SI.SIR.SIS-模型

1、數學模型實驗一實驗報告10第4頁/共7頁學院:學號:專 業(yè)：_實驗時間:姓實驗地點:名:一、實驗項目：傳染病模型求解二、實驗目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數值解三、實驗內容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災難，長期以來，建立傳染病的數學模型來描述傳染病的的傳播過程，分析受感染人數的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點，在此以一般的傳播機理建立幾種 3模型。分別對3種建立成功的模型進行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一（SI模型）：（1）模型假設1. 在疾病傳播期內所考察地區(qū)

2、的總人數N不變，人群分為健康人和病人，時刻t這兩類人在總人數中所占比例為s（ t）和i （t）。2. 每個病人每天有效接觸的平均人數是常數a，a成為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，可使其 患病。（2）建立模型根據假設，每個病人每天可使 as （t）個健康人變成病人，t時刻病人數為Ni（ t），所以每天共有aNs（ t） i（t）個健康者被感染，即病人的增加率為：Ndi/dt=aNsi又因為 s（ t） +i （ t） =1再記時刻t=0時病人的比例為i0則建立好的模型為：di_ dt i(0)=i0 (代碼、%ai(1 i)(3)模型求解syms a i t i0i=dsolve('

3、;Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t'); y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezp lot(y,0,100)figure計算結果或輸出結果）a： 日接觸率，i :病人比例，S：健康人比例，i0 :病人比例在t=0時的值i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=0.3*i.*(1-i); plot(i,y)Mt iii F* 他譽I Txic Mh特山51Q H旺b程Q 壯竄3討_0SI模型的it曲線（4）結果分析 由上圖可知，在 i=0:1內，di/dt總是增大的，且在都將患病。上述模型顯然不符合實際

4、，為修正上述結果，我們重新考慮模型假設，建立 模型二（SIS模型）（1）模型假設假設條件1.2與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數占病人總數的比例為常數 健康者。顯然1/u是平均傳染期。（2）模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 則有：di/dt=ai（1-i）-uii=0.5時，取到最大值，即在t->inf時，所有人SIS模型u成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的且 i (t) +s(t)=1 ;在此定義k=a/b，可知k是整個傳染傳染期內每個病人有效接觸的平均人數，成為接觸數。 則建立好的模型為：di aii （1 1/k） dti（O）=iO;（2）模型求解（

5、代碼、計算結果或輸出結果）>> syms a i u t i0 % a：日接觸率，i :病人比例,>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')>> syms k>> k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t')%給k、a、i0指定特殊值，作出相關圖像u:%求用%日治愈率，i0 :病人比例在t=0時的值u表示的it解析式k :接觸數%

6、求用k表示的it解析式>> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);>> ez plot(y,0,100)>>pause>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure>> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-1/2;>> plot(i,y)>> gtext('1-1/k,在此圖中為 0.5')&g

7、t;> lege nd('k=2')%k>1的情況，以k=2為例%作it圖，分析隨時間t的增加，i的變化%作di/dt i的圖像>> y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);>> ez plot(y,0,100)>> legend('k<1本例中 k=08)>>figure>> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);>> plot(i,y)>> lege

8、nd('k=0.8')>> gtext('k<=1 時的情況)J 111? Idit I：TV jiirri. IwLi JHh畑 tirdif 氏It 亡金口至t獸氏醫(yī)I譯QEl fl :%k<1的情況，以k=0.8為例%作i t圖，分析隨時間t增加，i的變化%作di/dt i的圖像 DCE'DDi日4 CdtIns皿 Tcios &囲也pJdu 出冷唧 us H 訓VM 則 I kM 本 wair?|JI 1:'7恤在JtS申為'、iJkD4iC.40售£ o fl QraSIS模型的di/dt i曲

9、線 （k>1）SIS模型的it曲線（k>1）第3頁/共7頁File EdtFcw IriMrtlaotDtsitanUfmd -bbPVSIS模型的di/dt i曲線 (k<1)(4)結果分析不難看出，接觸數 k=1是一個閾值，當k>1i(g )=1-1/k隨k的增加而增加；當 k<=1時，病人比例i (t)越來越小，最終趨于SIS模型的it曲線時，i (t)的增減性取決于i0的大小，但其極限值0,這是由于傳染期第10頁/共7頁內經有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬挡怀^原來病人數的緣故。模型三.SIR模型(1)模型假設SIR模型。時刻t三類人在總人1.總人數N不變

10、，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱數N中占得比例分別記作s(t),'(t)和r(t)。2.病人的日接觸率為，日治愈率為(與SI模型相同)，傳染期接觸數為(2)模型建立 由假設1顯然有s(t) i(t) r(t) 1對于病愈免疫的移出者而言應有N Ni dt再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨設移出者的初始值r0=0 ),則SIR模型的方程可以寫作Si i,i(0) t。si, s(0)Sodi dt ds dt(3)模型求解我們無法求出解析解，先做數值計算:設 1,0.3,i(0)0.02, s(0)0.98，用MAT

11、LAB軟件編程:function y=ill(t，x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x (2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98; t,x=ode45('i11',ts,x0);t,x p lot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid, pause plot(x(:,2),x(:,1)i(t),s(t)的數值計算結果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.8169

12、0.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398£li Tir 衛(wèi)tr" 05 忠:iriT 訕妬 Hr3 (SB呂飛r亂2沖穆覽aay £訂亡 J1:. ? Vir*grip口耳E旨B宇鳳"卓卩百s口i(t),s(t)的圖形s圖形(相軌線)i(t)，s(t)的圖形見左圖,i s的圖形見右

13、圖,稱為相軌線，隨著t的增加，(s)沿軌線自右向左運動。(4)結果分析由上圖結合表1可知，i(t)由初值增長至約t7時達到最大值，然后減少，t ,t 0;s(t)則單調減少 t ,s O.0398。進行相軌線分析，可得:s- i平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(s)D為D (s,t)|s 0,i0,s i 1在方程(3)中消去dt，并注意到的定義，可得di 11dt s i |s s0 io(4)容易求出它的解為i(§0 i。) s ln s0(5)在定義域D內，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件s0,i0如何，病人終將消失，即ds其證明如下，首先，由(3)，dt而s(

14、t) 0故s存在；由(2)，dtdr 0，而r(t) 1，故r存在,dr再由(1)，對于充分大的t有dt2，這將導致，與r存在相矛盾。2.最終未被感染的健康者的比例是，在(5)式中令i 0得到，s是方程s0 i0(7)在(0,1/)內的根。在圖形上,是相軌線與s軸在(0,1/)內交點的橫坐標。3.若 s01/ ，則i(t)先增加,s 1/ 時,i(t)達到最大值is0io (1 In so)(8)然后i(t)減小且趨近于0，s(t)則單調減小至s。4.若s01/ ，則i(t)單調減少至0, s(t)單調減少至s。如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么1/是一個閾值，當0 1/(即1/s0)時傳染病就會蔓延。而減小傳染期接觸數，即提高閾值1/ ，使得0 1/ (即1/s0)，傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值 s0 是一定的，通常可認為 s0接近 1 ）。并且，即使So 1/ ，從（7）, （ 8）式可以看出，減少時，s增加（通過作圖分析），im降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在/ 中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越?。会t(yī)療水平第 7頁 / 共 7頁越高，日治愈率 越大