2016江蘇高考數(shù)學(xué)試題與答案解析(理科)[解析版]

1、2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共 14小題，每小題5分,共計(jì)70分）1. （5分）（2015?江蘇）已知集合 A=1 , 2, 3, B=2, 4, 5,則集合 AU B中元素的個(gè)數(shù) 為 5 .考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算.專題： 集合.分析： 求出AU B,再明確元素個(gè)數(shù)解答： 解：集合 A=1, 2, 3, B=2, 4, 5,則 AU B=1, 2, 3, 4, 5;所以AU B中元素的個(gè)數(shù)為5;故答案為：5點(diǎn)評(píng)：題考查了集合的并集的運(yùn)算，根據(jù)定義解答，注意元素不重復(fù)即可，屬于基礎(chǔ)題2. （5分）（2015?江蘇）已知一組數(shù)據(jù) 4, 6, 5, 8, 7, 6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

2、為6考點(diǎn)： 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).專題： 概率與統(tǒng)計(jì).分析：直接求解數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可.解答： 解：數(shù)據(jù)4, 6, 5, 8, 7, 6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：=6.故答案為：6.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)據(jù)的均值的求法，基本知識(shí)的考查.3. （5分）（2015?江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i （i是虛數(shù)單位），則z的模為考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模.專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).分析：直接利用復(fù)數(shù)的模的求解法則，化簡求解即可.解答： 解：復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i ,可得 |z|z|=|3+4i|=5,I|z|= 故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，注意復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.考點(diǎn)： 專題: 分析:

3、解答:4. （5分）（2015?江蘇）根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為 7偽代碼.圖表型；算法和程序框圖.模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的I, S的值，當(dāng)1=10時(shí)不滿足條件I<8,退出循環(huán)，輸出 S的值為7.解：模擬執(zhí)行程序，可得S=1, I=1滿足條件Iv 8, S=3, I=4滿足條件IV 8, S=5, I=7滿足條件IV 8, S=7, I=10不滿足條件IV 8,退出循環(huán)，輸出 S的值為7.故答案為：7.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序，正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5. (5分)(2015?江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白

4、球、1只紅球、2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式.專題：概率與統(tǒng)計(jì).分析： 根據(jù)題意，把4個(gè)小球分別編號(hào)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率即可.解答： 解：根據(jù)題意，記白球?yàn)?A,紅土為B,黃千為C、G,則一次取出2只球，基本事件為 AR AG、AG、BC、BG、GG共6種，其中2只球的顏色不同的是 AR AC、AC、BC、BC共5種； 所以所求的概率是 P=.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查了用列舉法求古典概型的概率的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.6. (5 分)(2015?江蘇)已知向量 =(2, 1), = (1, - 2),若 m+n=(

5、9, - 8) (m, nC R , 則m- n的值為 -3 .考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義.專題：平面向量及應(yīng)用.分析：直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求解即可.解答： 解：向量=(2, 1), 二(1, 2),若 m+n= (9, 8)可得，解得 m=2, n=5, m- n= - 3.故答案為：-3.點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量相等條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.7. (5分)(2015?江蘇)不等式 2V4的解集為(1, 2)考點(diǎn)： 指、對(duì)數(shù)不等式的解法.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x2-x<2,求解即可.解答:解； 2V 4,.2 x

6、 xv 2,即 x2- x - 2V 0,解得：-1vxv2故答案為：（-1, 2）點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次不等式的求解，屬于簡單的綜合題目， 難度不大.8. （5分）（2015?江蘇）已知 tan “=- 2, tan （a +3）=，貝U tan 3 的值為 3 .考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù).專題：三角函數(shù)的求值.分析：直接利用兩角和的正切函數(shù)，求解即可.解答： 解：tan a = - 2, tan （a+3）=,可知 tan （ a + 3 ）=,即=,解得 tan 3 =3.故答案為：3.點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正切函數(shù)，基本知識(shí)的考查.9. （5分）（2015?江蘇）現(xiàn)有橡

7、皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為 2,高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.分析：由題意求出原來圓柱和圓錐的體積，設(shè)出新的圓柱和圓錐的底面半徑r ,求出體積，由前后體積相等列式求得r.解答： 解：由題意可知，原來圓錐和圓柱的體積和為：設(shè)新圓錐和圓柱白底面半徑為r,則新圓錐和圓柱的體積和為：.,解得：.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓柱與圓錐的體積公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.10. （5分）（2015?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以點(diǎn)（1

8、, 0）為圓心且與直線 mx-y-2m- 1=0 （mC R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x T ） 2+y2=2 .考點(diǎn)： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程.專題：計(jì)算題；直線與圓.分析：求出圓心到直線的距離 d的最大值，即可求出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答： 解：圓心到直線的距離 d=<,，m=1時(shí)，圓的半徑最大為，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1） 2+y2=2.故答案為：（x-1） 2+y2=2.點(diǎn)評(píng)：本題考查所圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).*.11. (5 分)(2015?江蘇)設(shè)數(shù)歹U an滿足 ai=1,且 an+i - an=n+1 (n

9、C N),則數(shù)列的前 10項(xiàng)的和為 .考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析： 數(shù)列an滿足a二1,且an+an=n+1 (nC N),利用 累加求和 可得an=.再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.*.解答： 解：:數(shù)列an滿足a二1,且an+廠 an=n+1 (nCN),當(dāng) n>2 時(shí)，an= (an-an1)+-+ ( a2- a)+a產(chǎn)+n+2+1三 當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，a n=.-=2.，數(shù)列的前n項(xiàng)的和S= =.，數(shù)列的前10項(xiàng)的和為.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法、 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

10、于中檔題.12. (5分)(2015?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2- y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為 .考點(diǎn)：J雙曲線的簡單性質(zhì).專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析： 雙曲線x?-y2=1的漸近線方程為x±y=0, c的最大值為直線 x-y+1=0與直線x - y=0 的距離.解答： 解：由題意，雙曲線 x2-y2=1的漸近線方程為x±y=0,因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，所以c的最大值為直線 x-y+1=0與直線x-y=0的距離，即. 故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查雙

11、曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).13. (5 分)(2015?江蘇)已知函數(shù) f (x) =|lnx| , g (x)=,則方程 |f (x) +g (x) |=1 實(shí)根的個(gè)數(shù)為4 .考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析： ：由|f (x) +g (x) |=1可得g (x) = - f (x) ±1,分別作出函數(shù)的圖象，即可 得出結(jié)論.解答： 解：由 |f (x) +g (x) |=1 可得 g (x) =- f (x) ±1.g (x)與h (x) =- f (x) +1的圖象如圖所示，圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；4 a-4g (x)與()

12、(x) = - f (x) - 1的圖象如圖所示，圖象有兩個(gè)交點(diǎn);所以方程|f (x) +g (x) |=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.點(diǎn)評(píng)：本題考查求方程|f (x) +g (x) |=1實(shí)根的個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.14. (5 分)(2015?江蘇)設(shè)向量 =(cos, sin+cos ) (k=0, 1, 2,，12),貝 ( ak? ak+i) 的值為 .考點(diǎn)：數(shù)列的求和.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；平面向量及應(yīng)用.分析:解答:利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、積化和差公式、三角函數(shù)的周 期性即可得出.鏟；-k冗、f . (k+

13、D(k+1)兀斛：二+ 一 .人66o6=+ =+=+,(ak? ak+1)=+,+,+ =+0+0=.故答案為：9.點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、積化和差公式、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、解答題（本大題共6小題，共1t 90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15. （14 分）（2015?江蘇）在 ABC 中，已知 AB=2 AC=3 A=60° .（1）求BC的長；（2）求sin2c的值.考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用；二倍角的正弦.專題：解三角形.分析： （1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出 C的正

14、弦函數(shù)值，然后利用二倍角公式求解即可.解答： 解：（1）由余弦定理可得：bC=aB"+AC?- 2AB? ACcosA=4+8- 2X2X3X=7,所以BC=（2）由正弦定理可得：，則sinC=,. AB< BC, . .C 為銳角，貝U cosC=.因此 sin2c=2sinCcosC=2x =.點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，二倍角的三角函數(shù)，注意角的范圍的解題的關(guān)鍵.16. （14分）（2015?江蘇）如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，已知 ACL BC BC=CC,設(shè)ABi 的中點(diǎn)為D, BCn BC=E.求證：（1） DE/平面 AAGC;（2

15、） BCAB.考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì).專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離.分析： （1）根據(jù)中位線定理得 DE/ AC即證DE/平面AAGC；（2）先由直三棱柱得出 CCL平面 ABC即證AdCC；再證明ACL平面 BCCB1, 即證BCXACC最后證明 BG，平面BAC,即可證出 BGXAB1.解答： 證明：（1）根據(jù)題意，得；E為B1C的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，所以 DE/ AC又因?yàn)?DE?平面 AACC, AC?平面 AAC1C,所以DE/平面AAGC;（2）因?yàn)槔庵?ABC- ABC是直三棱柱，所以CCL平面 ABC因?yàn)锳C?平面ABC所以ACL CG;又因?yàn)?/p>

16、ACLBCCG?平面 BCCB1,BC?平面 BCCB,Ben cci=c,所以AM平面BCCBi；又因?yàn)锽C?平面平面BCCBi, 所以BGAQ因?yàn)锽G=GG所以矩形BCGBi是正方形，所以BG，平面BiAC;又因?yàn)锳B?平面BiAC 所以 BCXABi.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與直線， 直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，也考查了空間想象能力和推理論證能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.17. (14分)(2015?江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū) 的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為li, 12,山區(qū)邊界曲線為 C,計(jì)劃修建的

17、公路為l ,如圖所示，M N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測 得點(diǎn)M到li, l 2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到li, l 2的距離分別為20千米和2.5 千米，以l2, li在的直線分別為x, y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù) y=(其中a, b為常數(shù))模型.(i)求a, b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式f (t),并寫出其定義域； 當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度.考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析： 由題意知，點(diǎn) M, N的坐標(biāo)分別為(5, 40), (20, 2.5 ),將其分別

18、代入y=, 建立方程組，即可求 a, b的值；(2)求出切線l的方程，可得 A, B的坐標(biāo)，即可寫出公路 l長度的函數(shù)解析式f (t),并寫出其定義域；設(shè)g (t)=,利用導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短，并求出最短長度.解答： 解：(i)由題意知，點(diǎn) M N的坐標(biāo)分別為(5, 40), (20, 2.5 ),將其分別代入y=,得，解得，(2)由(i) y= (5<x<20) , P (t ,),v'=-, 切線l的方程為y- =- (x-t)設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x, y軸分別于A, B點(diǎn)，則A(, 0), B (0,), f (t) =, t C

19、5, 20；設(shè) g (t)=，則 g' (t) =2t =0,解得 t=i0 ,t e (5, i0)時(shí)，g' (t) <0, g (t)是減函數(shù)；t e (i0, 20)時(shí)，g' (t) >0, g (t)是增函數(shù)，從而t=i0時(shí)，函數(shù)g (t)有極小值也是最小值， .g (t) min=300, .f (t) min=15,答：t=10時(shí)，公路l的長度最短，最短長度為 15千米.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，確定函數(shù)關(guān)系，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.18. (16分)(2015?江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓+=1

20、 (a>b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn) F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線 l和AB于點(diǎn)P, C,若PC=2AB求直線 AB的方程.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.專題： 直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析： (1)運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，可得 a, c的方程，解得a, c,再由a, b, c 的關(guān)系，可得b,進(jìn)而得到橢圓方程；(2)討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋 達(dá)定理和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線 的

21、方程.解答： 解：(1)由題意可得，e=,且 c+=3,解得 c=1, a=,則b=1,即有橢圓方程為+y2=1;(2)當(dāng)ABlx軸，AB= CP=3不合題意；當(dāng) AB與 x軸不垂直，設(shè)直線 AB: y=k (x-1), A (x1，y1)，B(X2, y2),將AB方程代入橢圓方程可得(1+2k2) x2- 4k2x+2 (k2-1) =0,貝U Xi+X2=, XiX2=,則 C (,),且 |AB|= ?二,若k=0,則AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意；則 kw0,故 PC: y+=- ( x) , P ( 2,),從而|PC|二,由 |PC|二2|AB| ,可得=,解得

22、k=±1, 此時(shí)AB的方程為y=x 1或y= x+1. 點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查兩直線垂直和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬 于中檔題.19. (16 分)(2015?江蘇)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+b (a, b C R).(1)試討論f (x)的單調(diào)性；(2)若b=c- a (實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(-巴 3) U ( 1,) U (, +8),求c的值.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

23、.分析： (1)求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出f (x)的單調(diào)性；(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個(gè)極值為f (0) =b, f (-) =+b,則函數(shù)f (x) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于f ( 0) f ( - ) =b (+b) <0,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)，-a+c>0或a<0時(shí)，-a+cv0.設(shè)g (a) =- a+c,利用條件即可求 c的值.解答： 解：(1) .1 f (x) =x3+ax分析： (1)根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義即可證明； 34 .(2)利用反證法，假設(shè)存在a1, d使得a1, a2 , a3 , a4依次構(gòu)成等比數(shù)列，推出矛盾

24、，否定假設(shè)，得到結(jié)論；(3)利用反證法，假設(shè)存在a1, d及正整數(shù)n, k,使得a；, a2n+k, a3n+2k, a4n+3k依次+b, f' ( x) =3x2+2ax,令 f' ( x) =0,可得 x=0 或-.a=0時(shí)，f' ( x) > 0, . f (x)在(-巴 +8)上單調(diào)遞增；a>0 時(shí)，xC (00, 一) u ( 0, +8)時(shí)，f' ( x) >0, xC ( 一, 0)時(shí)，f' (x) < 0,二.函數(shù)f (x)在(-8, - ) , (0, +8)上單調(diào)遞增，在(-，0)上單調(diào)遞減；a<0 時(shí)

25、，xC (8, 0)u (-, +8)時(shí)，f' ( x) >0, xC (0,-)時(shí)，f' (x) < 0,二.函數(shù)f (x)在(-8, 0),(-, +8)上單調(diào)遞增，在(0,-)上單調(diào)遞減；(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個(gè)極值為f (0) =b, f (-) =+b,則函數(shù)f (x) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于f (0) f (-) =b (+b) <0,b=c- a,，a>0 時(shí)，-a+c>0 或 a<0 時(shí)，-a+cv0.設(shè) g (a) =- a+c,函數(shù)f (x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(-8, 3) U (1,)

26、U(,+°°),，在(-00, 3)上，g (a) v 0 且在(1,) U (, +8)上 g (a) >0 均恒成立，g (- 3) =c- K0,且 g () =c- 1 >0,c=1,此時(shí) f (x) =x3+ax2+1 a= (x+1) x 2+ (a 1) x+1 a,;函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，2x + (a- 1) x+1 - a=0有兩個(gè)異于-1的不等頭根，.=(a-1) 2 4 (1-a) >0,且(-1) 2- (a-1) +1-aw。，解得 aC (8, 3) U ( 1,) U (, +00),綜上c=1 .點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用

27、，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大.20. (16分)(2015?江蘇)設(shè)a1，a2, a3. a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為 d (dw0)的等差數(shù)列.(1)證明：2, 2, 2, 2依次構(gòu)成等比數(shù)列；234 .(2)是否存在a1, d,使得a3 a2 , a3 , a4依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；(3)是否存在a1, d及正整數(shù)n, k,使得aj, a2n+k, a3n+2k, a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由.考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì).專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.構(gòu)成等比數(shù)列， 得至U ai (a1+2d)= (aI+2d),且(a1+d)(

28、a+3d)= (a1+2d)2 ”2k1利用等式以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡整理得到ln (1+3t) ln (1+2t) +3ln (1+2t)In (1+t) =4ln (1+3t) In (1+t), (*),多次構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在 定理，推出假設(shè)不成立.解答： 解：(1)證明：=2d, (n=1, 2, 3,)是同一個(gè)常數(shù)， .2, 2, 2, 2依次構(gòu)成等比數(shù)列;(2)令 ai+d=a,貝U a1，a2, a3, a4分別為 ad, a, a+d, a+2d (a>d, a> 2d, dw0) .一234 一假設(shè)存在ai, d使得ai, a2, a3 , a4依次構(gòu)成

29、等比數(shù)列，貝U a4= (ad) (a+d) 3,且(a+d) 6=a2 (a+2d) 4,令 t=,貝U 1= (1 t) (1+t) 3,且(1+t) 6=( i+2t) 4, ( v t v 1, t w0),化簡得 t3+2t2-2=0 (*),且 t2=t+1 ,將 t2=t+1 代入(*)式，t (t+1 ) +2 (t+1 ) 2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ，則 t=一,顯然t=-不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立， 因此不存在a1, d,使得a1, a22, a33, a44依次構(gòu)成等比數(shù)列.(3)假設(shè)存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得aj,a2n+k,a3n+

30、2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列,則 aJ(a+2d)n+2k=(a1+2d) 2 (n+k),且(a+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以=a12(n+k), a；”%,并令t=, (t>, tw0),則(1+2t) n+2k= (1+t) 2(n+k),且(1+t) n+k (1+3t) n+3k= (1+2t) 2(n+2k), 將上述兩個(gè)等式取對(duì)數(shù)，得( n+2k) ln (1+2t) =2 (n+k) ln (1+t),且(n+k) ln (1+t) + ( n+3k) ln (1+3t) =2 (n+2k) ln (1+

31、2t), 化簡彳導(dǎo),2kln (1+2t) - ln (1+t) =n2ln(1+t) - ln (1+2t),且 3kln(1+3t) - ln (1+t) =n3ln(1+t) - ln (1+3t),再將這兩式相除，化簡得，ln (1+3t) ln (1+2t) +3ln (1+2t) ln (1+t) =4ln (1+3t) ln (1+t), (*) 令 g (t) =4ln (1+3t)ln(1+t) -ln (1+3t)ln (1+2t) +3ln (1+2t) ln (1+t),則 g' ( t) = (1+3t)2ln(1+3t) 3 (1+2t)2ln(1+2t)

32、+3 (1+t)2ln (1+t),令()(t) = (1+3t) 2ln (1+3t) 3 (1+2t) 2ln (1+2t) +3 (1+t) 2ln (1+t), 則()'(t ) =6 (1+3t) ln (1+3t) 2 (1+2t) ln (1+2t) +3 (1+t) ln (1+t), 令 4 1 (t) =4 ' ( t ),貝U 4 1' ( t) =63ln (1+3t) 4ln (1+2t) +ln (1+t), 令()2 (t) =(f)J (t),貝 U (H' (t) =>0,由 g (0) =(f)(0) =(f)1 (0)

33、 =(f)2 (0) =0, e 2' (t) >0,知 g (t), 4 ( t), 4 1 (t), 4 2 (t)在(，0)和(0, +8)上均單調(diào)， 故g (t)只有唯一的零點(diǎn)t=0 ,即方程(*)只有唯一解t=0 ,故假設(shè)不成立， 所以不存在a1, d及正整數(shù)n, k,使得aJ, a2n+k, a3n+2k, a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力，屬于難題.三、附加題(本大題包括選做題和必做題兩部分)【選做題】本題包括 21-24題，請(qǐng)選定其

34、中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟【選修 4-1 :幾何證明選講】21. (10分)(2015?江蘇)如圖，在 ABC中，AB=AC 4ABC的外接圓。0的弦AE交BC 于點(diǎn)D.求證：4ABAAEB考點(diǎn)：相似三角形的判定.專題：推理和證明.分析：直接利用已知條件，推出兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可證明三角形相似.解答： 證明：.AB=AC，/ ABDW C,又/C=/ E,，/ ABDW E,又 / BAE 是公共角, 可知：AABDAAEB點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的基本性質(zhì)與相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力.【選修4-2 :矩陣與變換】22

35、. （10分）（2015?江蘇）已知x, yCR,向量=是矩陣的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量， 求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值.考特征值與特征向量的計(jì)算.點(diǎn)：專矩陣和變換.題：分 利用A=- 2,可得A=，通過令矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 0即得結(jié)論.析：解 解：由已知，可得 A=- 2,即=,答： 則，即，矩陣A=,從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f （入）=（入+2）（入T）,，矩陣A的另一個(gè)特征值為1.點(diǎn)本題考查求矩陣及其特征值，注意解題方法的積累，屬于中檔題.評(píng)：【選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23. （2015?江蘇）已知圓 C的極坐標(biāo)方程為 p 2+2 p sin （。-）- 4=0,求圓C的半

36、徑.考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程.專題：計(jì)算題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程.分析： 先根據(jù)x= p cos 0 , y= p sin 0 ,求出圓的直角坐標(biāo)方程，求出半徑.解答：解：圓的極坐標(biāo)方程為p 2+2 p sin （9-） -4=0,可得p 2-2 p cos 0 +2 p sin 04=0,化為直角坐標(biāo)方程為 x2+y2- 2x+2y - 4=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x- 1） 2+ （y+1） 2=6, 圓的半徑r=.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，以及求點(diǎn)的極坐標(biāo)的方法，關(guān)鍵是利用公式 x= p cos 0 , y= p sin 0 ,比較基礎(chǔ)，選彳4-5 :不等式選講】2

37、4. （2015?江蘇）解不等式 x+|2x+3| >2.考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法.專題： 不等式.分析： 思路 1 (公式法)：利用 |f (x) | >g ( x) ? f (x) >g ( x),或 f (x) w - g (x); 思路2 (零點(diǎn)分段法)：對(duì)x的值分“x>” “xv”進(jìn)行討論求解.解答： 解法 1： x+|2x+3| >2 變形為 |2x+3| >2- x,得 2x+3>2- x,或 2x+3'- (2-x),即 x>,或 x< - 5,即原不等式的解集為x|x >，或 x< - 5.解法 2:令

38、 |2x+3|=0 ,得 x=.當(dāng)x>時(shí)，原不等式化為 x+ (2x+3) >2,即x>,所以x>xv時(shí)，原不等式化為 x- ( 2x+3) >2,即x< - 5, 所以x< - 5.綜上，原不等式的解集為x|x >，或 x< - 5.點(diǎn)評(píng)：本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法.本解答給出的兩種方法是常見的方法，不管用哪種方法，其目的是去絕對(duì)值符號(hào).若含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，利用公式法要快捷一些，其套路為：|f(x)| >g (x)? f(x)>g( x),或 f(x)< - g(x);|f (x)|Wg(x)?- g (x) w

39、f (x) Wg (x).可簡記為：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間.使 用零點(diǎn)分段法時(shí)，應(yīng)注意：同一類中取交集，類與類之間取并集.【必做題】每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟25. (10分)(2015?江蘇)如圖，在四錐P- ABCD4已知PL平面ABCD且四邊形 ABCD 為直角梯形，/ ABCW BAD= PA=AD=2 AB=BC=1(1)求平面PAB與平面PC所成二面角的余弦值；(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線 CQf DP所成的角最小時(shí)，求線段 BQ的長.考點(diǎn)： 專題： 分析：解答:二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.空間位置關(guān)系與距離；空間角

40、.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AR AD. AP所在直線分別為x、v、z軸建系A(chǔ)- xyz .(1)所求值即為平面 PAB的一個(gè)法向量與平面 PCD勺法向量的夾角的余弦值的絕對(duì) 值，計(jì)算即可；(2)利用換元法可得 cos2< , X , %合函數(shù) y=cosx在(0,)上的單調(diào)性，計(jì)算即 得結(jié)論.解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AR AD. AP所在直線分別為x、v、z軸建系A(chǔ)- xyz如圖, 由題可知 B (1, 0, 0), C (1, 1, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2).(1) ADL平面 PAB .= (0, 2, 0),是平面 PAB的一個(gè)法向量，= (1, 1,

41、- 2), 二 (0, 2, 2),設(shè)平面PCD勺法向量為=(x, v, z),由，得，取 y=1,得=(1, 1, 1), cosv, > =,平面PABW平面PC所成兩面角的余弦值為；(2) .=( 1, 0, 2),設(shè)=入=(一入，0, 2入)(0W 入 w 1),又=(0, 1, 0),貝U=+=(一入，1, 2入)，又=(0, - 2, 2),從而 cos <, > =, 設(shè) 1+2 入=t, t 1 , 3, 2-貝U cos <, > =< ,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即入=時(shí)，|cos <, > |的最大值為，因?yàn)閥=cosx在(0,)上是減

42、函數(shù)，此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值.又BP=BQ=BP=點(diǎn)評(píng)：本題考查求二面角的三角函數(shù)值，考查用空間向量解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題. *26. (10 分)(2015?江蘇)已知集合 X=1 ,2,3, Yn=1 , 2, 3,，n) (nC N),設(shè) &= (a, b) |a整除b或整除a, a C X, BC Yn,令f (n)表示集合 S所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫出f (6)的值；(2)當(dāng)n>6時(shí)，寫出f (n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法.專題：綜合題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.分析： (1) f (6) =6+2+=13;(

43、2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，分類討論，即可證明結(jié)論.解答： 解：(1) f (6) =6+2+=13;n+2+n+2+92+I(2)當(dāng)n>6時(shí)，f (n)=門十之十n+2+(耨).C-) , n=6-t+2(刀哥)宙6廿3, n=6t+5下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：n=6 時(shí)，f (6) =6+2+=13,結(jié)論成立；假設(shè)n=k (k>6)時(shí)，結(jié)論成立，那么 n=k+1時(shí)，Sk+1在鼠的基礎(chǔ)上新增加的元 素在(1, k+1), (2, k+1), (3, k+1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：1)若 k+1=6t ,貝U k=6 (t 1) +5,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +3=

44、(k+1) +2+,結(jié)論 成立；2)若 k+1=6t+1 ,貝U k=6t+1 ,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +1=k+2+1= (k+1) +2+, 結(jié)論成立；3)若 k+1=6t+2 ,則 k=6t+1 ,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +2=k+2+2= (k+1) +2+, 結(jié)論成立；4)若 k+1=6t+3 ,貝U k=6t+2 ,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +2=k+2+2= (k+1) +2+,結(jié)論成立；5)若 k+1=6t+4 ,貝U k=6t+3 ,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +2=k+2+2= (k+1) +2+, 結(jié)論成立；6)若 k+

45、1=6t+5 ,貝U k=6t+4 ,此時(shí)有 f (k+1) =f (k) +2=k+2+2= (k+1) +2+, 結(jié)論成立.綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足 n>6的自然數(shù)n均成立.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確歸納是關(guān)鍵.2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分）1. （5分）（2015?江蘇）已知集合 A=1 , 2, 3, B=2, 4, 5,則集合 AU B中元素的個(gè)數(shù) 為.2. （5分）（2015?江蘇）已知一組數(shù)據(jù)4, 6, 5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 3. （5分）（2015?江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3

46、+4i （i是虛數(shù)單位），則z的模為4. （5分）（2015?江蘇）根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為.5. （5分）（2015?江蘇）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只紅球、2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 .6. （5 分）（2015?江蘇）已知向量 =（2, 1）, = （1, - 2）,若 m+n=（9, - 8） （m, nC R , 則m- n的值為.7. （5分）（2015?江蘇）不等式 2V4的解集為 .8. （5分）（2015?江蘇）已知 tan a =- 2, tan （ a +3 ）=,貝U tan 3 的值為.9. （5

47、分）（2015?江蘇）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為 2,高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 .10. （5分）（2015?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以點(diǎn)（1, 0）為圓心且與直線 mx- y -2m- 1=0 （mC R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .一 * 11. （5 分）（2015?江蘇）設(shè)數(shù)歹U an滿足 a1=1,且 an+1 - an=n+1 （nC N）,則數(shù)列的前 10 項(xiàng)的和為.12. （5分）（2015?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，P為雙曲線

48、x2- y2=1右支上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為 .13. （5 分）（2015?江蘇）已知函數(shù) f （x） =|lnx| , g （x）=,則方程 |f （x） +g （x） |=1 實(shí)根的個(gè)數(shù)為.14. （5 分）（2015?江蘇）設(shè)向量 =（cos, sin+cos ） （k=0, 1, 2,，12）,貝 （ ak? ak+1） 的值為.二、解答題(本大題共6小題，共at 90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15. (14 分)(2015?江蘇)在 ABC 中，已知 AB=2 AC=3 A=60° .(1)求BC的長；(2)求sin2c的值.16. (14分)(2015?江蘇)如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，已知 ACL BC BC=CC,設(shè)AB 的中點(diǎn)