幾種常見的放縮法證明不等式的方法

1、Tn1113 b1 3 b23 b31,1,求證：Tn3 bn2解：(1)略(2)Qbn1 3 bn(bn n) 2(bn 3)又 Q bnn. ，一、*bn 1 3 2(bn 3) , n N迭乘得：bn 3 2n1(b1 3) 2n11bn31cn 1，n2丁 111Tn23_42222n 11112 2n * 12點評：把握“ bn 3”這一特征對“ bn 12bn2 (n 2)bn 3”進行變形，然后去掉Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse幾種常見的放縮法證明不等式的方法一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。

2、這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法,似乎是不可能的，為什么？值得體味！二、放縮后裂項迭加例2.數(shù)列an,1)n 11 ,其前n項和為sn n求證：s2n解：s2n 12n 1 2n令bn2n(2n 1)bn的前n項和為Tn當n 2時,bn11)1 ns2nTn111 1 1()12 30 4 3 41,11、1,11、( )( )4 5 64 n 1 n71014n點評：本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項開始放大，得不到證題結論，前三項不變，從第四項開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。例3.已知函數(shù)f(x) axbc(a0

3、)的圖象在(1,f(1)處的切線方程為x(1)用a表示出b,c(2)若 f(x)lnx 在1,)上恒成立，求a的取值范圍(3)證明:1ln(n 1) nn2(n 1)解：(1)(2)略(3)由(II知:且當1 , 二，有 f(x)2x 1時,(x 2U,有 ln k即 ln( k 1) ln k2(x1) x1k11(2 k1 ,1時，有f (x)21) ln x(x xlnx(x 1)1).將上述ln(nln x.1k 12 k1 ),k k 1n個不等式依次相加得1)(21) nk 1(1 1) (11 ),k 12 k k 11,2,3, ,n.2(n 1)'整理得ln(n1)n

4、2(n 1)點評：本題是2010湖北高考理科第21題。近年，以函數(shù)為背景建立一個不等關系,然后對變量進行代換、變形，形成裂項迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢，應特別關注。當然，此題還可考慮用數(shù)學歸納法，但仍需用第二問的結論。三、放縮后迭乘-1例4.ai1,an1(14anJ124an)(nN).(i)求a2,a3（2）令bn/24an,求數(shù)列bn的通項公式(3)已知 f (n) 6an3an,求證:f(1)f(2)f(3).f(n)解：（1）(2)略由（2）得anf (n)14n2(1)n3 432n 2Q141n(1(1)n224n1 )n 1 )41332n14n14n211 4n42

5、n 111n 1414n1n 14f(n)14nf(1)f(2).f(n)1 421 14111n 1414n2點評：裂項迭加，是項項相互抵消，而迭乘是項項約分，其原理是一樣的，都似多米諾骨牌效應。只是求n項和時用迭加，求n項乘時用迭乘。僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarech

6、ercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.toJibkodiioae說，KOTOpbiewcnojibsyroTcao6yqeH0a,HccjieAOBaHHHnHeaojijkhbiHcnojibsoBaTbcabKOMMepnecKHxuejiax.以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.toJibkodiioae說，KOTOpbiewcnojibsyroTcao6yqeH0a,HccjieAOBaHHH