空間向量法解決立體幾何問題教案

1、3空間向量坐標(biāo)法一解決立體幾何問題一.建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，能求點(diǎn)的坐標(biāo)；1、三條直線交于一點(diǎn)且兩兩垂直；方便求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。2、如何求出點(diǎn)的坐標(biāo)：先求線段的長度（特別是軸上線段）：由已知條件可全部求出來；假設(shè)不能，則可先設(shè)出來。1軸上的點(diǎn)X軸-a,0,0，y軸-0,b。，z軸-0,0,c2三個(gè)坐標(biāo)面上的點(diǎn)已知或求出過點(diǎn)作垂直軸的線段長度，X0y-a,b,0，y0z0,b,c，x0za,0,c3其它的點(diǎn)：已知或求出過點(diǎn)作垂直面的線段長度；4中點(diǎn)坐標(biāo)：A（xi,yi,zi）,B（x2,y2,Z2）-則線段AB的中點(diǎn)：（x_xi-y2一yi2一幺）2'2'23、動(dòng)點(diǎn)問題的處理待

2、定系數(shù)法法一：直接設(shè)出來，然后根據(jù)已知條件求出來1軸上：（x,0,0）,（0,y,0）、（0,0,z）；2面上：（x,y,0）、（x,0,z）、（0,y,z）；3其它：（a,b,c）。法二：A（x1,yi,zi卜B（x2,y2,z2）,M是AB上的動(dòng)點(diǎn)：設(shè)M（a,b,c）,由ABAM,用表示點(diǎn)的坐標(biāo)。4、有向線段的坐標(biāo)：A（xi,yi,zi）,B（x2,y2,z2）則AB（x2x1，y2Vi2乙）二、重要公式或結(jié)論：向量的數(shù)量積:設(shè)AB(«,必，乙),CD(x2,V2,z2)AB?CDx1x2y1y24。，abaibcos(a,b)向量的模：ab 而yi2zi2向量的夾角:a bla

3、b兩向量共線： AB/CD AB CD x1兩向量垂直：AB CD AB CD 0x2, yiy2,4z21、如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1, AB 2, AA, 1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求各點(diǎn)的坐標(biāo) 及仄E1, AD=1, AE垂直BD于E, F為A1B1的中點(diǎn). 與BF的坐標(biāo)。2M是FD上的點(diǎn)：假設(shè)FM 2MD ,求M點(diǎn)的坐標(biāo) 假設(shè)FDMD ,求M點(diǎn)的坐標(biāo)用表示三、引入兩個(gè)重要的空間向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由Axmz與B X2, y2.z2確定的直線AB的方向向量是AB% x,y2 y0z）如果表示向量n的有向線段所在的直

4、線垂直于平面a，稱這個(gè)向量垂直于平面a，記作n ± a，這時(shí)向量n叫做平面a的法向量假設(shè)法向量n的模為1,則法向量n叫做平面a的單位法向量.2.2在空間直角坐標(biāo)系中，如何求平面法向量的坐標(biāo)呢？如圖，設(shè)a、bx2,y2.z2是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，由直線與平面垂直的判定定理知，假設(shè)n，a且n，b,則n，a .換句話說，r-假設(shè)n-a = 0且n-b= 0,則n .的法向量:一直接法：已知線段中存在二待定系數(shù)法-步驟如下:?第一步（設(shè)）:設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=（x,y,z）.在平面中找兩條相交直線，求其方向向量AB（xi,yi,zi）,BC（%，丫22）>lr?第二步

5、（列）:根據(jù)nAb=0且nbc=0可列出方程組XlXy1yzz0X2xy2yz2z0?第三步（解）:把z看作常數(shù)，用z表示x、y.?第四步（?。?取z為任意正數(shù)（如1,當(dāng)然取得越特殊越好）,從而得到平面法向量n的坐標(biāo)（x,y,z）。例1在棱長為2的正方體ABCD-AB1c1以中,0是面AC的中心,1求面OAQ的法向量.2求面ABB1A的法向量。練習(xí)：已知點(diǎn)A1, 0, 0，B0, 1T答案：n0，C0,0,1，求平面ABC的一個(gè)單位法向量。,111、Jr/四、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系；線ABCD：存在實(shí)數(shù)使ABCD線ABCD：AB?CD

6、0(2)直線與平面的位置關(guān)系線AB面：ABnAB?n0n是面的法向量線AB面：1AB?bi0、AB?b20bib是面內(nèi)的相交直線2AB/nABnn是面的法向量(3)平面與平面的位置關(guān)系/:必電川出小,電是平面、的法向量:n1出口？出0小，也是平面、的法向量叫7簡單應(yīng)用練習(xí)：設(shè)直線n,m的方向向量分別為a，b,根據(jù)條件判斷n,m的位置關(guān)系:1a2,1,2,b6,3,62a1,2,2,b2,3,23a0,0,1,b0,0,3例2:在二棱柱ABC-ABC中，底面是正三角形，AA底面ABC,ACAB,.1.求證：BCAB例3梭氏都等2的正三棱柱ABC-&B£Q,逐別是AGCC,的中點(diǎn)

7、，求證:(l)&E，平面DBCj平面DBG練習(xí)：在正方體ABCD-AB1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QBMN分別為AB|、PQ的中點(diǎn)。求證：MN/平面ABCD4-*.、,III-_例4:在正萬體ABCD-ABCD中，E,F分別是CC,BD的中點(diǎn),求證：面ADF，面BDE72、求解空間中的角度;a b cos(a, b)可得:cos a, ba11b1 .異面直線AB與CD所成的角2 .斜線AB與平面所成的角:記AB ? nsin3 . lcoscosAB的平面角 0,AB? CDAB ? CD(AB,n),則(0,cos也可能是鈍角,因?yàn)槎娼呛暇唧w的題目判斷0,

8、290-）n是面的法向量,n1?n2n1 ? n2ni,n2 是、H的法向量-L- B的大小與法向量必,電夾角相等或互補(bǔ)，要結(jié)例5如圖：在正方體ABCD-AB1c1D1中,M是AB的中點(diǎn)，求對(duì)角線DB,與CM所成角的余弦值.例6正三棱柱ABC-A|B1c1的底面邊長為a,高為石a,求AC）與側(cè)面ABA1所成的角。練習(xí)：在長方體ABCD-AB1c中，AB=BC=4Cq=2,貝U直線BC1和平面DBB1D1所成角的余弦值為多少？例7在四棱錐S-ABCM/DABWABC=90,側(cè)棱SL底面AC,SA=AB=BC=1AD=2求二面角A-SD-C的大小練習(xí)：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，

9、/ABC=90°,SA±WABCD,SA=1AB=BC=1,AD求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值.2A)x例8:09.陜西理在直三棱柱ABC-AB1cl中，AB=1,AC=AA=V3,ABC60、證明:1AB，AC ;2求二面角 A- A1C-B的大小。3、求解空間中的距離:(1)點(diǎn)到平面的距離：1、直接求點(diǎn)到平面的垂線長；2、等體積法通常放在三棱錐中，求平面的高a的斜線AB及垂線AH.設(shè)A為平面a外一點(diǎn)，n為平面a的法向量，過A作平面AB n3、向量法-代點(diǎn)到面的距離公式，如下；AB?n點(diǎn)A到面的距離d:d1nn是面的法向量、線段AB是經(jīng)過點(diǎn)A的任意斜線段2線到面的距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解;3異面直線的距離：1、直接找公垂線求解；2、向量正投影法-二代異面直線可距離公式，如下;如圖，設(shè)兩條異面直線AC、BD的公垂線的方向向量為n,即n,AC,n±BD,這時(shí)分別在直線AC、BD上各取一點(diǎn)，如A、B兩點(diǎn)，則向量AB在n上的正射影長就是兩條異面直線AC、BD的距離.-AB?ndAB?inr1nln因?yàn)閚AC,nBD,所以n?AC0,n?BD0由此可得異面直線AC、BD的公垂線的方向向量n例9在直三棱柱ABC-AiBi