2020屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試題

1、北京市朝陽區(qū)高三年級高考練習一2020.4（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題 共40分）、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合A 1,3,5 , B xZ|(x 1)(x 4) 0 ,則 AU B(2)(3)(A)3(B)1,3(C)1,2,3,5(D) 1,2,3,4,5卜列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(A) y x3(B)(0,）上單調(diào)遞增的是(C)y 10g2 x(

2、D)y 21x1在等比數(shù)列an中,ai 1 ，a48,則an的前6項和為(A)21(B)11(C) 31UULT（4）如圖，在 ABC中，點D , E滿足BCuuiir2BD ,uurCAuuuuuir3CE .若 DE(D) 63uuruuirx AB y AC (x, yR),則x(A)(B)(C)(D)1213123（5）已知拋物線C : y22px（p 0）的焦點為F ,準線為l，點A是拋物線C上一點,AD l若 AF 4 , DAF60 ,則拋物線C的方程為2_(A) y 8x，一、 2(B)y 4x2(C)y 2x2(D y x3種作為教師“停課不停學”（6）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊

3、 5種在線教學軟件，若某學校要從中隨機選取(8)(9)的教學工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為(B)(C)35(D)_910在zABC中,AB BC,ABC 120.若以A, B為焦點的雙曲線經(jīng)過點C ,則該雙曲線的離心率為(A)(B)(D)已知函數(shù) f (x) = T3sin(wx-的圖象關于直線x 對稱”3(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件已知函數(shù)f(x)2x 2ax2x aln x,圍為(A)(,2、6(10)如圖，在正方體電(3> 0)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為2a,則“(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件1,若關于x的不等式f (x)1.aa在

4、R上恒成立，則實數(shù)a的取值范 2(C) 0,2(D) 0,2、同ABCD- ABGD1 中,AB,BB的中點，點P在對角線CA上運動.當 PMN的面積取得最小值時,占八、P的位置是(A)線段CA的三等分點,且靠近點(B)線段CA的中點(C)線段CA的三等分點,且靠近點(D)線段CA的四等分點,且靠近點第二部分(非選擇題共110分)、填空題共5小題，每小題 5分，共25分。2(11)若復數(shù)z 則|z|.1 i '(12)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為 ,它的體積為 22 * 卜 22 -正(主)視圖 側(cè)(左)視圖(13)某購物網(wǎng)站開展一種商品的預約購買，規(guī)定每個手

5、機號只能預約一次，預約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下： (i)搖號的初始中簽率為 0.19; (ii)當中簽率不超過1時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05 .為了使中簽率超過0.9,則至少需要邀請 位好友參與到“好友助力”活動.x(14)已知函數(shù)f(x) xcos.數(shù)歹u an滿足an2f(n) f(n 1) (n N )，貝U數(shù)歹U an的前 100項和(15)數(shù)學中有許多寓意美好的曲線，曲線22 32 2、,.一C:(x y ) 4x y被稱為“四葉玫瑰線”(如圖所示)5分，不選或有錯選得0分，其他得3分。給出

6、下列三個結(jié)論：曲線C關于直線y x對稱； 曲線C上任意一點到原點的距離都不超過 1;存在一個以原點為中心、邊長為 我的正方形,使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界). 其中，正確結(jié)論的序號是 .注：本題給出的結(jié)論中，有多個符合題目要求。全部選對得、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題14分)在 ABC 中，bsin A= acos(B- ).6(I)求 B ;(n)若 c = 5 , .求 a .從b = 7,C =這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。(17)(本小題14分)CFBE如圖，在三

7、棱柱 ABC- AB1C1中，平面ACCAA平面ABC ,四邊形ACC1A1是正方形，點 D , E 分別是棱 BC , B0 的中點，AB=4, AA1 = 2 , BC = 2J5 .(I)求證：AB a CC1 ；(n)求二面角 D- AC1- C的余弦值；(出)若點F在B1C1上，且BQ = 4BF ,判斷平面AGD 與平面A1EF是否平行，并說明理由.(18)(本小題14分)某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機選取了 80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對他們進行檢測，結(jié)果如下：患者的檢測結(jié)果人數(shù)陽性76陰性

8、4非患者的檢測結(jié)果人數(shù)陽性1陰性99(I)從該地區(qū)患者中隨機選取一人，對其檢測一次，估計此患者檢測結(jié)果為陽性的概率；(n)從該地區(qū)患者中隨機選取3人，各檢測一次，假設每位患者的檢測結(jié)果相互獨立，以X表示檢測結(jié)果為陽性的患者人數(shù)，利用(I)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學期望；(出)假設該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01 .從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5?并說明理由.(19)(本小題14分) 22已知橢圓C:x2 與 1(a b 0),圓O:x2 y2 r2 ( O為坐標原點).過點(0, b)且斜率為1的 a b直線與圓O交于

9、點(1,2),與橢圓C的另一個交點的橫坐標為-.5(I )求橢圓C的方程和圓O的方程；(n)過圓O上的動點p作兩條互相垂直的直線11, 12,若直線11的斜率為k(k 0)且I1與橢圓C相切，試判斷直線12與橢圓C的位置關系，并說明理由.(20)(本小題15分)已知函數(shù)f xexx 1(I)求曲線y f (x)在點(0, f (0)處的切線方程;(n)判斷函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)，并說明理由；(出)設Xo是f (x)的一個零點，證明曲線 y ex在點(X0,ex0)處的切線也是曲線 y lnx的切線.(21)(本小題14分)設數(shù)列A:a,a2,K a (n 3)的各項均為正整數(shù)，且 &

10、 a? L an ,若對任意k 3,4, L ,n,存在正整數(shù)i,j(1 i j k)使得ak ai aj ,則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T .(I)判斷數(shù)列 A1:1,2,4,7與數(shù)列A：1,2,3,6是否具有性質(zhì)T ;(只需寫出結(jié)論)(n )若數(shù)列 A具有性質(zhì)T ,且a1 1 , a2 2 , a0200 ,求n的最小值；(出)若集合 S 1,2,3,L ,2019,2020 G U S2 U S3 U S4 U S5 U 0 ,且 Si I Sj (任意 i, j 1,2,L,6,i j ).求證：存在Si ,使得從S中可以選取若干元素 (可重復選取)組成一個具有性質(zhì)T的數(shù)列.北京力料陌區(qū)*三斗收

11、.等.數(shù)學參考答案第一都分（選捏18其加分J*（共*0小用水4升,共"分在母小列出的四個造*明送出符合目H采的一項）（nc（2H>d仁O)A(K)AN (MH：里二前分W應捧卷共”0分）二.填全（共5小通,每小場 5分.技注 ：->）（ 12）5：4U» PM. 3 ）,第香爵I扶4小薪.誨85分解答點習力女字聿助.號.應仙叫設國） :I *F ll>N ：,1 因為 Aebml =ac9Md .n wM nr6(IVI5：'、'力 liv4，U *U -“”A = CU(X |V' Jlfti f L-J-.fi mitR所塌ft

12、ili(打O.d氏為：所LLA-； =OJK以 A-；< II)七艮D(zhuǎn)b = 7 .謝在A，l侑：中.山金抬泥座HI «：-5cr-24“二3或"一-3(含) PvM d R匚：.財”式EG=sin3* Ty3三.33 3a.e由if弦定可''timX HhC廣，： .喀”.J門rR7,在2- T峙以二烏-制，與士外干 *， ”、不（17）（本小題14分）解：（口因為四邊形ACC.%是正方形 所以 CC, ±4C.又因為平面4y平面HCG4 平面48CC平面 所以CC. J.平面ABC 又因為48U平面ABC, 所以 A3±CCt.

13、（"）由知.cg08.mcg, 所以 41. XAH.乂 48 = 4,4C=m =2,8（7=26, 所以AB、ACC".所以ACXA3.如圖,以4為原點.建立空間立角坐標系一尸 所以彳("O,0).SyO,O),C(0,O,2),4(0.2.0).則有 D(2.O.1).“y.E(4,l.O).V - Ifil ACC的 法向坦為 “ =(.0 0) 設面ACtD的一個法向盤為v = (x，7.z), 又W = (2,0,1) ricf«(0,2t2),廣n=0,f2xeo,由一得> ACt =0.(2y+2z = 0.令寵=1,貝!工=-2,

14、尸=2.所以 v = (l,2,-2).設二面角OTg-C的平面角為凡則18s川匕“ 二-L JIwlIvl 1x3 3由題知，二面角D-ACC為銳角，所以其余弦值為g.（川）平面彳GO與平面用£尸不平行.理由如下：由（口）知，平面4cM的一個法向量為，=（1,2,-2） .布=（4,-1,0）,所以五 y = 2/0,所以4£與平面4g不平行.又因為冬£U平面冬£尸， 所以平面4Go與平面4£尸不平行 分第三數(shù)學叁考答案 第2負（共7頁）(18)(本小我14分)(1)由題意知,80位患者中有76位川該試劑盒檢測一次，結(jié)果為陽性所以從該地區(qū)患者

15、中輪機選取一位，用該試劑盒檢測一次結(jié)果為陽性的概率估計為76 19«0 一 2(/(D)由題意可知"伙川，具中 = 3/= X的所有可能的取值為0,1,2,3. "=0)=砥舄。x)，=_!.20'20，8000”207 120，8000 ,P(* = 2)=C；(梟 X，”=儂 20v20 780009(* = 3)=6(當 *_1)。=竺史2。'20，8000'所以X的分布列為(111)此人患該疾病的概率未超過05.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所行人用該試劑盒檢測一次,那么結(jié)果為陽性的人數(shù)為99°00X'5'

16、H000x/ = 990+950= 1940 .其中患者人數(shù)為 950.若某人檢惻結(jié)果為陽性.那么他患該疾病的概率為瀛篇=。5 所以此人®該帙病的或華為也過35.神二池"年巧格,笏袋、蚊(我n9、（20）（木小題15分）解：（1 ）因為/«）= /£，2所以/（0） = 0°-言所以曲線=/（%）在點（0, /（。）處的切線的方程為3x-/+2 = 0（n ）函數(shù)/（,）有且僅有兩個零點.理由如下：/（動的定義域為2因為/'（*）=，+；=>0.#一】）所以/（*）在（-8,1）和（1.E）上均單調(diào)遞增.因為0= 2>0,

17、/（ -2）=e1-y<0t-'鑰"所以/（*）在（-8.1）上有唯一零點因為/（2 ） = J -3>0；-9<0,所以/（ “）在（1, +8）上有唯一零點打 綜上，/（工）有且僅有兩個零點.（in）曲線在點（%,6）處的切線方程為廣小=。“。（*與）,即 y = e,fx-x0e>o*eAf.設由線y = lnx在點（x§ 力）處的切線斜率為則”=L少工人=，叩切點為（上,-”44 c e 所以曲線y = lnx在點（L,r J處的切級方程為e”y*x0 = ea>（x-，即 y = e"xrL因為A是/（ X）的一個零

18、點，所以e" =二.x0-lxo +1所以r°e=+e" =l-x0）= -（ 1 r°） = - 1 r0.工115分所以這兩條切線重合.所以結(jié)論成立.離三數(shù)學參考答案第5頁（氏7頁）(21)(本小題14分)*?：( I )數(shù)列&不只有性質(zhì)兀數(shù)列/具有性質(zhì)r(D )由題可知% = 2. W2a?=4.a“ W2o3w8g W2a7W128, 所以nH9.若"9.因為。. = 200 且 a.W2a.,所以128>at>100同理.642。7 -50.32Na” *25. J6Na§N 12.5.8N6.25 ,4

19、鼻4 N3.125.內(nèi)為數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以4=4所以數(shù)列前三項為1 ,2,4.因為數(shù)利4只有性質(zhì)丁,3只可能為4,5,6.8之一,而又因為8Na,N6.25 所以a, = 8.同理.有。$ = 16.人=32.。/= 64.“=】28.此時數(shù)列為 1 ,2,4,8 J6.32,M J28.200.俏數(shù)列，"小"4J v /v9使得200 = ”,49，所以該數(shù)列不口外件麗T.所以統(tǒng)10.當 n = 10 Hl ,取 A ：l .2.4.8,16,32.36 .64 . 100.200.(構(gòu)造數(shù)列不唯一)經(jīng)臉證此數(shù)列具有性質(zhì)T.所以的最小值為10.(B1)反證法：假設結(jié)

20、論不成也.即對任怠S(i= 1,2,6)都有:箝。怙數(shù)"力w S. .<人,則b-a 0 S.力則，當ad 時,.4一。»片個具力竹質(zhì)廠的改列;當a>b-Q時4-明。,力足個力性質(zhì)7的教的;n 時尼一個具的件質(zhì)r的數(shù)列/£，:知個發(fā)介小公少的個QQ的元求價數(shù)不少于337個,不妨設If U A為3 .從，中取出337個數(shù)，記為5，。，°皿，且5<%一”所今豫臺“八，所以'GS"S、g 高三時學步學答案 第6頁(共7頁)(ii )在當,5-5.$5,$6中至少有一個集合包含N,中的至少68個元素,不妨設這 個集合為 S,.從 S,CM 中取出 68 個數(shù).記為 b, >,. ,bM 6.<b2<-.<feM.令集合他= IJTJi=l.2,.67| QS.由假設!一4“.一、對任意A=l,2,68,存在為6 | I ,2,，336|使得d=?！耙?。”.所以對任意 i= 1 ,2,，67*-。,