2020-2021中考數(shù)學與銳角三角函數(shù)有關(guān)的壓軸題附詳細答案

1、2020-2021中考數(shù)學與銳角三角函數(shù)有關(guān)的壓軸題附詳細答案、銳角三角函數(shù)1.如圖，4ABC內(nèi)接于。O, BC 2,AB AC，點D為AC上的動點，且cosB 叵 10(1)求AB的長度；(2)在點D運動的過程中，弦 AD的延長線交BC的延長線于點E,問AD?AE的值是否變化? 若不變，請求出 AD?AE的值；若變化，請說明理由.DH .在點D的運動過程中，過 A點作AHXBD,求證：BH CD【答案】(1) AB =50 ; (2) AD AE 10 ; (3)證明見解析【解析】【分析】(1)過A作AFL BC,垂足為F,交。于G,由垂徑定理可得 BF=1,再根據(jù)已 知結(jié)合Rt AAFES

2、PM求得 AB長；(2)連接DG,則可得AG為。的直徑，繼而可證明 DA34FAE)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 AD?AE=AF?AG連接BG,求得AF=3, FG=1 ,繼而即可求得 AD?AE的值；3(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,通過證明AD8 4ADN,可得AC=AN,繼而可得 AB=AN,再卞據(jù) AHXBN,即可證得 BH=HD+CD.【詳解】(1)過A作AU BC,垂足為F,交。于G,1 . AB=AC, AF BC, . . BF=CF=1 BC=1,嘰，,W在 RtAAF沖,BF=1,-AB=cosB V10；10(2)連接DG,2 .AFXBC, BF=

3、CF，AG 為。的直徑，. / ADG=/ AFE=90 , 又 / DAG=Z FAE DAG FAE,3 .AD: AF=AG: AE,4 .AD?AE=AF?AG連接 BG,貝U/ABG=90,BF AG, z. BF2=AF?FG-af=/ab_BF7=3,-1.FG=-，3c- c-10，AD?AE=AF?AG=AF? (AF+FQ =3 X=10；(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,3 / ADB=Z ACB=Z ABC, / ADC+Z ABC=180 , / ADN+Z ADB=180 ,/ ADC=Z ADN,4 . AD=AD, CD=ND,5 .ADC

4、AADN,.AC=AN,6 .AB=AC, .1. AB=AN,7 .AHXBN,8 .BH=HN=HD+CD.向的C處，求該船與B港口之間的距離即【點睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定 與性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵2 . （6分）某海域有 A, B兩個港口， B港口在A港口北偏西30方向上，距 A港口 60海里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75。方CB的長（結(jié)果保留根號）【解析】試題分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=V，2 ,求出/ C=60 ,根據(jù)正切的

5、定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=區(qū),/ BAC=Z BAE+Z CAE=75 : / ABC=45 ,AD./C=60；在 RACD中，/C=60； AD3 則 tanC=；。， . CD= / =00,.BC=#V?+15.故該船與B港口之間的距離CB的長為3口區(qū)+ 海里.考點：解直角三角形的應用 -方向角問題.3 .如圖，在平行四邊形ABCD中，人工平分上,交于點，F(xiàn)平分乙1。，交仞于點 與斤F交于點P,連接叼，PD（1）求

6、證：四邊形是菱形；（2）若融叩=6=求tanDP的值.BA C【答案】（1）證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)AE平分/ BAD BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形（2）由菱形的性質(zhì)可知 AP的長及/PAF=60,過點P作PHI AD于H,即可得到 PH、DH 的長，從而可求tan/ADP試題解析：（1）.AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF 1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB / AFB=/ ABF.AB=BE AB=AF

7、 .AF=AB=BE1.AD/BCABEF為平行四邊形又 AB=BE.ABEF為菱形(2)作 PHIAD于 H甘由/ABC=60 而已(1)可知 /PAF=60, PA=2,貝U有 PH=/J ， AH=1, . DH=AD-AH=5 ，tan/ADP=考點：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)4.如圖(1),在平面直角坐標系中，點A (0, - 6),點B (6, 0) . RtACDE中，ZCDE=90, CD=4, DE=4后，直角邊 CD在y軸上，且點 C與點A重合.RtCDE沿y軸 正方向平行移動，當點 C運動到點O時停止運動.解答下列問題：(1)如圖(2),當Rt

8、A CDE運動到點 D與點。重合時，設(shè) CE交AB于點M,求/ BME 的度數(shù).(2)如圖(3),在RtA CDE的運動過程中，當 CE經(jīng)過點B時，求BC的長.(3)在RtACDE的運動過程中，設(shè) AC=h, OAB與 CDE的重疊部分的面積為 S,請寫出 S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值.即圄2圖3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4后；石+(3) hW2時，S=- -h2+4h+8,4當 h2時，S=18- 3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對頂角的定義知，/BME=/ CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進行解答即可；(2

9、)如圖3,由已知可知 /OBC=/ DEC=30,又OB=6,通過解直角 BOC就可求出BC的長度；(3)需要分類討論：hW2時，如圖4,作MN，y軸交y軸于點N,作MFLDE交DE于點 F, S=Sedc- Saefm; 當 h2時，如圖 3, S=Sobc.試題解析：解：(1)如圖2,圖22 .在平面直角坐標系中，點 A (0, - 6),點B (6, 0) .OA=OB,Z OAB=45 ；3 / CDE=90 ； CD=4, DE=4百,/ OCE=60 ； ./CMAOCE- Z OAB=60 -45 =15 ；/ BME=Z CMA=15 :如圖3,邸/ CDE=90, CD=4,

10、 DE=4百,/ OBC=Z DEC=30,.OB=6,BC=4# ;(3)hW2時，如圖4,作MNy軸交y軸于點N,作MF, DE交DE于點F,V力B j甲圖4. CD=4, DE=4石，AC=h, AN=NM , .CN=4- FM, AN=MN=4+h FM,.CMNsceq,cvCD-4+h-FAf =-4 4g 解得FM=4一正口,72S=SEDC- Saefm=- x 43 - - (4J34h) X (4-2-& ) =-2i_h h2+4h+8,24如圖3,當h*時，1 1c,、S=SOBC=- OCX OB= (6-h) X6=18 3h.考點：1、三角形的外角定理；2、相似

11、；3、解直角三角形k-5.如圖，反比例函數(shù) y k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象相交于 xA(1,a),B兩點，點C在第四象限，CA / y軸， ABC 90 .(1)求k的值及點B的坐標；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ; (2) 2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點A在直線y=2x上，求得點A的坐標，再根據(jù)點 A在反比例函數(shù)ky - k 0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點 A、B關(guān)于原點對稱即可x求得點B的坐標；(2)作BH, AC于H,設(shè)AC交x軸于點D,根據(jù) ABC 90 , BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得 AOD ABH

12、,從而得 C AOD ,求出tanC 即可.【詳解】(1) ;點A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),把A（1, 2）代入;反比例函數(shù)yk-k 0的圖象與正比例函數(shù)xy 2x的圖象交于A， B兩點, A B兩點關(guān)于原點。中心對稱,B 1, 2 ；(2)作 BHIAC于 H,設(shè)AC交X軸于點D,ABC 90 ,CA/ y 軸，BHBHC 90 , CX x軸，AODABH ,ABH , C AOD ,-1 tanC tan AOD數(shù)等知識，熟練掌握和應用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出 /C=/AOD是關(guān)鍵.AD 2 2 . 1【點睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問題，涉

13、及到待定系數(shù)法、中心對稱、三角函6.如圖，在ABC中，/ABC= 90,以AB的中點。為圓心，OA為半徑的圓交 AC于點D, E是BC的中點，連接DE, OE.（1）判斷DE與。的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：BC? = 2CD?OE;一 4 3 _ 14（3）右 cos BAD , BE ，求 OE 的長.53B E C【答案】（1） DE為。的切線，理由見解析；（2）證明見解析；（3） OE =一.6【解析】試題分析：（1）連接OD, BD,由直徑所對的圓周角是直角得到/ADB為直角，可得出 BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE

14、從而得/C=/ CDE,再由OA=OD,得/A=/ADO,由RtABC中兩銳角互余，從而可得/ADO與/CDE互余，可得出/ODE為直角，即DE垂直于半徑 OD,可得出 DE為。的切線；(2)由已知可得 OE是 ABC的中位線，從而有 AC=2OE再由/C=/ C, / ABC=/ BDC, 可得ABJBDC,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；(3)在直角 ABC中，利用勾股定理求得 AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.試題解析：(1) DE為。的切線，理由如下：.AB為。的直徑，/ ADB=90 ,在RtBDC中，E為斜邊BC的中點,八1八.CE=DE=BE=- BC,/

15、 C=Z CDE -.OA=OD,/ A=Z ADO,/ ABC=90 ,/ C+/ A=90 ; / ADO+Z CDE=90,/ ODE=90 ；DEXOD,又OD為圓的半徑，.DE為。O的切線；(2) 是BC的中點，O點是AB的中點, .OE是 ABC的中位線，.AC=2OE, / C=Z C, / ABC=Z BDC, .ABCABDC,SC AC i q 一=-，即 BC2=AC?CDCD SCBC2=2CD?OE(3)解：cos/ BAD=, .sin / BAC= ACBC 41JTg又.BEj, E是BC的中點，即BC= JJ35.AC= 又 AC=2OE135.OE=- AC

16、=二 6考點：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù) 7.已知：4ABC內(nèi)接于。O, D是弧BC上一點，OD，BC,垂足為 H.（1）如圖1,當圓心O在AB邊上時，求證：AC=2OH；（2）如圖2,當圓心 O在4ABC外部時，連接 AD、CD, AD與BC交于點P,求證: / ACD=Z APB;（3）在（2）的條件下，如圖 3,連接BD, E為。O上一點，連接 DE交BC于點Q、交AB 于點N,連接OE, BF為OO的弦，BF OE于點R交DE于點G,若/ACD-ZABD=2ZBDN, AC=5t/5 , BN=3j , tan/ABC3 ,求 BF 的長.（圖1）（圖門部

17、）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） 24.【解析】試題分析：（1）易證OH為 ABC的中位線，可得 AC=2OH； （2） / APB=/ PAC吆ACP, / ACD=/ ACB+Z BCD,又/ PAC =/ BCD,可證 / ACD=Z APB; (3)連接 AO延長交于。于點I,連接IC, AB與OD相交于點 M,連接OB,易證/GBN=/ ABC,所以BG=BQ.在RtBNQ中，根據(jù)tan/ABCl,可求得NQ、BQ的長.利用圓周角定理可求得 IC和AI的長度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出 QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長、 1 _、度，最后利用tan

18、/OEDq即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度.試題解析：(1)在。中，OD BC, .-.BH=HC,二,點。是 AB 的中點，AC=2OH;(2)在。中，OD BC, .弧 BD哪 CD,/ PAC4 BCD -/ APB=/ PAC吆 ACP,/ACD=/ ACB+Z BCD, . / ACD=/ APB; (3)連接 AO延長交于。于點 I,連接 IC, AB 與OD相交于點 M,連接OB, / ACD- / ABD=2/ BDN, / ACD- / BDN=Z AND,.tan/ABC1，. =2 EV以二屈十|3/二二，. / BNQ=/QHD=90 ；/ ABC=Z

19、 QDH,.OE=OD,/ OED=Z QDH, / ERG=90,/ OED=Z GBN,/ GBN=/ ABC, AB，ED, / ACD- / BDN=Z ABD+Z BDN, / ABD+Z BDN=Z AND, Z ACD+Z ABD=180. 2/AND=180/ AND=90 ；BG=BQ= , GN=NQ=iI ?7 / ACI=90 , tan / AIC=tanZ ABC=yAC，ic=O摳，.一由勾股定理可求得:AI=25,-2x.HD=2x,設(shè) QH=x, tan / ABC=tanZ ODE=(,BH=BQ+QH= . 一 -OB2=BH2+OH2,時，.QD=W1，

20、ND=6J7, MN=3a/5 , MD=15, . AO J，,QH 不符合題意，舍去，當時，/.QD-. ND=NQ+QD=4代，ED=10后，gd=gn+nd* ,，eg=ed- gd= ,1RG 1tan / OED= ,:,1ER2EG=VS RG,RG= ,BR=RG+BG=121 BF=2BR=24考點：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形8.如圖，在 4ABC中，/A=90, /ABC=30, AC=3,動點D從點A出發(fā)，在 AB邊上以每秒1個單位的速度向點 B運動，連結(jié)CD,作點A關(guān)于直線CD的對稱點E,設(shè)點D運動時間為t (s)(1)若4BDE是以BE為底的等腰三角

21、形，求 t的值;(2)若4BDE為直角三角形，求t的值;9(3)當SxBCEEC9時，所有滿足條件的t的取值范圍(所有數(shù)據(jù)請保留準確值，參考2數(shù)據(jù)：tan15 =2- 33) -【答案】(1) 3/3 ； (2) 73秒或 3 秒；(3) 6-3Qwt W32【解析】【分析】(1)如圖1,先由勾股定理求得 AB的長，根據(jù)點 A、E關(guān)于直線CD的對稱，得CD垂直 平分AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得： AD=DE,所以AD=DE=BD由AB=3 J3 ,可得t 的值；(2)分兩種情況：當/DEB=90時，如圖2,連接AE,根據(jù)AB=3t=3 V3 ,可得t的值；當/EDB=90時，如圖3,根據(jù)A

22、GXEGD,彳導AC=DE由AC/ ED,得四邊形 CAED 是平行四邊形，所以 AD=CE=3即t=3;(3) BCE中，由對稱得：AC=CE=3所以點D在運動過程中，CE的長不變，所以 4BCE 面積的變化取決于以 CE作底邊時，對應高的大小變化， 當4BCE在BC的下方時， 當4BCE在BC的上方時，分別計算當高為3時對應的t的值即可得結(jié)論.【詳解】解：(1)如圖1,連接AE,由題意得：AD=t, / CAB=90 ； / CBA=30 ； BC=2AC=6AB=J62 3 =3石，點A、E關(guān)于直線CD的對稱,CD垂直平分AE,，AD=DE,BDE是以BE為底的等腰三角形，DE=BD,.

23、AD=BD,.t=AD= 3-1 ；2(2) BDE為直角三角形時，分兩種情況：當/DEB=90時，如圖2,連接AE,.CD垂直平分AE,.AD=DE=t, / B=30 ；BD=2DE=2t, .AB=3t=3 73 , 仁 3 ； 當/EDB=90時，如圖3,連接CE,.CD垂直平分AE, .CE=CA=3 / CAD=Z EDB=90 , .AC/ ED,/ CAG=/ GED, . AG=EG, /CGA=/EGD,.AGCAEGD,.AC=DE,1. AC/ ED,四邊形CAED是平行四邊形， .AD=CE=3,即 t=3;綜上所述， BDE為直角三角形時，t的值為J3秒或3秒；(3

24、) 4BCE中，由對稱得：AC=CE=3所以點D在運動過程中，CE的長不變，所以 4BCE 面積的變化取決于以 CE作底邊時，對應高的大小變化， 當4BCE在BC的下方時，過 B作BHXCE,交CE的延長線于 H,如圖4,當AC=BH=3 時，此時 Sbce=1AE?BH=1 X 3X 9=,222易得 AACGAHBG,.CG=BG,/ ABC=Z BCG=30 ,/ ACE=60 - 30 =30 ；. AC=CE AD=DE, DC=DC. .AC* ECD,/ ACD=Z DCE=15, tan / ACD=tan15 = =2 -翼.t=6-3 向由圖形可知：0vtv6-3百時，AB

25、CE的BH越來越小，則面積越來越小, 當4BCE在BC的上方時，如圖 3, CE=ED=3且CE! ED,此時 SBCE=-CE?DE=1 X 3X 9=,此時 t=3, 2229綜上所述，當Sabc行時，t的取值范圍是6-373 t/10 ， FO. 10 .即e O的半徑的長為質(zhì).【點睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應用，適當?shù)奶?加輔助線是解題的關(guān)鍵.10.在ABC中，/B=45, /C= 30,點D是邊BC上一點，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接DE.(1)如圖，當點E落在邊BA的延長線上時， ZEDC=(直接填空)；1

26、(2)如圖，當點E落在邊AC上時，求證：BD= EC；2J3 -1時，直接寫出tan/CAE 的值.【答案】(1) 90； (2)詳見解析；(3) tan EAC 6 娛11【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；(2)如圖2中，作PA，AB交BC于P,連接PE.只要證明BA44PAE (SAS ,提出BD=PE 再證明 EC=2PE可；(3)如圖3,作EH AC于F,延長FE交BC于H,作AGLBC于G, PA! AB交BC于P, 連接 PE.設(shè) PH= x,在 RtEPH中，可得 EP= J3x, EH= 2PH=2x,由此 FH= 2x+百1, CF= 2 向 x+3

27、V3,由 BA4 PAE,彳# BD= EP= T3x, AE= AD,在 RtABG 中，AG= GB= 2,在 RtA AGC中，AC= 2AG=4,故 aE? = AD2= AF2+EF2, 由勾股定理得 AF=1 + J3,由此tan/EAF= 2 -底,根據(jù)對稱性可得tan Z EAC=6-3611【詳解】/ EDC= 90 ；故答案為90;(2)如圖2中，作PAL AB交BC于P,連接PE.圖2 / DAE= / BAP= 90 ,/ BAD= / PAE / B= 45 ,/ B= ZAPB= 45 ；.AB= AP,1 .AD= AE,2 .BADAPAE (SAS ,.BD=

28、PE, /APE=/B = 45 ,/ EPD= / EPC= 90 ,Z C= 30 ,3 .EC= 2PE= 2BD；(3)如圖3,作EH AC于F,延長FE交BC于H,作AGBC于G, PAI AB交BC于P, 連接PE.圖3設(shè) PH= x,在 RtEPH 中，. /EPH= 90, Z EHP= 60, EP=由x, EH= 2PH=2x,4 .FH= 2x+ - 1 , CF= FH= 2 V3x+3 - g，,.BADAPA,-.BD=EP=芯x, AE= AD,在 RtABG 中， AB= 2 亞，,-.AG=GB= 2,在 RtA AGC 中,AC= 2AG= 4, ae2=a

29、d2=af2+e*,22+ (2 173 x) 2= ( 33 - 1) 2+ (4 2 3x 3+3 ) 2,整理得：9x2 - 12x= 0,解得x= 4 (舍棄)或03 .PH=0,此時 E, P, H 共點, .AF=1+ .3 ,tan / EAF=- = 2 5y3 .AF .3 1根據(jù)對稱性可知當點 E在AC的上方時，同法可得tan / EAC= 6-33 .11【點睛】 本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性 質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.11.如圖，在？ABCD中，AC

30、與BD交于點O, AC BC于點C,將4ABC沿AC翻折得到 AEC,連接 DE.(1)求證：四邊形 ACED是矩形；【答案】(1)證明見解析(2) 6匹655【解析】【分析】(1)根據(jù)？ABCD中，AC BC,而AB8 4AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在 4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應邊的長度，即可求出 /ABD的正弦值.【詳解】(1)證明： WAABC沿AC翻折得到aAEC, ，BC= CE, AC CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/ BC, AD= BC,.AD=CE, AD/CE, 四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2

31、)解：方法一、如圖 1所示，過點A作AF BD于點F, . BE=2BC= 2Xk6, DE=AC= 4,.二在 RtBDE 中，BD - BE2T _711DE2V62 422713Sabde= -X DE?AD -AF?BD, . AF =2 .136j313 .RtABC中，AB= 73242=5, RtA ABF 中，AF 6 136 .13sin/ABF= sin/ABD= ab 1365方法二、如圖2所示，過點。作OF，AB于點F,同理可得, 1 一OB= BD 2713,SiAAOB=1-OF AB21八 一-OA BC , 222.OF=5.在 RtBOF 中,sin/FBO=

32、0F 6OB 5*136.1365，sinZ ABD= 13 .65SC【點睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì) 和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計算公式求出sin/ABD.12.拋物線 y=ax2bx+4 (awQ 過點 A(1, - 1), B(5, - 1),與 y 軸交于點 C.(1)求拋物線表達式；(2)如圖1,連接CB,以CB為邊作？CBPQ若點P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標平面內(nèi)的一點，且 ？CBPQ的面積為30,求點P坐標； 過此二點的直線交 y軸于F,此直線上一動點 G,當GB+ GF最小時，求

33、點G坐標.2(3)如圖2, OO1過點A、B、C三點，AE為直徑，點 M為上的一動點(不與點 A, E重 合)，/MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于 N,求線段BN長度的最大值21I【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)P(2, -4)或 P(3,-5)G(0,-2) (3) 3質(zhì)【解析】【分析】(1)把點A (1, -1) , B (5, -1)代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達式；(2)如圖，連接PC,過點P作y軸的平行線交直線 BC于R,可求彳#直線BC的解析式1為：y=-x+4,設(shè)點 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4),因為？CB

34、PQ的面積為 30,所以 Sapbc=-2X (-t+4-t2+6t-4) 書 15,解得t的值，即可得出點 P的坐標；當點P為(2,-4)時，求2得直線QP的解析式為：y=-x-2,得F (0, -2) , / GOR=45,因為GB+X22GF=GB+GR所以當G于F重合時，GB+GR最小，即可得出點 G的坐標；當點P為(3,- 5)時，同理可求；(3)先用面積法求出 sin/ACB=Z3, tan Z ACB=2 ,在RtABE中，求得圓的直徑，133因為 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因為 tanN=MB = 2,所以 BN=- MB 當 MB 為 BN 32直徑時，B

35、N的長度最大.【詳解】 解：(1)二.拋物線 y=ax2+bx+4 (aw。過點 A (1, -1) , B (5, -1),1= a b 41= 25a 5b 4a=1，解得, cb= 61拋物線表達式為 y=x2- 6x+4.(2)如圖，連接PC,過點P作y軸的平行線交直線 BC于R,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,. B (5, -1) , C (0, 4),1= 5k m k= 1.,解得4= mm= 4直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)點 P (t, t2-6t+4) , R (t, -t+4), .?CBPQ的面積為30, SapbC=- X (-t+4-t2+6t-4)15,

36、解得t=2或t=3 ,當 t=2 時，y=-4當 t=3 時，y=-5, 點 P坐標為（2, -4）或（3, -5）;當點P為（2,-4）時， 直線 BC 解析式為：y=-x+4, QP/ BC, 設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n,將點P代入，得-4=-2+n, n=-2, 直線QP的解析式為：y=-x-2, .F （0, -2） , /GOR=45； .GB+-GF=GB+GR當G于F重合時，GB+GR最小，此時點 G的坐標為（0, -2）,同理，當點P為（3, -5）時，直線QP的解析式為：y=-x-2, 同理可得點G的坐標為（0, -2）,）.A （1, -1） , B （5,-1）

37、C （0, 4）,1一 ABX 5,2 AC=/26 , BC=5a/2 ，. . Saabc= 1 ACX BCsM ACB=2sin / ACB=, tan / ACB=一,13AE 為直徑，AB=4,/ ABE=90 ,，,一 2. 134. sin / AEB=sinZ ACB=1=,13 AE .AE=2 而3,. MBXNB, /NMB=/EAB, / N=/AEB=/ ACB,MB 2tanN= 一 ,BN 3.BN=3MB,2當MB為直徑時，BN的長度最大，為 3 而.【點睛】題考查用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì).解

38、決(3)問的關(guān)鍵是找到 BN與BM之間的數(shù)量關(guān)系.13.已知：如圖，直線 y=x+ 12分別交x軸、y軸于A、B點，將4AOB折疊, 恰好落在OB的中點C處，折痕為DE.(1)求AE的長及sin / BEC的值；(2)求4CDE的面積._375【答案】(1) 5拒，sin/BEC=; (2) 一54【解析】【分析】(1)如圖，作CF,BE于F點，由函數(shù)解析式可得點 B,點A坐標，繼而可得ZA=Z B=45 ；再根據(jù)中點的定義以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得OC=BC=6CF=BF=372 ,設(shè) AE=CE=X 貝U EF=AB-BF-AE=12/2-3 J2-x=9j2-x,在 RtCEF中，利用勾股定理求出 x 的值即可求得答案；(2)如圖，過點E作EMLOA于點M,根據(jù)三角形面積公式則可得Sacde=SaelIadx AE 設(shè) AD=y,則 CD=y, OD=12-y,在 RtOCD中，利用勾股定理求4出y,繼而可求得答案.【詳解】(1)如圖，作 CFBE于F點,由函數(shù)解析式可得點 B (0, 12),點A (12, 0) , /A=/B=45,又點C是OB中點