2017年度.04.27平面向量的數(shù)量積練習(xí)進(jìn)步題(含規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、一、選擇題1 .已知|b| = 3, a在b方向上的投影是2一，則a b為（）34B-3C. 31A. 一3解析:由數(shù)量積的幾何意義知所以2a” b = -x3 = 2.3答案:2 .設(shè)向量a, b 滿足 |a + b | =寸10,|a b| = (6，貝U a b =(C.B. 2解析:因?yàn)?|a + b|2= (a + b)2= a2 + b2 + 2a b = 10 , |a b|2= (a b)2= a2+ b2 2a b = 6,兩式相減得：4a b=4，所以a b = 1.答案:3.已知向量a,b 滿足 |a|= 2, |b| = 1,a b = 1，則向量a與a b的夾角為（）

2、nA.6nB.35 nc.62 nD.3解析:|a b| = (a b) 2 =寸a2 + b2 2a b =、/3，設(shè)向量 a 與 a b 的夾角為 0,則a - a b)22 1 a0 =P|a|a- b|2Z32n又旺0 ,n，所以0=一.6答案：A4 . （2015 -陜西卷對(duì)任意向量a, b，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A. |ab| <|a|b|B. |a b|<|a| |b|C. (a+ b)2= |a + b|2D . (a+ b) (a b)= a2 b2解析：根據(jù)ab = |a|b|cos 0,又cos 0 <1，知|ab|w|a|b|, A恒成立當(dāng)向量a

3、和b方向不相同時(shí)，|ab |>| a| |b |, B不恒成立.根據(jù)|a + b |2 = a2+ 2 a b + b2 = (a + b)2, C恒成立.根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)得(a+ b) (ab)= a2 b2, D 恒成立.答案:5 .若向量a 與 b 的夾角為 60 ° ,|b| = 4，且(a+ 2b) (a 3b) = 72，貝U a的模為(B. 4C. 6D . 12解析:因?yàn)榈?+ 2b) (a 3b) = a2 a b = 6b2 =|a|2 |a| |b|cos 60 °-6|4|2 =a|2 2|a| 96 = 72 ,所以 |a|2 2|a| 2

4、4 = 0 ,所以 |a|= 6.答案：C6 .已知向量a= (1 , 2),b =(X, 4)，且 a /b，則 |a b| =(B.C. 2解析：因?yàn)閍 /b，所以4 + 2x= 0,所以 X = 2 , a b = (1 , 2) ( 2 ,4) = (3 , 6),所以 |a b|= 3p5.答案：B7 . （2015 杭州模擬）如圖，在圓0中，若弦AB = 3，弦 AC = 5 ,則AO BC的值是（C. 1答案D1TTTTT解析取 BC 的中點(diǎn) D,連接 AD、OD，則有 OD 丄 BC, AD = '(AB + AC), BC= AC AB ,AO BC= (AD + D

5、O) BC= AD BC+ DO BC= AD BC= 2(AB + AC) (AC-AB)1 1=2(AC2 AB2)= 2(52 32)= 8，選 D .8. (2015 福建卷設(shè)a = (1 , 2), b = (1, 1), c = a+ k b .若b丄c,則實(shí)數(shù)k的值等于()3D.25c.3解析：c= a+ k b = (1 + k, 2 + -k),又 b 丄 c,3所以 1 x(1 + k) + 1 x(2 + k) = 0，解得 k = 3.答案：A9 .已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（1 , 2）、B（4 , 1）、C（0，- 1），則ABC的形狀為（）A

6、 .直角三角形B .等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正確ff解析：AC = ( 1 , 3), AB = (3 , 1).f f因?yàn)?AC AB = 3 + 3 = 0 ,所以AC丄AB.又因?yàn)?|AC| = pi0, |AB| = H 10 ,r所以 AC = AB.所以ABC為等腰直角三角形.答案：C10 .點(diǎn)O是AABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足LUV UUV OA OBUUV LULV ULV LULVOB OC OA OC，則點(diǎn) O 是AABC 的()A .重心B .垂心C.內(nèi)心D .外心f ff f解析：因?yàn)镺A OB = OB OC,f ff所以 OB (OA OC)= 0

7、,f ff f即 OBCA = 0,則 OB丄 CA.f f f f同理OA丄BC, OC丄AB.所以0是ABC的垂心.答案：B11 .在ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足PA PBVPc = AB，則 PBC與ABC的面積之比是（）1A.-31B.-22c.-33D.-4f f f f解析：由PA+PB+ PC= AB,得 PA+ PB +BA+ PC= 0 ,即PC= 2AP,所以點(diǎn)P是CA邊上的三等分點(diǎn)，如圖所示.SzPBC PC 2 故SzABC AC 3答案：C12 . O是平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn),uuvP是平面ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若（PBuuuvPC)uuuUULVuuuuuu uuuU

8、ULV(0B0C)(PCPA) (0A0C)= 0,則0為ABC的（）A .內(nèi)心B .外心C.重心”D .垂心解析：因?yàn)?PB PC) (OB + OC) = 0,則(OB OC) (OB + 0C) = 0 ,所以 0B2 0C2= 0 ,所以 |OB|=|OC|.同理可得|0A| = |0C|,即 |0A|=|0B|=|0C|.所以0為ABC的外心.-答案：B二、填空題uuuvuuu/13 .如圖所示， ABC 中/C= 90 ° 且AC= BC= 4，點(diǎn) M 滿足 BM 3MA ,uuuv uuv貝U CM CB =解析：CM CB=f 1 T T 1 T T 1 T T T

9、1 TCA + AB CB=AB CB=(CB CA) CB=CB2 = 4.4444答案：414.如圖所示，已知點(diǎn)A（1 , 1），單位圓上半部分上的點(diǎn)B滿足0A 0lB = 0,則向量0b的坐標(biāo)為解析：設(shè) B(x, y), y>0 ,x2 + y2= 1 ,x + y= 0,X= 2，T 卡卡所以oB=-牛，嚴(yán)答案：4215 .在ABC 中,LuvuuvBC = a, CAuuv廠=b , AB = c,且滿足： |a|= 1 , |b| = 2 , |c|=#3，貝U ab + b c+ ca 的值為解析：在AABC 中，因?yàn)?|a|= 1 , |b|= 2, |c| =寸3,所以

10、AABC為直角三角形，且 BC丄BA，以BA, BC為x, y軸建立坐標(biāo)系，則 B(0 , 0), A心,0), C(0 ,1),所以 a = BC= (0, 1), b = CA=, 1), c= AB = (, 0).所以 a b + b c+ a = 1 3 + 0 = 4.答案：4uuvLuivLuv LLUV16 .在AABC中，已知I AB 1=1 AC 1= 4，且 AB AC = 8，則這個(gè)三角形的形狀是解析：因?yàn)?AB AC= 4 X4 cos A = 8 ,1 n所以cos 4=,所以/A =-,2 3所以AABC是正三角形.答案：正三角形 三、解答題17 .已知向量 a

11、= (2, 0) , b = (1 , 4). (1)求|a + b|的值；(2)若向量k a + b與a+ 2b平行，求k的值;(3)若向量k a + b與a + 2b的夾角為銳角，求 k的取值范圍.解：(1)因?yàn)?a= (2 , 0), b = (1,4),所以 a + b= (3 , 4),則 |a+ b| = 5.因?yàn)?a= (2 , 0), b = (1 , 4),所以 k a + b = (2k + 1 , 4), ra + 2b = (4, 8)；因?yàn)橄蛄縦 a+ b與a+ 2b平行,1所以 8(2 k + 1) = 16，貝U k =-.因?yàn)?a= (2 , 0), b = (

12、1 , 4),所以 k a + b = (2k + 1 , 4), a+ 2b = (4 , 8)；因?yàn)橄蛄縦 a+ b與a+ 2b的夾角為銳角,4 (2k + 1 )+ 32>0 ,所以 1k N，91解得k> 2或kM-18.如圖所示，ABCD是正方形，M是BC的中點(diǎn)，將正方形折起使點(diǎn) A與M重合，設(shè)折痕為 EF,若正方形面積為64，求AEM的面積.解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系,顯然 EF是AM的中垂線，設(shè) AM與EF交于點(diǎn)N，貝U N是AM的中點(diǎn),又正方形邊長(zhǎng)為8 ,所以 M(8 , 4), N(4 , 2).f設(shè)點(diǎn) E(e, 0)，則 AM = (8, 4), AN =ff

13、(4 , 2), AE= (e, 0), EN= (4 e, 2),f ff f由 AM 丄 EN得AM EN= 0 ,f即(8 , 4) (4 e, 2) = 0 ,解得 e= 5，即 |AE|= 5.1 f f 1所以 S/AEM = 2 |AE|BM | = 2 X5 X4 = 10.19 .設(shè)向量 a , b 滿足 |a| = |b|= 1 , |3a b| =、/5.(1)求 |a + 3b| 的值；(2)求 3a b 與 a + 3b 夾角的正弦值.解：(1)由 |3a b| =，得(3a b)2 = 5,所以 9a2 6ab + b2 = 5.因?yàn)?a2= |a|2 = 1, b

14、2=|b2|= 1 ,所以 9 6a b +1 = 5.5 所以a b=6.所以(a + 3b)2= a2 + 6a b + 9b2 =51 + 6 X-+ 9 X1 = 15.6所以 |a + 3b|/t5.設(shè)3a b與a + 3b的夾角為0.因?yàn)?3a b) (a + 3b) = 3a2 + 8a b 3b2 =5 203 X1 + 8 X- 3 X1 =6 320所以(3a b) a+ 3b)cos 0=|3a b|a + 3b|因?yàn)? °W <180所以1 9sin 0= y 1 - cos2 0=所以p333a b與a+ 3b夾角的正弦值為920 .在四邊形 ABCD

15、中，已知 AB = 9 , BC = 6 ,CP= 2PD.(1)若四邊形 ABCD是矩形，求AP BP的值;若四邊形ABCD是平行四邊形，且 AP BP= 6，求AB與AD夾角的余弦值.解：因?yàn)樗倪呅?ABCD是矩形，所以AD DC = 0.由CP=2PD，得DP=嚴(yán)，CP= 3CD=-3DC.所以 AP BP= (AD + DP) (BC + CP) =AD + PC AD DC =3 3f1 f f 2 f2AD2 -AD DC -DC2 = 36 -X81 = 18.399f f f f 1 f f 1 f(2)由題意，AP = AD + DP = AD + -DC = AD +AB

16、,33f f f f 2 f f 2 fBP= BC+ CP= BC+3CD=AD3AB，f ff 1 f所以 APBP= AD + AB3f 1 f f 2 fAD 2 -AB AD -AB2 = 36 391 f f1 f f-AB AD 18 = 18 -AB AD .33f f1 f f又 AP BP= 6，所以 18 -AB AD = 6 ,3f f已所以AB AD = 36.f ff f又 AB AD = |AB | AD |cos 0= 9 X6 Xcos 0= 54cos 0,所以 54COS 0= 36，即 cos20=一.3f f所以AB與AD夾角的余弦值為21 .(201

17、5 濟(jì)寧模擬)已知向量 a = (cos 0, sin 0), 0 0 ,n，向量 b =(寸3, 1). (1)若 a丄 b，求 0的值;(2)若|2a b|<m恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解析(1) vaX b ,.gcos 0 sin 0= 0,得 tan 0= &，又 0 0，冗,a 0=上3/2a b = (2cos 0-寸3 , 2sin 0+ 1),|2a b|2 = (2cos 0萌)2 + (2sin 0+ 1)21=8 + Sgsin 02 COS0)= 8 + 8si n(n0-;),n 2-3,3n，n又 0 0 ,n , 0一 3sin( en) &#

18、165;, 1,又|2a b|<m恒成立.22 .(本題滿分12 分)(2015廈門模擬)已知向量a= (cosa,sina),b = (cos x, sinx),c=(sinx +2sin a, cosx+ 2cos a，其中 0< a<x< n.na=-,求函數(shù)f(x)= b c的最小值及相應(yīng)的 x的值;4若a解析n與b的夾角為，且a丄c,求tan2 a的值.3b = (cos x, sinx), c= (sinx+ 2sin a, cosx + 2cos a),=cosxsin x+ 2cos xsin a+ sinxcosx+ 2sin xcos a=2sin xcosx + J2(sin x+ cos x).令 t = sin x+ cosx(；< x< n，貝U t ( 1 ,且 2sin xcosx = t2 1.y = t2 + /2t 1 = (t + 乎)2, t ( 1，寸 2)./23當(dāng) t = '寸，ymin = 2 ,此時(shí) sinx+ cosx =2即血in(x + ：)羋,sin(x + 4)=nVX<n，nn 5 n.1 <