不等式的性質(zhì)與一元二次不等式

1、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法a b>0 ? a >(1)作差法 a b = 0? aa b<0 ? a <a一 >1 ? a > bab (a小RM)作商法b=1?aa<1 ? a <b(a R, b>0).2、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性a> b? b<a?傳遞性a> b , b>c? a> c?可加性a> b? a+ c> b + c?可乘性錯(cuò)誤! ? ac>bc注意c的符號(hào)錯(cuò)誤！ ？ ac< bc同向可加性錯(cuò)誤!? a+ c> b +

2、d?同向同正可乘性錯(cuò)誤! ? ac> bd?可乘方性a>b>0? an>bn(n N +)可開(kāi)方性a>b>0? a> b(n N +)a, b同為正數(shù)3、不等式的一些常用性質(zhì)倒數(shù)的性質(zhì):1 1a> b , ab>0 ? 一< ;a<0<a b1 1a b1b?-<-； a> b>0,0v cv d? 一> 0< avxv b 或 avxvbv0?a bcdb1 1<< 一x a(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì):若 a> b>0 , m>0，貝U,b b + m b b mv;

3、 一>(b m>0)；->a a+ m a a m丨a a + m a a mb b + m ； b<b m (b _ m >0)4、“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式 = b2 4ac>0 =0<0y = ax2 + bx +JJc(a>0)的圖像ax2 + bx + c=有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根0(a>0)的根xi , X2(X1VX2)bx 1 = X2 = 2a沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+ bx +x|x<xi 或c>0( a>0)的解集x> X2bX|X 弓x|x Rax2+ bx +c<0( a>0)的解集x|x

4、i<x<x25、常用結(jié)論 (x a)(x b)>0或(x a)(x b)<0型不等式的解法不等式解集a< ba = ba> b(X a) (x b)>0x|x< a 或 x> bx|x 甸x|x< b 或 x> a(X a) (x b)<0x|a<x< b?x|b<x< a口訣：大于取兩邊，小于取中間.選擇題:設(shè)a<b<0 ,貝U下列不等式中不成立的是1 1A.->-a1 1B.>-a b aC. |a|> bda/ab解析1 由題設(shè)得a<a bvO，有1ab&l

5、t;a成立，即1 1ab >a不成立.ln3ln4 ln5b7，則()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b< a<c解析易知b 3l n4b，c都是正數(shù)，a=忑blog 8164<1，.a>b ； 一c 4l n55ln4=log 6251024>1，.b>C，即 c<b<a若a，b R，若a+ |b|<0，貝U下列不等式中正確的是()A. a b>0B. a3+b3>0C. a2 b2<0D. a + b<0解析 由 a + |b|<0 知，a&l

6、t;0，且|a|>|b|.當(dāng)b X)時(shí)，a+ b<0成立, 當(dāng)b<0時(shí)，a+ b<0成立，.a + b<0成立.F面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是（）A. a>b + 1B. a>b 1C. a2> b2D. a3> b3解析 由a> b + 1，得a> b + 1> b，即a> b，而由a> b不能得出a>b + 1，二使a>b成立的充分而不必要的條件是a>b + 1.1已知0< av,且b11a bM =+ 石，N =苗+苗，則 M，N的大小關(guān)系是（）A. M&

7、gt;NB. M<ND .不能確定1解析0vav ,b1 a°.1 + a>0,1 + b >0,1 ab >0 ,.°.M N =2 2ab1 + a 1 + b >0已知實(shí)數(shù) a, b , c 滿足 b + c = 6 4a + 3a2, c b = 4 4a + a2，貝U a,b, c的大小關(guān)系是（）A. c>b>aB. a>c >bC. c>b>aa>c> b解析.c b = 4 4a + a2 = (a 2)2X), c>b.又 b + c = 6 4a + 3a2,.2b =

8、2 + 2a2,Ab = a2 + 1 ,13'b a = a2 a + 1 = (a q)2 + 4>0 , b> a, cXb> a.設(shè) a>2 , A = 7a + 1 + 諂,B/a+2 +2,則 A, B 的大小關(guān)系是()A. A>BB. A<BD . A <B解析 A2 = 2a + 1 + Ja2 + a, B2 = 2a+寸a2 4，顯然 A2> B2已知 a1, a2 (0,1)，記 M = a1a2, N = a1 + a2 1，貝U M 與 N 的大小關(guān)系是()D .不確定A. M<NB. M>N解析 M

9、 N = aia2 (ai + a2 1) = aia2 ai a2 + 1 = ai(a2 1) (a2 1) = (ai 1)(a2 1), 又a (0,1) , a2 (0,1) ,.a1 1<0 , a2 1<0 ,二1 1)(a2 1)>0，即 M N>0 ,.M>N.x已知 x R, m = (x+ 1)(x2 + 2+ 1),1n = (x+2)(x2 + x + 1)，則m , n的大小關(guān)系為()A. m >nB. m > nC. m <nxxx解析 m = (x + 1)(x2 + 2 + 1) = (x + 1)(x2 + x

10、 2+ 1) = (x+ 1)(x2 + x+ 1) 2(x + 1),1 1 1n = (x + p(x2 + x + 1) = (x + 1 -)(x2 + x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 1) -(x2 + x + 1),x1111m n = (x + 1)(x2 + 2 + 1) (x+ 2)(x2 + x+ 1)=尹2 + x + 1)舁儀 + 1) = >0.則有x R時(shí)，m > n恒成立已知a, b , c滿足cvbva，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是（A. ab>acB. c(b a)<0C. cb2v ab2D . a

11、c(a c)>0解析 由cvbva且ac<0知c<0且a>0，由b>c得ab>ac 一定成立.c c設(shè) a> b>1 , cv0，給出下列三個(gè)結(jié)論：>:acv bc:log b(a c)>log a(b c). a b其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是A .B.C.D .1 1解析由不等式性質(zhì)及a>b>1知avb，c c又cv0 ,;>，正確;構(gòu)造函數(shù)y = xc,vc<0 ,Ay = xc在(0,+)上是減函數(shù), 又a>b>1 ,.acvbc，知正確;a(b C),知正確.a>b>1 , c&

12、lt;0 ,.a c> b c>1 , log b(a c)>log a(a c)>log設(shè) a, b R，則“ (a b) 2<0 ”是“ a<b”的()A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析 由(a b) a2<0 ? a丸)且a< b ,充分性成立;由 a<b? a bvO ,當(dāng) 0 = a< b 時(shí)？/(a b) a2<0，必要性不成立.nnP設(shè)口 (0 , 2)，P 0 , 2,則2 a 3的取值范圍是(223C.(0,冗)P nn p解析由題設(shè)得 0<2 a<

13、;n，0<3<6, -6<-3on.<26P_<3冗若集合 A = x|3 + 2x x2>0，集合 B = x|2xv2，則 A AB 等于(A. (1,3)B. ( X, 1)C. ( 1,1)(3,1)解析依題意，可求得 A = ( 1,3),( X, 1), :A AB = ( 1,1).已知集合 P = x|x2 x 2 O, Q = x|log2(x 1) <1，則(? r P)nQ 等于(A. 2,3B. ( X, 1 U 3 ,+x)C. (2,3D . ( X, 1 U (3，+X)解析 依題意，得 P = x| 1 <x<

14、;2, Q = x|1< x<3，則(? rP) AQ = (2,311已知不等式ax2 bx 1 X）的解集是2， 3，則不等式x2 bx a<0的解集是（）23A (2,3)B . ( K, 2) U (3 ,+x)1D. K, - U31 +k2，+1-X2若一元二次不等式32kx2 + kx - <08對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為（）A. ( 3,03,0)C. 3,0D . ( 3,0)3解析 2kx2 + kx <08對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,2k<0 ,則必有= k2 4 X2kX解之得3< k<0.111解析 由題意知一T,；是

15、方程ax2 bx 1 = 0的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得一+2323 a1,解得 a =一 6, b = 5，不等式 x2 bx a<0 即為 x2 5x + 6<0，解集為(2,3) a設(shè)a為常數(shù)，任意x R, ax2 + ax + 1>0，貝U a的取值范圍是（A. (0,4)B. 0,4)C. (0 ,+K)D . ( K, 4)a>0 ,解析任意x R, ax2 + ax + 1>0，則必有= a2 4a<0-0 Wav4若 f(x) = 3x2 x + 1, g(x) = 2x2 + x 1,則 f(x), g(x)的大小關(guān)系是(A . f(x)

16、= g(x)B . f(x) > g(x)C . f(x) < g(x)D .隨x的值變化而變化解析 作出函數(shù)y = f(x)和函數(shù)y = x2的圖像，如圖，由圖知 ?y昇-1O1 2 iA. 1,1B . 2,2f(x)X<2 的解集為1,1.解析 f(x) g(x)=x2 2x+ 2 =(X 1)2 + 1 >0? f(x)>g(x).X2 + 2x, x X0,已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x) >3的解集為x2 + 2x, x V 0 ,x X),解析由題意知X2+ 2x > 3XV 0, 或r解得x> 1.故原不等式的解集為x|x &g

17、t; 1x2 + 2x > 3,x2 4x + 6 ,設(shè)函數(shù)f(x) =x+ 6, x<0 ,x X),則不等式f(x)>f(1)的解集是()A ( 3,1) U (3，+X)B. ( 3,1) U (2，+X)C. (1,1) U (3 ,+x)D . ( X, 3) U (1,3)解析由題意得已知函數(shù)f(x) =x X),x<0 ,x2 4x + 6>3x<0,x + 2 , x>0 ,解得3<x<1 或 x>3.x + 6>3 ,則不等式f(x)X<2的解集為(C . 2,1D . 1,2若集合A = x|ax2 a

18、x + 1<0=，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A. a|0< a<4B. a|0 <a<4C. a|0< a<4D. a|0<a<4a>0 ,解析 由題意知a = 0時(shí)，滿足條件，a卻時(shí)，由 r A= a2 4a <0,得 0< a<4 , A0 <a<4已知不等式x2 2x 3<0的解集為A，不等式x2 + x 6<0的解集是B,不等式x2 + ax + b<0的解集是A nB,那么a + b等于（）B. 1解析 由題意，得 A = x| 1vxv3 , B = x| 3< x<

19、;2 , A AB = x| 1<x<2,則不等式X2 + ax + b<0的解集為x| 1< x<2.由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a= 1 , b = 2,Aa + b = 3若不等式2<x2 2ax + a<1有唯一解，則a的值為（）-1-/5A.21-/5B.21 ±5C.21 +5D.2解析 若不等式2<x2 2ax + a<1有唯一解，則x2 2ax + a= 1有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以=4a2 4(a + 1) = 0，解得 a =，所以選 D.若不等式x2 2x + 5 >a2 3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，貝U實(shí)數(shù)a的取值

20、范圍為（）A. 1,4B. ( X, 2 U 5 ,+x)C. ( X, 1 U 4 ,+x)D . 2,5解析 x2 2x + 5= （x 1）2 + 4的最小值為4，所以x2 2x + 5 >a2 3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立, 只需 a2 3a<4，解得1 <a <4填空題: 設(shè) a>0，且 a 工1, P = log a(a3 1), Q = log a(a2 1)，則 P 與 Q 的大小關(guān)系是 解析由題意可知a>1.'(a3 1) (a2 1) = a2(a 1)>0， a3 1> a2 1， log a(a3 1)>log a

21、(a2 1)，即 P>Q.設(shè) a> b>c>0，xa2 + b + c 2，y =yjb2 + c+ a 2，zc2 + a + b 2，貝U x，y，z 的大 小關(guān)系是解析 令 a = 3，b = 2，c = 1，貝U x = a/18，y = /20，z = a/26，故 z>y>x.設(shè) f(x) = ax2 + bx，若 1 <f( 1) <2 ,2 Wf(1) <4，則f( 2)的取值范圍是f 1= a b，解析由f 1= a + b，1a 二尹1 + f 1 ，1b 電f1 f 1 .f( 2) = 4a 2b = 3f( 1)

22、+f(1)- 又.門 <f( 1) <2,2 <f(1) <4 ,二5<3f( 1) + f(1) <10，故 5<f( 2) <10.若關(guān)于x的不等式m(x 1)> x2 x的解集為x|1< x<2，則實(shí)數(shù)m的值為 解析 因?yàn)?m(x 1)> x2 x 的解集為x|1< x<2 .1，2 一定是 m(x 1) = x2 x 的解，.m = 2.若關(guān)于x的方程X2 + ax + a2 1 = 0有一正根和一負(fù)根，則a的取值范圍為 解析 由題意可知， >0且X1X2 = a2 1<0，故一1<

23、a<1對(duì)任意的k 1,1，函數(shù)f(x) = x 若0<a<1，則不等式(a x)(x-)>0的解集是 a + (k 4)x + 4 2k的值恒大于零，則x的取值范圍是 解析 x2 + (k 4)X + 4 2k>0 恒成立，即 g(k)= (x 2)k + (x2 4x + 4)>0 ,x2 5x + 6>0 ，在k 1,1時(shí)恒成立.只需g( 1)>0且g(1)>0，即解之得x<1或x>3.x2 3x + 2>0，已知函數(shù)f(x) = X2+ mx 1，若對(duì)于任意X m , m + 1，都有f(x)v0成立，則實(shí)數(shù)m的取值

24、范圍解析 作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對(duì)于任意x m，m + 1，都有f(x)v0，m m+1/J :/ Im2+ m2 1<0，m + 1 1<0，f m <0，則有即f m + 1<0，x2+ 2x+ a已知函數(shù)f(x)=x若對(duì)任意x 1，+ X)，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是x2 + 2x+ a恒成立，即x2 + 2x+ a>0恒成立.解析 vx 1，+X)時(shí)，f(x)=>0 即當(dāng) x >1 時(shí)，a> (x2 + 2x) = g (x)恒成立.而 g(x)= (x2 + 2x)= (x + 1)2 + 1 在1，+X)上單

25、調(diào)遞減, 'g (x)max = g (1) = 3，故 a> 3，.°.實(shí)數(shù) a 的取值范圍是a|a> 3.11解析 原不等式即(x a)(x 一)<0，由0< a<1得av-, aa1avxv .aax 1已知關(guān)于x的不等式苛1<0的解集是x|x< 1或x> 2 ,則實(shí)數(shù)a=ax 11解析 <0 ? (x + 1)(ax 1)<0，依題意，得 a<0，且.令=2.X+1a22 a 3設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1 ,f(2) =，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a + 1解析 行儀 +

26、 3) = f(x),.f(2) = f(- 1 + 3) = f(- 1) = f(1)v 1.2a 33a 22< 1? <0? (3a 2)(a + 1)<0，Kav-.a+ 1a+ 1若不等式X2 + ax 2 >0在區(qū)間1,5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析 設(shè) f(x) = X2 + ax 2，由題知：= a2+ 8>0,所以方程X2+ ax 2 = 0恒有一正一負(fù)兩根,23于是不等式x2+ ax一2 >0在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5) >0，即 a 7，+X .若關(guān)于x的不等式ax > b的解集為X145，則關(guān)于x的不等式a

27、x2+bx -? >0的解集為解析 由已知ax > b的解集為一X1b14,可知av 0，且一=一，將不等式ax2 + bx 一a >0兩邊同除5a 55以a，得b 41x2+ax 一 5v 0，即x2+5444x 一< 0，解得1 v xv ,故不等式ax2 + bx a >0的解集為555541，51不等式a2 + 8b2>Ab(a + b)對(duì)于任意的a, b R恒成立，則實(shí)數(shù)入的取值范圍為 解析 因?yàn)閍2 + 8b2>Ab(a + b)對(duì)于任意的a, b R恒成立，所以a2 + 8b2- Ab(a + b)>0對(duì)于任意 的a, b R恒成立

28、，即a2-Aba + (8 - ?)b2X)恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得,A = ?b2 + 4( A- 8)b2= b2(A + 4 A- 32) <0，-X A+ 8)( A- 4) O，解得一8 <X<4.解答題:設(shè)函數(shù)f(x) = mx2 mx 1.若對(duì)于x 1,3，f(x)v m + 5恒成立，求m的取值范圍.1解x2-x+1 = x - 223+4>0，又m(x2 x+ 1) 6<0，6'm <x2 x + 161 3x - 2 + -2 46在1,3上的最小值為7，二只需mv”即可，；m的取值范圍是6m|m<7設(shè)二次函數(shù)f(x)

29、= ax2 + bx + c，函數(shù)F(x) = f(x)-x的兩個(gè)零點(diǎn)為 m，n (mv n).(1)若m = 1，n = 2，求不等式F(x)>0的解集;1若a>0，且0vxv mvnv ，比較f(x)與m的大小. a解由題意知，F(xiàn)(x)= f(x) x = a(x m)(x n).當(dāng) m = 1，n = 2 時(shí)，不等式 F(x)>0，即 a(x + 1)(x-2)>0.當(dāng)a>0時(shí)，不等式F(x)>0的解集為x|x< 1或x>2;當(dāng)a<0時(shí)，不等式F(x)>0的解集為x| 1< x<2.(2)f(x) m = F(x)

30、+ x m = a(x m)(x n) + x m = (x m)(ax an + 1)，.a>0，且 Ovxvmvnv一，.収m<0,1 an + ax>0 ,；f(x) m<0，即 f(x)< m. a已知 f(x)= 3x2 + a(6 a)x + 6.解關(guān)于a的不等式f(1) > 0;(2)若不等式f(x) > b的解集為(一1,3)，求實(shí)數(shù)a, b的值.解(1)由題意知 f (1) = 3 + a(6 a) + 6 = a2 + 6a+ 3 > 0，即 a2 6a 3 < 0，解得 3 3 < a < 3+ 2、/3，

31、二不等式的解集為a|3 2寸3< a< 3 + 2寸3. vf(x)>b 的解集為(1,3)，二方程一3x2 + a(6 a)x + 6 b = 0 的兩根為1,3 ,a 6 a+ 3=3解得a = 3 ±,b = 3.,即a的值為3 ±3, b的值為一3.專項(xiàng)能力提升若 a> b >0 ,則下列不等式中一定成立的是1A. a+>b +一 b ab b + 1B.>a a+ 1C.11a_>b_ba2a + b aD.>一a + 2b b解析取a = 2 , b = 1，排除B與D ;另外,1f(x) = x -是(0，

32、+X)上的增函數(shù)，但函數(shù) g(x)x1 1 1=x+x在(0，1+ 7>b +_,但g(a)> g(b)未必成立，故選 A. ba上遞減，在1，+ 5遞增，當(dāng)a>b>0時(shí)，f(a)>f(b)必定成立，即a-了b一b?aD.3 : 2 : 1設(shè)a>0，不等式cvax + bvc的解集是x| 2< x<1，則a : b : c等于(B. 2 : 1 : 3C. 3 : 1：2解析 ° c< ax + b < c，又 a >0 ,b + c c b<x<aab + c=2,a不等式的解集為x| 2<x<

33、;1,a 3a=2 : 1 ：3.2已知a, b , c滿足c< b< a且ac<0 ,則下列選項(xiàng)中不一定成立的是(c bA.v a ab aB.>0cb2 a2c.< c ca cD.<0acc b解析 c<b<a 且 ac<0 ,.c<0 , a>0 , <_a ar>0，a c<0 , acb2 a2但b2與a2的關(guān)系不確定，故7<7不一定成立已知函數(shù)f(x) = ax2 + bx + c(a卻)，若不等式f(x)vO1的解集為x|x<2或x>3,則f(ex)>O(e是自然對(duì)3數(shù)的

34、底數(shù))的解集是()A .x|xv In 2 或 x>ln 3B.x|ln 2< x<In 3C.x|x< In 3D .x| In 2< x<ln1 1解析 法一 依題意可得 f(x) = a X 2 (X 3)(a<0)，貝U f(ex)= a ex- (ex 3)(a<0)，由 f(ex) =1 1a ex 2 (ex 3)>0，可得-<e x<3，解得In 2< x<ln 3，故選 D.已知函數(shù)f(x) = (ax 1)(x + b),如果不等式f(x)>0的解集是(一1,3)，則不等式f(2x)<0的解集是(車312)u(2，+-)31B. (