(完整版)高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教案完整版

1、高中數(shù)學(xué)必修 4第二章平面向量教案（12 課時(shí)）本章內(nèi)容介紹向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概 念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平 移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而 把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)

2、學(xué)和物理中的一些問題本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念.（讓學(xué)生對(duì)整章有個(gè)初步的、全面的了解.）第1課時(shí)§2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo)：1 . 了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共 線向量.2 .通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別3 .通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向

3、量、 共線向量的概念，會(huì)表示向量.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系學(xué) 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、情景設(shè)置：如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)?B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）C .、結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了A B 1H D分析：老鼠逃竄的路線 AC、貓追逐的路線BD實(shí)際上都是有方向、有長(zhǎng)短的量.引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向?二、新課學(xué)習(xí)：

4、（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量?5、滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O,這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？（三）探究學(xué)習(xí)1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小;向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小

5、 2 .向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB ； 向量AB的大小一一長(zhǎng)度稱為向量白模，記作|AB |.3 .有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是 不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作 0.0的方向是任意的注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.說明：零向

6、量、單位向量的定義都只是限制了大小5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a /b / c .6、相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同白向量叫相等向量.說明：（1）向量a與b相等，記作a = b; （2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有 向線段的起點(diǎn)無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量， 這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系

7、；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系（四）理解和鞏固：例1書本86頁(yè)例1.例2判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（）A. a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形 的四

8、頂點(diǎn)C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量/ /D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形， 根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對(duì)于 C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考 慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量， 而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有 a與b都是非零向量，所以應(yīng)選 C.例4 如圖，設(shè)。是正六邊形 A

9、BCDEF的中心，分別寫出圖中與向量 OA、OB、OC相 等的向量.變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？ （11個(gè)）變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？ （ CB, DO, FE ）課堂練習(xí)：1 .判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由 向量aB與CD是共線向量，則 A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng) AB = DC一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0;共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量

10、AB、AC在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為 1,但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.、正確.d 4 c不正確.如圖AC與BC共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相 1 同.2.書本88頁(yè)練習(xí)三、小結(jié)：1、描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn) 四、課后作業(yè)：書本88頁(yè)習(xí)題2.1第3、5題第2課時(shí)則兩次的位移和:ABBC AC§ 2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1、掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；2、會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量

11、的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；3、通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義.學(xué) 法：數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)

12、授課類型：新授課教學(xué)思路：一、設(shè)置情景：1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量 .長(zhǎng)度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研 究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、情景設(shè)置：.,(1)某人從A到B,再?gòu)腂按原方向到C, A BC則兩次的位移和：AB BC AC(2)若上題改為從 A至ij B,再?gòu)腂按反方向到C,C AB則兩次的位移和：AB BC AC.(3)某車從A至ij B,再?gòu)腂改變方向到C,(4)船速為AB ,水速為BC ,則兩速度和： AB BC AC二、探索研究：,1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

13、，叫做向量的加法2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量 a、b在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A,作AB =a, BC = b ,則向量AC叫做a + 0-= 0 + aa與b的和，記作a+b ,即a+b AB BC AC ,規(guī)定:ba+ b探究：（1）兩相向量的和仍是一個(gè)向量;（2）當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a + b的方向不同向，且|a + b |<|a |+|b |；（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，則a + b、a、b同向,1. |a + b|=|a|+|b |,當(dāng) a 與 b 反向時(shí),若 |a|>|b |, 則a + b的方向與a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a|<|

14、b|,則 a + b 的方向與 b相同,且 |a+b|=|b |-|a|.（4） “向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到 n個(gè)向量連加3 .例一、已知向量 a、b ,求作向量a + b作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作 OA a AB b,則OB a b .4 .加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中b + a的結(jié)果與a + b是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）2）向量加法的交換粹：a + b = b + a5 .向量加法的結(jié)合律：（a + b） + c = a +（b + c）證：如圖：使 AB a, BC b

15、, CD c則(a + b) + c= AC CD AD , a + (b + C) = AB BD ADTf »s-.(a + b) + c=a + (b + c)從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行三、應(yīng)用舉例：例二(P9495)略練習(xí)：P95四、小結(jié)1、向量加法的幾何意義；2、交換律和結(jié)合律；3、注意：|a + b| < |a| + |b|,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào).五、課后作業(yè)：P103 第 2、3 題六、板書設(shè)計(jì)(略)七、備用習(xí)題1、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2J3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的 速度的大小為4km/h,求水流的速

16、度.2、一艘船距對(duì)岸473km,以2J3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km,求河水的流速.3、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以Vi的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為V2,船的實(shí)際航行的速度的大小為 4km/h ,方向與水流間的夾角是 60 ,求v1和v2.4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,則船的實(shí)際航行速度大小最大是km/h,最小是km/h5、已知兩個(gè)力Fi, F2的夾角是直角，且已知它們的合力 F與F1的夾角是60 , |F|=10N 求Fi和F2的大小.6、用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形第3課時(shí)

17、7;222向量的減法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1 . 了解相反向量的概念；2 .掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；3 .通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法.教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.學(xué) 法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī) 授課類型：新授課教學(xué)思路：一、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則 向量加法的運(yùn)算定律：例：在四邊形中， CB BA BA

18、.解：CB BA BA CB BA AD CD二、提出課題：向量的減法4 .用“相反向量”定義向量的減法(1)“相反向量”的定義：與 a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作 a(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0如果a、b互為相反向量，則 a = b, b = a,a + b = 0(3)向量減法的定義：向量 a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a b = a + ( b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法5 .用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b + x = a,則x叫做a與b的差，記作

19、a b6 .求作差向量：已知向量 a、b,求作向量ba b(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作 OA = a, AB = b 則 BA = a b即a b可以表示為從向量 b的終點(diǎn)指向向量 a的終點(diǎn)的向量注意：1 AB表示a b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2用“相反向量”定義法作差向量，a b = a + ( b)顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)4.探究：1)如果從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是b a.a,-a-b .*a_b_O B AB'O B Ab - aa ba b > -, bOA

20、b B B OA2 ）若a / b, 如何作出a b ?三、例題：例一、（P9 7 例三）已知向量 a、b、c、d,求作向量 a b、c d.解：在平面上取一點(diǎn) O,作OA= a, OB = b, OC = c, OD = d,AB例二、平行四邊形 ABCD中，AB a, AD b,用a、b表示向量AC、DB.解：由平行四邊形法則得：AC = a + b, DB= AB AD = a b變式一：當(dāng)a, b滿足什么條件時(shí)，a+b與a b垂直？ （ |a| 二 |b|）變式二：當(dāng)a, b滿足什么條件時(shí)，|a+b尸|a b|? （a, b互相垂直）變式三：a+b與a b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，;

21、匚7對(duì)角線方向不同）練習(xí)：P 98四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法 |五、作業(yè)：P103第4、5題六、板書設(shè)計(jì)（略）七、備用習(xí)題：1.在 ABC 中，BC=a, CA=b，則 AB 等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a2.O為平行四邊形 ABCD平面上的點(diǎn)，設(shè) OA=a, OB =b,OC =c, OD =d,則A. a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=03 .如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空:第4課時(shí)a+b=, b+c=, c-d=, a+b+c-d=.4、如圖所示，。是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定

22、a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b= AB , c-d= DC ,并畫出b-c和a+d.J2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示§ 2.3.1平面向量基本定理教學(xué)目的：(1)了解平面向量基本定理；(2)理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；(3)能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用 .授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)引入：1 .實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量 a的積是一個(gè)向量，記作：入 a(1) |入

23、a |=| x |a | ； (2)入0時(shí)入a與a方向相同；入0時(shí)入a與a方向相反；入=0時(shí)入a = 02 .運(yùn)算定律結(jié)合律：入(閨)=(入a ；分配律：(入+ wa=xa+wa,入(a + b產(chǎn)入a+入b3 .向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使b =入 a .二、講解新課：平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面Mr*內(nèi)的任一向量 a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使a=入10 +入2e2.探究：(1)我們把不共線向量 e 1、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可

24、將任一向量 a在給出基底e八©2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一 .a及是被a, 3 , e2唯一確定的數(shù)量、講解范例:例1已知向量e , e2 求作向量 2.50 +33.例2 如圖 oABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M ,且AB = a ,AD =b，用 a,行裝示 MA, mb , MC和MD例3已知uzABCD的兩條對(duì)角線 AC與BD交于E, O是任意一點(diǎn)，求證： OA + OB+OC+OD =4OE例 4 (1)如圖，OA,OB 不共線，AP=tAB (t R)用 OA,OB表示OP .uuu ur（2）設(shè)OA、OB共線，點(diǎn)P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且uurOP

25、uur uuu(1 t)OA tOB(tR）求證：A、B、P三點(diǎn)共線.c=2e1-9e2,問是否存在這樣的例5已知a=2e1-3e2, b= 2e+3e2,其中e1, e2不共線，向量urrr實(shí)數(shù)、，使dab與c共線.四、課堂練習(xí)1 .設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有 （）A.e1、e2 一定平行Be、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a者B有a = 2i+®（入 代R）D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a = ?e1+ue2（入、uCR）2 .已知矢量a = e1-2e2, b =2e+e2,其中e1、e2不共線，貝U a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

26、A.不共線B.共線C.相等D.無法確定3 .已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù) x、y滿足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e+3e2,則x-y的值等于（）A.3B.-3C.0D.24 .已知a、b不共線，且 c =a+?2b（無，次CR）,若c與b共線，貝U g.5 .已知 為0,及0,e1、e2是一組基底，且a = ?1e1+及%，則a與e1, a與e2（填 共線或不共線）.五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）： 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記:第5課時(shí)§ 2.3.2- § 2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算教學(xué)目的：(1)理解平面向量的坐標(biāo)的概念；(2)掌握

27、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使a=入1 +入2最(1)我們把不共線向量 e 1、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量 a在給出基底ei、©2的條件下進(jìn)行分解； (4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.功卸是被a , e , e2唯

28、一確定的數(shù)量、講解新課:2 .平面向量的坐標(biāo)表不如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a ,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y ,使得a xi yjO我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a (x, y)C2其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，02式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為 (x, y).特別地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn) 。為起點(diǎn)作OA a,則點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)OA xi yj ,則向量 OA的坐標(biāo)(x, y)就是點(diǎn)A

29、的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn) A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯表木.3 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1 ) 若 a (xi, yi) , b (x2,y2),則 a b(x1 x2,y y2),a b (xi x2,yiy?)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差設(shè)基底為 i、j,則 a b (x1i yi j) (x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j即 ab (x1 x2, y1 y2),同理可得 ab(x1 x2, y1y2)(2)若 A(x1,y1), B(x2, y2),則 ABx2x1 ,y2 y

30、1一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)AB =OB OA =(x2 y2) (x1, y1)= (x 2 x1, y2 y1)(3)若 a (x, y)和實(shí)數(shù)，則 a ( x, y).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)設(shè)基底為i、j ,則a (xi yj) xi yj ,即三、講解范例：uur例 1 已知 A(x1, y1), B(x2, y2),求 AB 的坐標(biāo).例 2 已知 a=(2, 1), b =(-3, 4),求 a + b, a-b, 標(biāo).例3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( 2,1), Ba ( x, y)y I.豕3 a +4 b的坐

31、式o,(1,3), C(3, 4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)解：當(dāng)平行四邊形為 ABCD時(shí)，由AB DC得Di=(2, 2)當(dāng)平行四邊形為 ACDB時(shí)，得D2=(4,6),當(dāng)平行四邊形為 DACB時(shí)，得D3=( 6, 0)(x, y)的合力 F1 + F2 + F3=0,求 F；的5)+(x, y)=(0 , 0)1)例4已知三個(gè)力F1 (3, 4),F2 (2,5),F3坐標(biāo).解：由題設(shè)F1 + F2 + F3 = 04)+ (2 ，3 2即：4 5四、課堂練習(xí)若 M(3, F3( 5,-2)N(-5,-1)且MP求P點(diǎn)的坐標(biāo)2 .若 A(0,1),B(1, 2),0(3,

32、 4),則 AB 2BC =.3 .已知：四點(diǎn) A(5,1), B(3, 4),0(1 , 3),D(5 , -3), 求證：四邊形 ABCD是梯形.五、小結(jié)(略)六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記：第6課時(shí)§ 2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：(1)理解平面向量的坐標(biāo)的概念；(2)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：1 .平面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.

33、任作一個(gè)向量a ,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y ,使得a xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作 a (x, y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0).2 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若 a (x1，y)，b 呈),則 a b (x1 x2,y1y2) ,a b(x1x2,%a ( x, y).若慶區(qū)以八 B(x2, y?),則 AB X2x1，y2 y1二、講解新課：a / b (b 0 )的充要條件是 x1y2-x2y1=0設(shè) a=(x1， y1) , b =(x2, y2)其中 b a.由 a

34、=1b 得，(x， y1)=入(x2, y2)x1x2消去入，x1y2-x2y1=0yy2探究：(1)消去入時(shí)不能兩式相除,一個(gè)不為0y1,y2有可能為0, b01. x2,y2中至少有(2)充要條件不能寫成為名x1,x2有可能為x1x2(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式:a / b (b 0)x V2 x2 y10三、講解范例:例 1 已知 a =(4, 2), b =(6, y),且 a / b ,求 y.例2已知A(-1 , -1), B(1 , 3), C(2, 5),試判斷A, B, C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，Pi、P2的坐標(biāo)分別是(xi, yi),

35、(x2, y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段PlP2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).例4若向量a=(-l , x)與b =(-x , 2)共線且方向相同，求 x解：= a =(-i,x)與 b =(-x , 2)共線. . (-1) X2- x?(-x)=0 x= ± v'2a與b方向相同. x= 2例5已知A(-1 ,-1),B(1,3), C(1,5) , D(2, 7),向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？解：: AB =(1-(-1),3-(-1)=(2 , 4)CD =(2-1 , 7-5)=(1 , 2)

36、又2X2-4X 1=0 AB / CD又 AC =(1-(-1) , 5-(-1)=(2 , 6) , AB =(2, 4), 2X4-2X6 0 . . AC 與 AB 不平行. .A, B, C不共線 ，AB與CD不重合，AB/CD四、課堂練習(xí)：1 .若 a=(2 , 3), b=(4, -1 + y),且 a / b,貝U y=()A.6B.5C.7D.82 .若A(x, -1), B(1, 3), C(2, 5)三點(diǎn)共線，則 x的值為()A.-3B.-1C.1D.33 .若AB=i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB

37、與DC共線，則x、y的值可能分別為()A.1 , 2B.2, 2C.3, 2D.2 , 44 .已知 a=(4 , 2), b=(6, y),且 a / b,貝U y=.5 .已知a=(1 , 2), b=(x, 1),若a+2b與2a-b平行，則x的值為6 .已知 CABCD 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(5, 7), B(3, x), C(2, 3), D(4, x),則 x=五、小結(jié)(略)六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記:§ 2.4 面向量的數(shù)量積第7課時(shí)一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1 .掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2 .掌握平面向量數(shù)量積的重要

38、性質(zhì)及運(yùn)算律；3 .了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；4 .掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí) .主要知識(shí)點(diǎn): 平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 平面向量數(shù)量積的 5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1,向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)

39、數(shù)入，使2 .平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使a=入1G +入2e23 .平面向量的坐標(biāo)表不分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i、j作為基底.任作一個(gè)向量a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y ,使得a xi yj把（x, y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 a （x, y）4 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若 a （xi, yi） , b （X2,y2）,則 a b （x1 X2,y1 y2） , a b （x1a ( x, y).若慶區(qū)以八 B(x2, y2),則 AB x2 x1，y

40、2 y15 . a / b (b 0)的充要條件是 xiy2-x2yi=06 .線段的定比分點(diǎn)及入Pi, P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于Pi, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)入， 使 P1P =入PP2 ,入叫做點(diǎn)P分PB所成的比，有5* -T5-4 -5*5-入0（內(nèi)分）（外分）入0 （入-1）（外分）入0 （-1入0）7 .定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P“xi,yi) , P2(x2, y2),入為實(shí)數(shù)，且PiP =入PP2,則點(diǎn)x2,y y),p的坐標(biāo)為x辿,y"），我們稱 入為點(diǎn)p分的 所成的比. 118 .點(diǎn)P的位置與入的范圍的關(guān)系: 當(dāng)4。時(shí)，PiP與PP2同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為

41、P1P2的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)K 0 （i）時(shí)，PiP與PP2反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為PP2的外分點(diǎn)9 .線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，設(shè)OP； = a , OP；可得 OP=ab -a bi i i10 .力做的功： W = |F|s|cos , 是F與s的夾角.、講解新課:i.兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b ,作OA = a , OB = b,則/ AOB = 0(0 叫a與b的 夾角.說明：(1)當(dāng)。=0時(shí)，a與b同向;(2)當(dāng)0=兀時(shí)，a與b反向；(3)當(dāng)仁時(shí), 2(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0 WW1802.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義

42、：已知兩個(gè)非零向量 a與b ,它們的夾角是0 ,則數(shù)量 ai|b|cos叫a與b的數(shù)量積,記作 a b,即有ab = |a|b|cos ,(o wg力.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由 cos的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積 ax b,而ab是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào) 耍 ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“x”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若a 0,且ab=0,則b=0;但是在數(shù)量積中，若 a 0,且a b=0,不能推出 b=0.因

43、為其中cos有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù) a、b、c(b 0),貝U ab=bca=c.但是 a b = bc9如右圖：a b = |a|b|cos = |b|OA|, b c = |b|c|cos = |b|OA|a b = b c 但 a c(5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c = a(b c),但是(a b)c a(b c)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c c共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一般 a與c不共 線.定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng) 為直角時(shí)投影為0;當(dāng)=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.4

44、 .向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5 .兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = a e =|a|cos2 a b a b = 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = |a|b|.特別的a a = |a|2或| a | 7a aa b4 cos =|a|b|5 |a b| & |a|b| 三、講解范例:例1已知|a|=5,例2已知|a|=6,例3已知|a|=3,|b|=4, a 與 b 的夾角 0 =120,求 a b.|b|=4, a 與 b 的夾角為

45、60o 求(a+2b) (a-3b).|b|=4, 且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量 a+kb與a-kb互相垂直 例4判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由 a 0=0; 0,a = O; 0 AB = BA ; | a,b| = | a|b|;若 a WQ 則對(duì)任一非零b有a,b wo ；a,b = 0 ,則a與b中至少有一個(gè)為 0;對(duì)任意向量 a , b , c都有(a -b )a ( b t);a與b是兩個(gè)單位向量，則 a 2 = b 2.解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有 0,a = 0 ;對(duì)于：應(yīng)有0 -a =0;對(duì)于：由數(shù)量積定義有Ia -b I = I a I

46、-I b I -I cos 0| <| a I I b I ,這里0是a與b的夾角，只有 。=0或0=兀時(shí)，才有| a -b | = | a | -| b | ;對(duì)于：若非零向量 a、b垂直，有a ,b = 0 ;對(duì)于：由ab=。可知a ± b可以都非零;對(duì)于：若a與c共線，記a =入.c則a,b=(入上b=X(cb)= 入(b（at>） c=入（b © （b入 6 （ b，c） a若a與c不共線，則（a,b ） cW （ b,c） a .評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握女?數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律 例6已知| a|=3, | bl=6,當(dāng)a / b,a，b

47、,a與b的夾角是60°時(shí)，分 別求a -b .解：當(dāng)a/ b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角 0= 0 °,a b = | a | -| b | cos0o= 3X6X1 = 18;若a與b反向，則它們的夾角 0= 180°,a 'b = I alibi cos180 = 3>6X （-1） =- 18;當(dāng)a，b時(shí)，它們的夾角 0= 90°,.a 'b = 0 ;當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有1 一a 'b = | a| b | cos60 = 3><6x = 92評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其

48、范圍是0°, 180。,因此，當(dāng)a / b時(shí)，有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1 .已知|a|=1, |b|=42 ,且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（）A.60 °B.30 °C.135 °D. 4 5 °2 .已知|a|=2, |b|=1, a與b之間的夾角為 ,那么向量 m=a-4b的模為（）A.2B.2 . 3C.6D.123.已知a、b是非零向量，則|a|=|b尾(a+b)與(a-b)垂直的(A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4 .已知向量 a、b 的夾角為|

49、a|=2, |b|=1,則 |a+b| |a-b|=.5 .已知a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量， 那么a b=.一 .一-一 一一26 .已知 a±b>c與 a、b 的夾角均為 60 ,且|a|=1, |b|=2, |c|=3,則（a+2b-c） =.7 .已知 |a|=1,|b|= J2, （1）若 a/ b,求 ab;（2）若 a、b 的夾角為 6 0 °,求 |a+b|;（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角.8 .設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為6 0 ° ,求向量 a=2m+n與b

50、=2n-3m的夾角.9 .對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b,求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角.五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）七、教學(xué)后記：第8課時(shí)二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)目的：1 .掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2 .能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；3 .掌握兩個(gè)向量共線、 垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直， 以及能解決一些簡(jiǎn)單問題 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特

51、點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA=a, 08 = 13,則/人0：6 =。（0 wg兀）叫a與b的 夾角.2 .平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b ,它們的夾角是0 ,則數(shù)量ai|b|cos叫a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有a b = |a|b|cos ,（o wg力.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3 .“投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng) 為直角時(shí)投影為0;當(dāng)=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)=180時(shí)投影為

52、|b|.4 .向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5 .兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = a e =|a|cos ;2 a b a b = 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b =忸|切.特別的2 2 = |a|2或1a | 4a a4 cos|a|b|；5 |a b| < |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律2 .交換律：a b = b a證：設(shè) a, b 夾角為,則 a b = |a|b|cos , b a = |b|a|cosa b = b a

53、3 .數(shù)乘結(jié)合律：(a) b = (a b) = a ( b)證：若 > 0,( a) b = |a|b|cos , (a b) = |a|b|cos , a ( b) = |a|b|cos ,若 < 0, ( a) b =| a|b|cos() =|a|b|( cos ) = |a|b|cos , (a b) = |a|b|cos ,a ( b) =|a| b|cos( ) =|a|b|( cos ) = |a|b|cos .4 .分配律：(a + b) c = a c + b c在平面內(nèi)取一點(diǎn) O,作OA= a, AB = b, OC = c,.a + b (即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2,/. c (a + b) = ca + c b 即：(a + b) c = a c +b c說明：(1) 一般地，(a -b) cWa ( b -c)(2) a ,0= b < cW正* a = b(3)有如下常