相似三角形專業(yè)題材

1、【一】知識梳理【1】比例中，其中兩個量的比等于另兩個量的比，那么這四個 定義：四個量a,b,c,d量成比例 形式：a:b=c:d，性質(zhì)：基本性質(zhì):c<c=bd d一條線段的黃金分割點有兩個ACBCBCAB0.618ABAB0.382ABAC0.618AC75 123 752亦1注意:形,2如圖 ABC，/ A=36°, AB=AC這是一個黃金三角cBC0.618AB21、可以把比例式與等積式互化。2、可以驗證四個量是否成比例4,比例中項：c汁c2 ab注：比例式有順序性的，比例線段沒有負(fù)的，比例數(shù)有正有負(fù)【2】黃金分割定義：如圖點 C是AB上一點，若AC2 AB?BC，則點C是

2、AB的黃金分割 點，平行線推比例c上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1相似三角形的判定 AA相似：/ A=/ D, / B=/ E ABSA DEF S A S' AB BC, BDE EF ABBA DEF s S S ' 些竺昱DE DF EF ABSA DEF平行相似：DE/ BC ADEA ABC2、相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例 相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)周長的 比都等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方3、相似

3、三角形的常見圖形'A型圖''K型圖''母子圖母子圖中的射影定理'一般母子圖AC2=AD?ABAC2=AD?AB BC 2=bd?abcd2=ad?bd【二】題型1、求線段的比求a比b的方法：求a,b的長度，設(shè)k法，利用三角形相似的 性質(zhì)，平行推比例線段 比例分配【例題1】如圖，直線Il/l2 / l 3,直線AC分別交ll， l 2， l 3于點A，B， C;直線DF分別交li,12,I 3于點D,E，F(xiàn).AC與DF相較于點H,且AH=2 HB=1 BC=5則匹的值為EF【例題2】如圖，已知在 ABC中，點D E、F分別是邊AB AC BC上的點

4、,DE/ BC EF/ AB,且 AD： DB = 3 : 5,那么 CF： CB等于AB FC（1）（2）【例題3】如圖，點D是 ABC的邊AB上一點，且 AB=3AD點P是 ABC的外 接圓上的一點，且/ ADP2 ACB則PB:PD=【例題4】如圖，已知ABC的角平分線,DE/ AB交 AC于 E,D .【例題5】3b2，則一3 3a 4b【例題6】如圖,將矩形紙片ABCD（AD>D（的一角沿著過點D的直線折疊,使點A與BC邊上的點E重合，折痕交 AB于點F.若BE:EC=m：n貝U AF:FB=.【例題7】如圖所示，將矩形ABCD折疊，使點B落在邊AD上,點B與點F重合, 折痕為

5、AE，此時,矩形EDCF與矩形ABC相似,則竺=AB 【例題8】如圖，Rt ABC內(nèi)接于OO,乙A=90,AC=3 , D 為弧°,AB=4CEAB的中點，則DE(7)(8)【例題9】在Rt ABC中 ,若 CD=3 AN=4 則 tan / CAN=/ ACB=90 , CD為 AB 的中線,AN! CD 交 BC于 N,)AA.0.B.2、相似三角形的性質(zhì)與判定【例題1】如圖，小正方形的邊長均為1,貝U下列圖中的三角形（陰影部分） 與 ABC相似的是（【例題2】如圖，確定 ACP與 ABC相似的是（已知 ABC P是邊AB上的一點，連結(jié)CP以下條件中不能）A / ACP2 B,

6、B / APCM ACBC AC2=A P.AB D AC 俎CP BC【例題3】已知四邊形 ABCD與四邊形 ABCD，且AB:BC:CD:DA=20 15： 9：8,若四邊形ABCD為26，貝U AB的長為【例題4】如圖，矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置,則矩形ABCD的周長為【例題5】如圖，P為OKBCD的邊AD上一點，E,F分別為PB,PC的中點， 仲EF的面積為3，則平行四邊形的面積是使點D落在AB的中點E G,則 EBG的周長為6的正方形ABCD折疊, Q出，EQ與BC相較于點已知兩個相似三角形的對應(yīng)高的比為 3:10，面積差為100，則大三角形的面

7、積 為【例題6】如圖，將邊長為處，折痕為FH,點C落在點C(4)£>C(5)【例題7】如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.DE=18 m小明和小華的身高都是 1.6m,坡面上小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為 塔高AB為多少？AB, B 是已知鐵塔底座寬 CD=12 m塔影長同一時刻，小明站在點 E處，影子在2m和1m,那么點撥：同一時刻、同一地點，物高 與影長的比是定值A(chǔ)jS Jjf 1 Jr Jy I【例題8】如圖，AB=4射線BMW AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上, BeJjDB,作EF丄DE并截取EF=DE

8、連結(jié)AF并延長交射線 BM 乙于點C.設(shè)BE=x BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是3、相似三角形討論【例題1】直線y=-x+1分別交x軸、y軸于A B兩點， AOB繞點O按逆時針后得到 COD拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A C D三點.A B、C D的坐標(biāo)；A C D三點的拋物G的坐標(biāo)；方法1、固定一個角，按AA討論，2、按夾相等角得兩邊的比值相等討論方向旋轉(zhuǎn)90（1）寫出點（2）求經(jīng)過（3）在直線BG上是否存在點 Q使得以點 A B Q為頂點的三角形與 cOd相似？若存在，請求出點 Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.54-32-11IJ1y5-4 -3 -2 jU-11 2 3 4 5-2

9、-34-5r【例題2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點A （-5，0）和點B,其中點B 在第一象限，且 OA=OBtan / BAO=2（1）求點B的坐標(biāo)。（2）求二次函數(shù)的解析式。（3）過點B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖象的另一個交點為 C,連結(jié)AC,如果點P在x軸上，且 ABCn PAB相似，求點P的坐標(biāo)。Q到達(dá)點O時，兩點同時【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC的邊長是4,點A, C分 別在y軸、x軸的正半軸上，動點P從點A開始，以每秒2個單位長度的速度 在線段AB上來回運動動點 Q從點B開始沿B-C-O的方向，以每秒1個單 位長度的速度向點O運動.

10、P, Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點 停止運動.設(shè)運動時間為t秒.(1) 當(dāng)t = 1時，求PQ所在直線的解析式.(2) 當(dāng)點Q在BC上運動時，若以P, B, Q為頂點的 三角形與 OAP相似，求t的值.(3) 在P, Q兩點運動的過程中，若 OPQ勺面積為6,請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo).【例題4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，頂點 M在第三象限，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸負(fù)半軸交于點C,點A坐標(biāo)為(一3, 0),點B坐標(biāo)為(1, 0).(1) 試用含a的式子表示b, c ；(2)連接AM CM CB,試說明 OCB與四邊形AMCO勺面積之比是一個定 值，并求出這個定值；(3

11、)連接 AC 若/ AC/=90°,解決下列問題:求拋物線解析式并證明/MAO/ ACB線段AM上是否存在點D,使以點AOD為頂點的三角形與 ACB 相似？若存在，求出點D坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【例題5】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0是坐標(biāo)原點，以P( 1，1)為圓心 的OP與x軸，y軸分別相切于點M和點N,點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以 每秒1個單位長度的速度運動，連接 PF,過點PEX PF交y軸于點E,設(shè)點F 運動的時間是t秒(t > 0)(1) 若點E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示)，求證：PE=PF(2) 在點F運動過程中，設(shè)OE=a OF=b試用含a的代數(shù)式表示b

12、;(3) 作點F關(guān)于點M的對稱點F',經(jīng)過M E和F'三點的拋物線的對稱軸 交x軸于點Q,連接QE在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點 Q O E為頂點的三角形與以點P、M F為頂點的三角形相似？若存在，請直 接寫出t的值；若不存在，請說明理由.【例題6】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y ax2 bx3與x軸的兩個交點分別為A (-3 , 0)、B (1, 0),過頂點C作CHI x軸于點(1)直接填寫：a，頂點C的坐標(biāo)為(2) 在y軸上是否存在點 D,使得 ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由;(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點

13、(點 P與頂點C不重合)，PQIAC【例題7】.如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y = x + 3與x軸、y軸分別交于A, B兩點，直線y = kx + 8與直線AB相交于點D,與x軸相交于點C,過D作DEL x軸于點E (1, 0),點P (t , 0)為xDE上一動點，當(dāng)以 O,B, T為頂點的三角形與以軸上一動點.若點T為直線0,B, P為頂點的三角形相似時，則相應(yīng)的點P (tvO)的坐標(biāo)為【例題8】如圖，二次函數(shù)y5-X 4與x軸交于A、B兩點，與y軸交3于點C,點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長度的速度向點 A運動，到達(dá)點 A后立刻在以原來的速度沿 AO返回；點Q從點A出發(fā)沿AC以

14、每秒1個單位長 度的速度向點C勻速運動，過點Q作QD x軸，垂足為D。點P、Q同時出發(fā)， 當(dāng)點Q到達(dá)點C時停止運動，點P也隨之停止.設(shè)點P, Q的運動時間為t(t 0).(1)(3)當(dāng)點P從點0向點A運動的過程中，求 QPA面積S與t的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)線段PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點時，請直接寫出 t的取值范圍； 當(dāng)t為何值時，以P、D Q為頂點的三角形與 OBC相似；如圖2: FE保持垂直平分PQ且交PQ于點F,交折線QC- CO-OP于點 E,在整個運動過程中，請你直接寫出點 E所經(jīng)過的路徑長.4、求線段長的方法1、勾股定理2、相似3、直角三角形邊角關(guān)系 4、方程 注意：方程可以根據(jù)勾股

15、定理、相似、邊角關(guān)系得到3D,那么BD的長為A【例題1】如圖，在 ABC中, AB=AC BC=8 tanC=3如果將 ABC沿直線I翻 23Sin / BAC=，AB=105折后，點B落在邊AC的中點處，直線I與邊BC交于點【例題2】已知AB是半圓0的直徑，D為AC的中點,EA與O 0相切于A，E、D、B在一條直線上，求 AE的長【例題3】已知矩形 ABCD AD=3 AB=2 E為AB的中點，F(xiàn)在BC邊上，且 BF=2CF,AF分別與DEQB相較于G,H,求GH【例題4】如圖所示，在 ABC中，BC=6 E、F分別是AB AC的中點，動點P 在射線EF上, BP交CE于D,/ CBP的平分

16、線交 CE于Q,當(dāng)CQ=1 CE時，貝U3EP+BP=【例題5】如圖示我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時給出的趙爽弦圖”圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan / ADE的值為c【例題5】如圖以 ABC的邊BC上一點0為圓心的圓經(jīng)過A,C兩點且與BC邊 交于點E,點D為CE的下半圓的中點，連接AD，交線段 E0與點F，AC=CF=4 DF=7i0(1) 求證：AC是O O的切線：(2) 求O 0的半徑r.和sinC【例題6】如圖：正方形 ABCD中，過點D作DP交AC于點M 交AB于點N,交CB的延長線于點P,若MN=1 PN=3貝

17、U DM的長為.丄BC于E,CD=2AD求AE的長【例題7】如圖D是 ABC的邊AC上一點，BD=8 sin / CBD=3，過點A作AE求坐標(biāo)的方法1、求點到x軸或y軸的距離2、兩個函數(shù)組成方程組 3、設(shè)出橫坐標(biāo) 或縱坐標(biāo)然后代入解析式 4方程【例題1】已知拋物線yx2 -x 1與直線y丄X 1交于A,B，在x軸上2 2 2試找一點P,使/ APB=45，則點P的坐標(biāo)為【例題2】已知拋物線y= mX+4x+2m與x軸交于點A( a ,0),B( P ,0),且.一卄£ =-2拋物線的對稱軸為I，與y軸的交點為C,頂點為D, 點C關(guān)于l的對稱點為E.若點P在拋物線上，點Q在X軸上，當(dāng)以點DE、 P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo).方法：方程【例題3】如圖，二次函數(shù)1y=-x22y軸交于點C,與直線X4y=-x3標(biāo)為C4交于A,B,在拋物線上是否存在點 P,使SA ABC=S ABP,在P的坐3【例題4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜 邊AB在X軸上，直角頂點 C在y軸正半軸上，已知點 A（-1 , 0）.拋物線經(jīng)| 過A, B, C三點，現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板 DEF（其中/EDF=90，/ DEF=60 ），把頂點E放在線段AB上（點E是不與