第五節(jié)離散型隨機變量及其分布列復(fù)習(xí)講義

1、第五節(jié)離散型隨機變量及其分布列-備考方向明確I方向比勢力更重要t復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1. 了解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2. 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.3.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.-知識鏈條完善、離散型隨機變量1. 了解離散型隨機變量的意義，能利用古典概型的概率公式求分布列.2. 了解兩個事件相互獨立及獨立重復(fù)試驗的概念,能把復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為n個互斥事件的和或幾個獨立事件的和求解，并注意每個公式的適用條件.f把隸落的知識連起來才網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量,所有取值可以列出

2、的隨機變量，稱為離散型隨機變量.二、離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)1. 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為xi,x 2,x i,x n,X 取每一個值 Xi(i=1,2,n)的概率 P(X=x)二pi,則表XXiX2 Xi XnPPiP2 Pi Pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.2. 離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(1) Pi0,i=12,n.(2) P 1 + P2 +Pn=1.三、相互獨立事件般地,對兩個事件A,B,如果P(AB)二P(A)P(B),則稱A,B相互獨立.四、兩點分布若隨機變量X的分布列為X01P1-PP則稱X服從兩點分布，并稱p=P(X=1)為成功

3、概率.五、獨立重復(fù)試驗與二項分布1.獨立重復(fù)試驗般地,在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.2.二項分布般地,在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試 驗中事件A發(fā)生的概率為P,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)= ckpk(1-p) n-k(k=0,1,2,n).此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n,p),并稱P為成功概率.1.概念理解(1) 隨機變量是將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化.(2) 離散型隨機變量的分布列從整體上反映了隨機變量取各個值的可能性的大小，反映了隨機變量取值的規(guī)律性.(3) 因為一次試驗的各種結(jié)果是互斥的，而全部結(jié)果之和為一個必然事件,所以離散

4、型隨機變量的分布列具有性質(zhì)p+p2 +»+ +pn=1.(4) 由事件A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為事件A與B的交(或積),記作An B(或AB).(5) 相互獨立的兩個事件實質(zhì)上是一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生沒有影響.(6) 獨立重復(fù)試驗必須滿足三個特征：每次試驗的條件都完全相同，即每次試驗事件發(fā)生的概率相等；各次試驗互相獨立；每次試驗 只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.P(X二k)二 cnpk(1-p) n-k恰好是(1-p)+pn展開式的第 k+1 項. X n-k kTk+二Ck(1- p) p.(8)獨立重復(fù)試驗的實際原型是有放回的抽樣問題，但在實際中，從大批產(chǎn)

5、品中抽取少量樣品的不放回檢驗,也可以近似地看作此類型.(9)獨立重復(fù)試驗中的概率公式Pn(k)= cnp k(1- p) n-k中的P與(1-P)的位置不能互換，否則式子表示為事件A有k次不發(fā)生的概率.2.與獨立事件有關(guān)的結(jié)論 (1)若A與B相互獨立，則A與B, A與B,A與B也都相互獨立. 若A與B相互獨立，則P(B|A)二P(B)且P(A|B)二P(A).(3) 事件A,B發(fā)生的概率關(guān)系如表所示A,概率P( A+B)A,B互斥P( A)+P(B)A,B相互獨立1-P(A) - P(B)P(A - B)P( A - B)A,P(A) P(B)A,1- P(A)+P(B)P(A) - P(B)

6、溫故知新1.隨機變量X的分布列如表：X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列，則P(|X|=1)等于(A )(A)| (B)l (C)1(D)22.國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為-，乙、丙去北京旅游的概率分3別為-,-,假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)三人45(A) 59 (B) 3(C)(D)丄605260解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別為-,，且三人的行345動相互獨立，故三人同去北京旅游的概率為2 X1 X34560a同去北京旅游的概率為(D )3. 離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X二n)=(n=1,2,3,4),n(n +1)其中a是常數(shù)，則P(fvX

7、)的值為(D(A)| (B)5 (C)2 (D耳 解析：因為 P(X二n)=&(n=1,2,3,4),n(n P )所以 a + a + A+A=1,2 6 12 20所以a仝，4X -=-.故選 D.6 6所以 P(-<X<|)=P(X=1)+P(X=2)= 5 X 1 +彳4. 某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為4,那么播下3粒這樣的5種子恰有2粒發(fā)芽的概率是 答案：絕在訓(xùn)練中幸握方法t125-高頻考點突破考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】 設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)=ak(k=1,2,3,4,5).5(1)求 a;(2)求 P(X3).5解：

8、(1)由分布列的性質(zhì) 得,P (X=l)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所5555以 a=.15(2)P(X > 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=1)555=3X 丄+4X L+5X 丄151515_45 肢思I勢(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時注意 檢驗,保證每個概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列及互斥事件的概率加法公式，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可曾遷極訓(xùn)絳設(shè)E是一個離散型隨機變量，其分布列為E-101P21-2a2 a則a等于(D )(A)1(B)1 士

9、 ¥ (C)1+ ¥ (D)1-耳11 _2a >0, 解析：由分布列的性質(zhì)，得4i2沖1 _2a)+a2 二1,解得a=1- 故選D.2考點二求離散型隨機變量的分布列【例2】一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4,從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X,求隨機變量X的分布列.解:(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A,則J Qi J J "P(A)=

10、 C2 C5 +C2C5 =6I 一 C _7 所以取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為號. 隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.Pk1)唁=35，P(X=2)=| = ±P(X=3)=Cl = ?,C77P (X=4)=C4 = 7,C77所以隨機變量X的分布列是X12341424Pr353577虞團&列(1)求離散型隨機變量X的分布列的步驟：理解X的意義, 寫出X可能取的全部值；求X取每個值的概率；寫出X的分布列.(2)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值的概率在求解時,要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識.某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市

11、購物滿300元的顧客, 將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下: 獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球,1個黃球,1個白球和1個 黑球.顧客不放回地每次摸出1個球,若摸到黑球則停止摸獎，否則就 要將獎盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球獎勵10元,摸到白球 或黃球獎勵5元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率;記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，隨機變量X的分布列.2解:(1)設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件A,則P(A)= = 1A44故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為丄.4 隨機變量X的所有取值為0,5,10,15,20.P(X=0)=丄,P(X=5)=電二1P(x=10)=占+

12、a_=6,A4 A46"A 2.x05101520所以，隨機變量X的分布列為A3P (X=20)=£=1p (X=15)=c2-A=,* 6考點三獨立重復(fù)試驗與二項分布【例3】甲將要參加某決賽，賽前A,B,C,D四位同學(xué)對冠軍得主進行 競猜,每人選擇一名選手，已知A,B選擇甲的概率均為m,C,D選擇甲的 概率均為n(m>n),且四人同時選擇甲的概率為 侖，四人均未選擇甲的 概率為1.(1)求m,n的值; 設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)由已知可得¥(1mj(1_n),I25|m >n.I 3m =-, 解得彳121 1

13、 戸.X可取0,123,4.P (X=o)=215,P(X=1)=c12 XP(X=2)= c； X3 X (13 X (153) X (1- 2)2+(1- |)2X c2 X 1 X (1-2)=2，3)X c；X £X(1-2)+g)2x (1-p2+(1-|)2x G)2= 37100P (X=3)= C1；23 X (1-3)x G)2+(|)2x c；x x (TV，P(x=4)=盒X的分布列為X01234113739P=125510010100E(X)=0 X 丄+1 X 1+2X 2L+3X 2+4X 2=2225510010100原圍緬二項分布的簡單應(yīng)用是求n次獨立

14、重復(fù)試驗中事件A恰有k 次發(fā)生的概率，其解題一般思路是：根據(jù)題意設(shè)出隨機變量XT分析出隨機變量服從二項分布7找到參數(shù)n,pT分析X取每個值對應(yīng)的k值T將k代入公式求概率.督遷極訓(xùn)緣乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制(即 先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性 相同.(1)求甲以4比1獲勝的概率;求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.解:(1)由已知得甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是12，設(shè) A=甲以 4 比 1 獲勝,則 P(A)二 c3(2)勒)4-3 2=1 設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為4,5,6,7,P(X=4)=2 -P(X=5)=2 -

15、P(X=6)=2 -P(X=7)=2 -(1)4=1,(2)3(2)4-3(2)3(2)5-3(2)3(擴3丄=124 '1 =_52 161 _ 5 2 16-解題規(guī)范夯實hJ在平凡的事情上精益求精t比賽局?jǐn)?shù)的分布列為X4567P11558416Te古典概型與離散型隨機變量的分布列【例題】(2015 四川卷)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A 中學(xué)推薦了 3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了 3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加 集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率； 某場

16、比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽.設(shè)X表示 參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率 為 CCH.因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為丄理100 100根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.13P 以=1)=咨=1,C6 5P (X=2)=C = -,C6 5P (X=3)=算=2.C6 5所以X的分布列為X123P131555因此,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1 X P(X=1)+2 X P(X=2)+3X P(X=3) =1 X -+2X 3+3x -555=2.I解題

17、規(guī)范回規(guī)范要求：步驟應(yīng)齊全，能夠正確利用計數(shù)原理、排列、 組合求出概率.溫馨提示：對于“至少” “至多”型問題?？紤]利用對立事件概率加 法公式求解.【規(guī)范訓(xùn)練】盒內(nèi)有大小相同的9個球,其中2個紅色球,3個白色球,4 個黑色球.規(guī)定取出1個紅色球得1分,取出1個白色球得0分,取出1個黑色球得-1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球.(1)求取出的3個球中至少有1個紅球的概率;(2)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率;(3)設(shè)X為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求X的分布列.解：(1)p=1-聳=2.C912記“取出1個紅色球,2個白色球”為事件B, “取出2個紅色球,11 2 2 1 個黑色球”為事件C,則P(

18、B+C)二P(B)+P(C)二 羋+羋=2.C9C9 42X可能的取值為0,1,2,3,X 服從超幾何分布，所以P (X=k)= 容,k=0,1,2,3. 故P以=0)=聳=2,C9211 2P (X=1)= = ,P (X=2)=CCi = A,C 914-課堂類題精練P(X=3)=C_ = 84.X0123P5153121281484所以X的分布列為F在煤習(xí)中依會學(xué)習(xí)的樂趣才類型一離散型隨機變量1.已知8件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機變量E ,那么E的可能取值為（C ）(A)0,1(B)1,2(C)0,1,2 (D)0,1,2,3解析：因為8件產(chǎn)品中有2件次品，所以

19、從中任取3件,表示取到次品 件數(shù)的隨機變量E的可能取值為0,1,2.故選C.類型二求概率2.設(shè)隨機變量X的分布列如表，則P（|X-2|=1）等于（C ）X1234P11164m3(A)(B) 1 (C) 1 (D) 2解析:由所有概率和為1,可得mi .4又 P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)= 1+ 1=A故選C.3. 某科研小組共有5名成員,其中男生3名,女生2名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的概率為(C ) (A)| (B)355(C) 1 (D)以上都不對102解析：所求概率卩=1鳥=上C510故選C.4. 已知甲袋中有1個黃球和2個紅球,乙袋中有2個黃球和2個紅球

20、,現(xiàn)隨機地從甲袋中取出兩個球放入乙袋中，然后從乙袋中隨機取出1 個球,則從乙袋中取出紅球的概率為(C ) (A)3 (B)2 (C)彳(D)彳解析：根據(jù)題意,分兩種情況討論：從甲袋中取出兩個紅球，其概率為紅球,則從乙袋中取出紅球的概率為1,此時乙袋中有2個黃球和4個34 =-,則這種情況下的概率為631 y 2 _2X 一 一,339從甲袋中取出1個紅球和1個黃球,其概率為2，此時乙袋中有3個3黃球和3個紅球,則從乙袋中取出紅球的概率為=丄,則這種情況下6 2的概率為3 X 1=!則從乙袋中取出紅球的概率為2+1=5故選C.類型三分布列5. 若在甲袋內(nèi)裝有8個白球、4個紅球,在乙袋內(nèi)裝有6個白

21、球、6個紅球,今從兩袋里各任意取出1個球,設(shè)取出的白球個數(shù)為X,則下列 概率中等于c8c61 1c4c6的是（C ）(A)P(X < 1)(B)P(X < 2)(C) P(X=1)(D) P(X=2)解析:P(X=1)= g+g ,故選 C.C12C126.若隨機變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P（Xva）=0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（C ）(A)(- - ,2(B)1,2 (C)(1,2 (D)(1,2)解析：由隨機變量X的分布列知:P (X<-1)=0.1, P(XV0)=0.3 ,P (XV1)=0.5, P(XV2)=0.8,則當(dāng)P（X<a）=0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（1,2.故選C.7.設(shè)E為隨機變量,從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，E =0;當(dāng)兩條棱平行時，E的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，E =1,則隨機變量E的分布列是解析：E的可能