第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

1、第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，一輪復(fù)習(xí)更需疋視基礎(chǔ)知識(shí)的強(qiáng)化和落實(shí)卻即一、基礎(chǔ)知識(shí)批注理解深一點(diǎn)1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式S(a±B): sin(a±®= sin 久cos B並os osin 3C(a±3： cos(a±3= cos acos 3?sin osin 3丄 / 丄 C tan a±tan S,T(: tan( a±3= 1?tan aan 3a, 3 a±3*扌+ kn, k ZJ.C( a±B)同名相乘,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的結(jié)構(gòu)特

2、征和符號(hào)特點(diǎn)及關(guān)系:符號(hào)反；S(a±3異名相乘，符號(hào)同；T( a±B)分子同，分母反.2.二倍角公式S2a： sin 2a= 2sin acos a.2 2 2 2C2 a： cos 2oc= cos a sin a= 2cos a 1 = 1 2sin a.T2a： tan 2 a= a Lm k n+ 2且 a 竽+7，k zj1 tan a224/二倍角是相對(duì)的，例如， a是4的二倍角，3 a是3°的二倍角.二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)(1)降幕公式:21 + cos 2a . 21 cos 2%cos a= 2， sin a= 2(2)升幕公式:2 21 +

3、 cos 2o= 2cos a, 1 cos 2o= 2sin a.(3)公式變形:tan a±tan 3= tan( a±3(1 ?tan Oan 3.輔助角公式：asin x+ bcosx= 7a2 + b2sin(x +冊(cè)其中sin匸需茸存，cos"=寸孑+ b丿三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化功底牢一點(diǎn)(一判一判(對(duì)的打錯(cuò)的打“X”(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角3是任意的.()(2)存在實(shí)數(shù) a, 3使等式sin( a + 3 = sin a+ sin 3成立.()a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 tan atan 3,tan a+ tan 3,公式t

4、an(a+3= 1 tan aan 3可以變形為怙“且對(duì)任意角 a, 3都成立-（）（4）存在實(shí)數(shù)a,使 tan 2 a= 2tan a(答案：（1）2(2)V (3) X (4)V（二）選一選11. （2018全國(guó)卷川）若sin a= 3，則cos 2a=(A，8b.7解析:1 2B / sin a=二， cos 2a= 1 2sin a= 1 2X3'2.sin 20cos 10° cos 160°sin 10°=()V32D-2解析:1D 原式=sin 20°os 10°+ cos 20sin 10°= sin(20&#

5、176; + 10°= sin 30° = _.3 設(shè)角0的終邊過點(diǎn)（2,3），則tan（B：卜（）1A-11B.53 1 解析：選A 由于角0的終邊過點(diǎn)（2,3），因此tan 0= 3，故tan（0：）= :“ 0 -22X4丿 1 + tan 01+號(hào)=1=5,（三）填一填4.已知 cos a= 13，a(0 , £，則 c解析：:cos a= 13，a G，2)二 sin a=yj 1 - CoS a=， cos, ；= cos 處0+ sin oSJinjh 13X ¥ + 13X 當(dāng)=7.265. sin 15° + sin 75&#

6、176; =解析：依題意得sin 15° + sin 75°=cos 75°+ sin 75°= fcos(75 45°答案：¥若點(diǎn)不宜整合A大*挖掘過深穩(wěn)取120分就是大勝考點(diǎn)一三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用典例已知 sin a= 5， a g, n，tan g= *，則 tan( a g的值為(A.- 11C 11C.-1n(2)(20佃 呼和浩特調(diào)研)若sin( n a) = ?，且云三a< n,貝U sin 2 a的值為(2/29B.解析(1)因?yàn)?sin a= 3, a g, J,所以cos a= 一 1 sin2 a = 4

7、,5所以tan a=沁3cos a4所以tan a tan gtan( a蓄1 + tan aan2_1T1(2)因?yàn)?sin( a)= sin a= 3,所以 cos a= 寸 1 sin2 a=所以 sin 2a= 2sin acos a= 2X 3x (L 色憶答案(1)A(2)B解題技法應(yīng)用三角公式化簡(jiǎn)求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律.例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為:“同名相乘，符號(hào)反”.(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.題組訓(xùn)練1.已知sin a= 3 + cos a,且a扌)則 學(xué)2；、的值為(

8、sin( a+ 4)解析:所以d-311選 A 因?yàn)?sin a=-+ cos a,所以 sin a cos a=-,33cos 2a2 . 2 cos a sin a( nn nsinla+ 4丿 sin cco + cos osin 4Cos a sin a Ycos a+ sin a2 (sin a+ cos a=込=242.已知 sin a= 5，且 asinf a + n)勺值為解析：因?yàn)閟in a= 4，且5所以a g, n，所以-235cos a= 寸 1 sin2 a =50因?yàn)閟in 2a=2sin acos a=24,cos 2“=2cos2a-1=-i所以sin(2 a+

9、 n= sin 2 .cosf cos Zoin； 2450答案：-24考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形用典例(1)(2018 全國(guó)卷 n )已知 sin a+ cos 3= 1, cos a+ sin 3= 0，貝U sin( a+ 9 =計(jì)算：tan 25 ° + tan 35。+ 雨tan 25 tan 35° =解析/ sin a+ cos 3= 1，cos a+ sin 3= 0,2+ 2得 1+ 2(sin acos 3+ cos asin 3+ 1 = 1,1- sin acos 3+ cos asin 3= q,1- sin( a+ 3=-原式=tan(25。

10、+ 35°(1 tan 25 ° tan 35 ° + Vstan 25 ° tan 35 ° =3(1 tan 25 ° tan 35 °+ 73tan 25 tan 35 ° = /3.答案(1) 2 (2)W解題技法兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.(2)公式的一些常用變形:sin osin 3+ cos(a + 3= cos acos 3cos asin 3+ sin( a 3= sin o(cos 3;(”a a、sinicosy ；2

11、sin occos a 2tan a sin 2a= sin2a+ cos2 a = ta+l ；2 . 2 . . 2- cos a sin a 1 tan a cos 2a=2=? T.cos a+ sin a 1 + tan a提醒(1)公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系.(2)tan atan 3, tan a+ tan 3或 tan a tan 3, tan( a+ 3(或 tan( a 3)三者中可以知二 求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題.注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)2, 1，考，V3等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式.

12、公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用;幕升一次角減半，升幕降次它為范;1加余弦想余弦，1減余弦想正弦.題組訓(xùn)練1.(口訣第 1 句設(shè) a= cos 50°cos 127° + cos 40°cos 37° b=(sin 56° cos 56°, c=2需齊則a,b,c的大小關(guān)系是（A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b解析：選D 由兩角和與差的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式，可得a= cos 50°os 127° + cos40° cos 37&

13、#176;= cos 50°os 127° + sin 50°in 127 °= cos(50° 127 °= cos( 77°= cos 77°= sin13° b=¥(sin 56° cos 56)=乎sin 56° 乎cos 56= sin(56° 45° = sin 11° c= ； ；sinjg °1 cos239 °22, n=cos39° sin 39°= cos 78°= sin

14、12°.因?yàn)楹瘮?shù) y= sin x, x 0,三1 + cos239 °所以 sin 13°sin 12°sin 11° 所以 a>c>b.2.（口訣第1句已知csin a=耳3，貝U sin (a+解析：由csin a=羊,5可得 cos a+ 2sin a+ sin a=警,即 3sin a+ 申cos a=225gin (a+ 詐羋即 sin(a+ 詐:答案：453.（口訣第2、3句化簡(jiǎn)sin2（a才）+ sin2（a +三sin2a的結(jié)果是.21 cos(2 a 3 1 co92解析：原式=2 +0.22 sin a.2Co

15、s2 a 3Cosg a+sin2 a.2=1 - cos 2a os 于sin2 a34 cos 2a 1 cos 2a=1 '2 2_ 1=2.1考點(diǎn)三角的變換與名的變換考法（一）三角公式中角的變換 典例（2018浙江高考改編）已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn) 0重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P卜5,_ 5）若角B滿足sin（a + 3）=醫(yī) 則cos B的值為解析由角a的終邊過點(diǎn)P（ 5，- 5）得 sin a= 4, cos a= 3.55512由 sin(a + 3 = 13,得 cos(a + 3)=葦.由 3= ( a+ 3 a, 得 cos 3= cos(a + 3c

16、OS a+ Sin( a + 3sin a,所以 cos 3=- 55或 cos 3= 65.65bo答案】-56或65解題技法1.三角公式求值中變角的解題思路（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系, 再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.2.常見的配角技巧a+ 32 a= ( a+ 3 + ( a 3 , a= ( a+ 3 3, 3= 2 a 3a+ 3 a 3T，a=二 + a 32 =-（% +詼.考法（二）三角公式中名的變換典例（2018江蘇高考）已知a B為銳角，

17、tan4V5a= 3, cos(a + 3 = 5 .(1)求cos 2%的值;求tan（ a 3的值.解因?yàn)閠an a= 4, tan a=鴛所以 sin a= 4cos a .因?yàn)閟in2 a+ cos a= 1 ,所以曲 a= 25,所以cos 2a= 2coW a 1 = .25因?yàn)閍, 3為銳角，所以a+ （0, n又因?yàn)閏os（a + 3）=羋，所以a+共g, n所以sin(a + 3 =寸 1 co a+ 3=習(xí),所以tan( a+ B)= 2.因?yàn)閠an a= 5,3所以tan 2 a= 2tan a1 tan2 a257.所以tan( a 3= tan2 a ( a+ 3)t

18、an 2 a tanf a+ 321 + tan 2 octan( a+ 3)11T、r = _ 解題技法三角函數(shù)名的變換技巧明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化 為正切，或者把正切化為正弦、余弦.題組訓(xùn)練1已知tan0+ tone =4，則 cos2(e+ hB.3D-51A-11C-1解析：選C,丄 “1. /m sin 0 cos 0,由tan 0+ tanz4,得cor0+ 祐=4,2 2即 sin 07 cos 0 = 4,. sin ecos 0sin 0COS 0r n=4，. cos< 0+ n=1+叭20+2八sin 20 1-2s

19、in -s 0112 1 = 1=4.22. （2018 濟(jì)南一模）若 sing+A,n則sin A的值為（B"5d.3A"3C.3或 5解析：選 B AC（4, n）. A+ 4（2，爭(zhēng)，遇卜+分71助平+警,=sin A+-coslA + 諭才=4. sin A = sin A +43.已知 sin a= ；, a5¥，2冗1，若2,則 tan( a+ 1=()L2 cos B6A A. 1313BE解析:61313D.-石選 A / sin a= 4,53-cos a= .5又 sJnt吐1= 2cos B sin( a+ B)= 2cos( a+ B) 展

20、開并整理，得5cos(a + 3)=135 sin(a + B,6 tan( a+ B=課時(shí)跟蹤檢測(cè)A級(jí)一一保大分專練1. sin 45°cos 15°+ cos 225°sin 165°=()B.2解析：選 B sin 45°cos 15° + cos 225°»in 165° = sin 45° cos 15°+ ( cos 45°sin 15° =2sin x +x 乍 1,貝U cos 2x =(sin(45° 15° = sin 30&

21、#176;= f.2.若B.C.；7 25解析:選 C 因?yàn)?2sin x + cosg x= 1,所以 3sin x= 1,所以 sin x= f，所以 cos 2x=1 2sin2x= 7.3.（2018 西名校聯(lián)考）若cosla 6廠cos a=(九-爭(zhēng)，則c解析:C cos(a ncos1.B.±11a= 2cos a+ 2疤in a+ cos a= 3cos a+ 申Sin a= 34. tan 18+ tan 12 占tan 18tan 12 °=(B.V2V3D亍解析：選tan 18 牛 tan 12 ° y/3D tan 30 =tan(18 &#

22、176; 12°=1 tan 18 tan 12 ° 3 tan 18。+ tan 12tan 18 °tan 12°),a原式= 普.5.若a 仔，n 且 3cos 2a= sin g a)貝u sin 2 a 的值為(1181B-i18解析:171817D.18選 C 由 3cos 2a= sing J,可得 3(cos2 a sin2 a) = ¥(cos a sin a)，又由 a近1可知 cos a sin a 0,于是 3(cos a+ sin J =十，所以 1+ 2sin 久cos a= _，故 218sin 2 a= .(16

23、.已知 sin 2a= 3，則D"2解析:選Dn=1+coS2=2 + 2sin 2a= 2+ 只 3 3.27.已知 sin£+ a卜2,勺值為a一 2, 0)貝 co所以cos12cos+V3sina+ 2 sin a=12.2'解析：由已知得cos a= 1 sin an38 （2019湘東五校聯(lián)考一一1. , c、 1 tan a)已知 sin(a + 3 = 2，sin(a 3= 3，則 =111解析： 因?yàn)?sin(a+ 3) = -, sin( a 3 =-，所以 sin cocos B+ cos asin 3=-, sin o(cos 32 32co

24、s osin 3= 3，所以 sin acos 3=卷,cos asin13- 12，所以 tan 3= cos osin 3'tan a sin o(cos 3 -=5.答案：59. （2017江蘇高考）若tan1，則tan a=解析：tan a= tan (a +4tan (a汴 tann1 tan (a-:腳才1+ 16= 71 = 5.1 6答案：710.化簡(jiǎn):sin 35 2cos10° cos 80° =解析:2sin 351 cos 70°12 2cos 70°cos 10°os 80cos 10°in 102s

25、in 20°=1.答案：111.已知 tan a= 2.(1)求 tan (a+n)勺值;sin 2a(2)求sin2 a+ sin acos a cos 2a 1的值.解：(1)tan (a+nn1 tan 如4ntan a+ tan4 2 + 1 =3. 1 2sin 2a(2)sin2 a+ sin acos a cos 2a 12sin 處os asin2 a+ sin ccCOS a (2cos a 1 12sin acos asin a+ sin acos a 2cos a2tan a= 1.tan a+ tan a 22 + 2 2'12.已知a, 3均為銳角,31且 sin a= 5 , tan( a 3=-.(1)求 sin(a 3的值;求cos 3的值.解: (1) a, 3 (0,a,nn2< a吩又；tan( a 3 = £<0,.3n亠2< a 3<0.sin( a 3=普0.W10由(1)可得，cos(a 3 = 益.3 4a 為銳角，