全等三角形.第4講.全等三角形與旋轉(zhuǎn)問答.學(xué)生版

1、【例1】【例2】如圖，同學(xué)們曾玩過萬花筒,它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的，其中菱形AEFG可以看成是把如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是（）.菱形ABCD以A為中心（【例3】A.順時針旋轉(zhuǎn)C 逆時針旋轉(zhuǎn)如圖,C是線段60。得到60。得到BD上一點(diǎn),B .順時針旋轉(zhuǎn)120。得到D 逆時針旋轉(zhuǎn)120 °得到分別以 BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊BC 和等邊 ZCDE,AD 交 CE于F,【例4】已知：如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn),ACM、CBN是等邊三角形.求證:ANBM .BE交AC于G,則圖中可通

2、過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有【例5】如圖，B , C , E三點(diǎn)共線，且 ABC與 DCE是等邊三角形，連結(jié)BD , AE分別交AC , DC于M ,N點(diǎn).求證：CM CN .【補(bǔ)充】已知：如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、ECBN是等邊三角形.求證：CF平分 AFB .ACM、CBN是等邊三角形.【補(bǔ)充】如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn),請你證明： AN BM ； DE II AB ;CF平分 AFB .【例6】(2008年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷證：AE CG .)如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG .求【例7】如圖，點(diǎn)C為線段 AB上一點(diǎn)， ACMCBN是等邊三

3、角形， D是AN中點(diǎn),E是BM中點(diǎn)，求【補(bǔ)充】證：CDE是等邊三角形.)如下圖，在線段 AE同側(cè)作兩個等邊三角形(2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽海南區(qū)初賽CDE( ACE 120°，點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)，則ABC和DA .鈍角三角形B .直角三角形C .等邊三角形D .非等腰三角形【例8】如圖,等邊三角形ABC與等邊 DEC共頂點(diǎn)于C點(diǎn).求證： AE BD .E【例9】如圖,D是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且 BD AD，BP AB， DBP DBC，問 BPD的度數(shù)是否定,若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由.【例10】（2005年四川省中考題）如圖，等腰直角三角形ABC中，

4、/ B 90 , AB a , 0為AC中點(diǎn),EO OF .求證：BE BF為定值.【補(bǔ)充】如圖，正方形 OGHK繞正方形ABCD中點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為 E、F ,求證:AE CF AB.C【例11】（2004 河北）如圖，已知點(diǎn) E是正方形 ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB的延長線上一點(diǎn)，且EA AF .求證：DE BF .EC【補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形 ABCD中， ADCABC 90，AD CD，DP AB于P，若四邊形ABCD的面積是16，求DP的長.【例12】E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且/ EAF 45,AH EF , H為垂足，求證:AH AB.F【例13】

5、（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽題）在等腰Rt ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M、N，使 MCN 45，記AM m, MN x , BN n，則以x、m、n為邊長的三角形的形狀是 （）.A .銳角三角形B .直角三角形D .隨x、m、n的變化而變化C .鈍角三角形【鞏固】如圖，正方形 ABCD的邊長為1，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動，AE平分 BAF交BC邊于點(diǎn)求證：AF DF BE .x的值及設(shè)DF x（ 0 < x< 1）, ADF與 ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時S .若不存在，請說明理由.【例14】（通州區(qū)2009 模第25題）請閱讀下列材料：BC上兩動點(diǎn)，若已知：如圖

6、1在Rt ABC中， BAC 90，AB AC，點(diǎn)D、E分別為線段 DAE 45 .探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到 ABE，連結(jié)ED ,使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明； 當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖 2，其它條件不變，中探究 的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.圖1C【例15】（北京市數(shù)學(xué)競賽試題，天津市數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以D為

7、頂點(diǎn)作一個60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求AMN 的周長.C【例16】在等邊 ABC的兩邊AB, AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M , N , D為ABC外一點(diǎn)，且 MDN 60 ,BDC 120 , BD CD，探究：當(dāng)點(diǎn) M , N分別愛直線 AB, 間的數(shù)量關(guān)系及 AMN的周長與等邊 ABC的周長AC上移動時，BM , NC, MN之L的關(guān)系.ta®之間的數(shù)量關(guān)系式如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB,AC上，且DM=DN此時Q=L如圖，當(dāng)點(diǎn) M , N在邊AB, AC上，且DM 你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn) M , N分別在邊AB, CA的延長線上時，若 AN=x，則Q =

8、DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出（用X，L表示）1【補(bǔ)充】 如圖，在四邊形 ABCD 中, AB = AD , /B=/D = 90 , E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF=-2/BAD .求證：EF= BE FD;DBC、CD上的點(diǎn)，且/(2)如圖，在四邊形 ABCD中，AB = AD , /B+ /D= 180 , E、F分別是邊1EAF=丄/BAD ,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.2DEF與CD平分.【例17】平面上三個正三角形 ACF , ABD , BCE兩兩共只有一個頂點(diǎn)，求證:B【例18】已知：如圖，也是等邊三角形.ABC、 CDE、EHK都是等邊三角

9、形，且A、D、K共線，AD DK .求證：HBDKG【例19】（1997年安徽省競賽題）如圖，在 ABC外面作正方形 ABEF與ACGH , AD為ABC的高，其 反向延長線交FH于M，求證：（1）BH【補(bǔ)充】以ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形 ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且CE丄BG.【例20】（北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，AB CD AE BC DE 1，求此五邊形的面積.【例21】（希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第二試試題）在五邊形ABC AED 180'，連接 AD .求證：AD平分F在五邊形ABCDEABCDE中，已知 ABCDE .E 90 ,AE , BC

10、 DE CD ,E二/、家庭作業(yè)J【習(xí)題1】如圖，已知 ABC和 ADE都是等邊三角形,B、C、D在一條直線上，試說明 CE與AC CD相等的理由.【習(xí)題2】（湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學(xué)考試點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF DE交BC的延長線于點(diǎn)）已知：如圖，點(diǎn) E是正方形 ABCD的邊AB上任意一F .求證：DE DF .C【習(xí)題3】（2008山東）在梯形 ABCD中，AB II CD ,A 90 , AB 2, BC 3 , CD 1 , E 是 AD 中點(diǎn),試判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程.【習(xí)題4】已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),ACM、CBN是等邊三角形.CG、MCB的高.求證：CGCH .BCH分別是 ACN、Tte叨月測備選ACB 90 , AC B