué)校要從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人參加社會(huì)考察活動(dòng)， 則選出的同 學(xué)中男女生均不少于 1名的概率是 .【

12、解析】選出的男女同學(xué)均不少于 1名有兩種情況：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計(jì)算公式求解【詳解】 從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人，有C； =35種選法；選出的男女同學(xué)均不少于 i名，有c5c22 +c； c2 =25種選法；255故選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率：P=25=5 .35 7【點(diǎn)睛】本題考查排列組合和古典概型.排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時(shí)；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時(shí)，可以用此法廣 2 + 2( >0)13 .設(shè)函數(shù) f(x)= x 2，(x-0),且函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，則 g -2 ).g(x)

13、,(x< 0)【答案】-6【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)f (x) =-f (-x)求值.【詳解】2x2 2 (x _0)因?yàn)閒 (x)=：為奇函數(shù)g(x),(x< 0)令 h(x) =x2 +2 ,故 g -2 )=-h(2)=-6.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求值，屬于基礎(chǔ)題(R為地球半徑)，14 .在北緯600圈上有甲、乙兩地，若它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)等于 則這兩地間的球面距離為【分析】設(shè)甲、乙兩地分別為 A,B,地球的中心為 O ,先求出北緯60。圈所在圓的半徑，再求A、B兩地在北緯60。圈上對(duì)應(yīng)的圓心角，得到線段AB的長(zhǎng)，解三角形求出/AOB的大小，利用弧長(zhǎng)公式求 A,B這兩

14、地的球面距離.【詳解】設(shè)甲、乙兩地分別為 A,B,R北緯圈所在圓的半徑為 一，2二 R它們?cè)诰暥热ι纤鶎?duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)等于一一(一為地球半徑)，2二一R一 =8乂一 ( e是兩地在北緯 60圈上對(duì)應(yīng)的圓心角)，22故=:.所以線段AB = 2 一 = R 2設(shè)地球的中心為 O ,則 MOB是等邊三角形，所以 ZAOB =二, 3 二 R故這兩地的球面距離是 一.3【點(diǎn)睛】本題考查球面距離及相關(guān)計(jì)算，扇形弧長(zhǎng)和面積是常用公式，結(jié)合圖形是關(guān)鍵15 .已知f (x) =(a5)x2+2x+2 ,若不等式f(x)> x的解集為a,已知(0,1)三A, 則a的取值范圍為.【答案】12, 二【解析】【分

15、析】根據(jù)題意，分析可得 f (x)>x即(a-5)x2+x + 2>0,其解集中有子集(0,1),設(shè)g(x) =(a -5)x2 +x +2,按二次函數(shù)系數(shù)的性質(zhì)分 3種情況分類討論，分別求出a的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，f(x)=(a5)x2+2x+2, 則不等式 “乂)>乂即(25口2+2乂+2乂，變形可得(a5)x2 +x+2>0,若其解集為A且(0,1)匚A,設(shè) g(x) =(a -5)x2 +x + 2,則不等式 f 儀)>乂即 g(x)>0 ,(i)當(dāng) a5=0,即 a = 5時(shí)，g(x) = x+2不等式g(x)>0的解

16、集為(/,y),符合題意;(ii)當(dāng) a -5 <0,即 a <5 時(shí)，g(0) -0,解得a之2,若(0,1)三A必有4 g() g-0則此時(shí)有：2 Wa <5;(iii)當(dāng) a -5>0,即 a>5時(shí),g(x)為二次函數(shù)，開(kāi)口向上且其對(duì)稱軸為x = -一- <0 ,2(5 - a)又 g(0) =2,所以 g(x)>0 在(0,1)成立,此時(shí)a . 5綜上，a的取值范圍為a >2【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式恒成立和二次函數(shù)的性質(zhì)，二次不等式恒成立問(wèn)題要根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)分類求解.16 .設(shè)集合 A = (x1，x2,x3,., X。)為 w 1,0

17、,l,i =1,2,3,.,10,則集合 A中滿足條件“ 1 E X + x2 + x3 + / E9”的元素個(gè)數(shù)為.【答案】58024【解析】【分析】依題意得x1 +x2 +x3 + x10的取值是1到10的整數(shù)，滿足1 Mx1+x2+x3+ +x10M9的個(gè)數(shù)等于總數(shù)減去x+x2+ x3 +， +x0=0和x1 + x2 + x3 + x10 =10 的個(gè)數(shù).【詳解】集合A中共有個(gè)元素310 =59049 ,其中x1 + x2 + x3 + x10 =0的只有1個(gè)元素,x1 + x2 + x3 + x10 =10 的有 210 =1024 個(gè)元素, 故滿足條件“ 1為|+乂2 +乂3+3十

18、為0三9”的元素個(gè)數(shù)為560491 1024=58024.本題考查計(jì)數(shù)原理，方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時(shí)；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時(shí)，可以用此法 .評(píng)卷人得分317 .集合 A=x|<1,xw R , B=x|xa|<2,xu R.x 2(1)若 a =2,求 AljB；(2)若BI CrA = 0 ,求a的取值范圍.【答案】(1) 口卜<-2或乂>0；(2) aMY或a之3.【解析】【分析】(1)解分式不等式求集合 A,解絕對(duì)值不等式求集合 B ,再求集合A,B的并集；(2)先求集合A的補(bǔ)集，再根據(jù)交集和空集的定義求解.【詳解】31 -x. 一(1)

19、由<1 得<0 即(1x)(x+2) <0 ,x 2 x 2解得 x<2或 xa1,所以 A=x|x<2或 x>1；當(dāng) a = 2時(shí)，B =x| x2 <2,x R由 x2 <2得2<x2<2,即 0cx<4,所以 B =x|0<x <4,所以 A= B =x|x <2或 x >0.(2)由 x -a <2 得一2<xa<2,即 a2<x<a+2,所以 B =x|a -2<x<a+2,由(1)得 A=x|x<2或 x>1,所以 CrA = x|-2 W

20、x W1,若 BI CrA = 0 ,則 a+2 W2或a221,即a w y或a至3,所以，a的取值范圍是a < 4或a>3.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式和絕對(duì)值不等式的解法，集合的運(yùn)算，注意端點(diǎn)值18 .如圖，直三棱柱一41%。1的底面為直角三角形， 兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為 4和2,側(cè)棱的長(zhǎng)為5.(1)求三棱柱，RC一力1 J的體積；(2)設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線4M與平面再£匚所成角的大小.【答案】(1) 20; (2) arctanS【解析】【分析】(1)三棱柱力- A3G的體積y = 5mX A4,由此能求出結(jié)果；(2)連結(jié)/M/aM#是直線4 M與平面所成角

21、，由此能求出直線4 M與平面 所成角的大小.【詳解】解：(1) ;直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5.，三棱柱 ABC - A1B1C1的體積：V = Saabc X AA1AB X AC X AAy= x4x2x5 = 20.(2)連結(jié)AM,直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5, M是BC中點(diǎn)，.AA底面 ABC, AM =6。=。16 +4二戶, / A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，AAl 5 Ltan/AMA =初二存"W，直

22、線Am與平面ABC所成角的大小為 arctan,".【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面 面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查 化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.19 . (JX+=)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,且前三項(xiàng)系數(shù)成等差4a" x數(shù)列.(1)求a的值；(2)若a <3,展開(kāi)式有多少有理項(xiàng)？寫(xiě)出所有有理項(xiàng).44 135a 11 o【答案】(1) 2 或 14； (2) T1=x , T5 =C84x= x, T9 =c88x = 一x

23、 .24828256【解析】【分析】(2)根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令【詳解】因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)的一項(xiàng)式系數(shù)之和為128,所以2n'=128，解得n=8,所以二項(xiàng)式為(x - =)8a、x第一項(xiàng)：1=丁0書(shū)=0(人)a，x71第二項(xiàng)：T2=T+=C8(jx)13=a. x第三項(xiàng)：T3 =T2 1 =C： x ' a、xx的指數(shù)為整數(shù)次求解=x4,系數(shù)為1,13二8 x',系數(shù)為-, aa=2M ,系數(shù)為2 aa先由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求 n ,再根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)公式求a ；由前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列得：2x8=1+21 ,a a解得a = 2或a =14.一 .

24、. -1.8(2)若a <3,由(1)得二項(xiàng)式為(&+=),通項(xiàng)為:24 x_ 8_rTr 1 =C；«c816孕,其中 r =0,1,2，816 -3r -所以-4416 -3r416 -3r=4即r = 0 ,此時(shí)工=C；x416 -3r=3即r=2即r4入一一,不符題意;38,不符題意；316 -3r=1即rC4=4,此時(shí) T5 =3x2435=一 x ；816 -3r16 -3r=-1即r =20,不符題意;316 -3r=2即r=8,此時(shí)T9C8C8=-8- x28-x"256綜上，有3項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是:T1 = C8 xC82435x =x , T

25、98二岑x28256本題考查二項(xiàng)式定理的系數(shù)性質(zhì)和展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,等差中項(xiàng)公式.注意Tr書(shū)是第r+1項(xiàng).20 .如圖，口"1平面ABCD四邊形ABC虛正方形，PA=AD=2點(diǎn)E、F、G分別為線段 PA、PD和CD的中點(diǎn).p(1)求異面直線EG與BD所成角的大小;(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn) Q使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線段CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) arcgg 線段CQ的長(zhǎng)度為.【解析】【分析】(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB, AD, AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖 示，寫(xiě)出點(diǎn) E (0,0,1)、G (1,2,0)、B (2,

26、0,0)、D (0,2,0),和向量 =_ 1),介二一 2 U)的坐標(biāo)，利用異面直線 EG與BD所成角公式求出異面直線 EG與BD 所成角大小即可；(2)對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，設(shè)點(diǎn)Q (xo, 2, 0),平面EFQ的法向量為 n=(X. y, Z),再點(diǎn)A到平面EFQ的距離， 求出xo,若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在.【詳解】解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB, AD, AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立 空間直角坐標(biāo)系如圖示，點(diǎn)E (0, 0, 1)、G (1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),則 =2

27、, -1),8.二(-乙乙 0).入 |威命| | - 2 4 4|設(shè)異面直線EG與BD所成角為(fosO = -一- =百，|甘0伊D|伊可所以異面直線EG與BD所成角大小為 arccos.(2)假設(shè)在線段 CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,設(shè)點(diǎn)Q （%, 2, 0）,平面EFQ的法向量為 （匕 匕z）,t an EF = 0則有 ，得到 y=0, z= XX0,取 x= 1 ,5 , EQ = 0所以 n = （1, 0, #0）,向R 則M一 一 一 4又Xo>0,解得*0 =看，所以點(diǎn)Q440）即4=（-；, 0, 0）,則|麗所以在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件，且線段 CQ的長(zhǎng)度為.T【點(diǎn)睛】:考查空間向量的應(yīng)用，向量的夾角公式，解本題關(guān)鍵在于對(duì)空間向量和線線角的結(jié)合 原理要熟悉.屬于基