相似三角形的六大證明技巧竅門(mén)全套匯編

1、第2講相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法相似三角形的判定方法總結(jié):1.2.3.4.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(SSS兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.(SAS)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.(AA)斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似(HL)5.相似三角形的模型方法總結(jié):“反A”型與“反X”型.示意圖結(jié)論A二反A型：如圖，已知 ABC，/ ADE = / 6則 ADEs ACB (AA ) , AE AC=AD AB.若連CD、BE，進(jìn)而能證明 ACDABE(SAS)A*D C反X型：如圖，已知角/ B

2、AO= / CDO，則 AOBDOC(AA ), OAOC=ODOB.若連 AD , BC,進(jìn)而能 證明 AODBOC.“類射影”與射影模型示意圖結(jié)論AAC B類射影：如圖，已知 ABC，/ ABD = / 6則 ABDs ACB (AA ) , aB2=AD AC.CK射影定理如圖，已知/ ACB=90° CH丄AB于H,貝U2 2 2AC AH AB,BC BH BA,HCHA HBAHB模塊二比例式的證明方法“旋轉(zhuǎn)相似”與“一線三等角”示意圖結(jié)論ABUEC旋轉(zhuǎn)相似：AB ad如圖，已知 ABCsA ADE，貝UAC AE / BAC = / DAE ,/ BAD = / CAE

3、, BADsA CAE ( SAS)D/EABC一線三等角：如圖，已知/ A=/ C= / DBE，則 DABBCE (AA )鞏固練習(xí)反A型與反X型已知 ABC 中，/ AEF= / ACB，求證：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO , /EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCBF類射影如圖，已知AB2AC AD，求證：BD ABBC ACB射影定理AH AB ,2BC BH BA,已知 ABC, / ACB=90° , CH 丄 AB 于 H,求證：AC22HC HA HB通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，比例線段的證明

4、，離不開(kāi)“平行線模型” （A型，X型，線束型）， 也離不開(kāi)上述的6種“相似模型”.但是，王老師認(rèn)為，“模型”只是工具，怎樣選擇工具， 怎樣使用工具，怎樣用好工具，取決于我們?nèi)绾嗡伎紗?wèn)題.合理的思維方法，能讓模型成為 解題的利刃，讓復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單。在本模塊中，我們將學(xué)比例式的證明中，會(huì)經(jīng)常用到的思維技巧.技巧一： 技巧二： 技巧三： 技巧四： 技巧五： 技巧六：三點(diǎn)定型法 等線段代換 等比代換 等積代換 證等量先證等比 幾何計(jì)算技巧一：三點(diǎn)定型【例1】如圖,平行四邊形 ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),DE交BC于F ,求證:【例2】DCAECF -AD ABC中， BAC 90 , M為B

5、C的中點(diǎn),AM2 MD ME如圖，D，交AB于E .求證:【例3】ABC的平分線BE交AC于E，如圖，在Rt ABC中，bf 交AD于F .求證：BEAD是斜邊BC上的高,ABBC .AD技巧二：等線段代換悄悄地替換比例式中的某條線段【例4】如圖，在 ABC AD平分/ BAC AD的垂直平分線交 AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于2F,求證：FDFB FCF【例5】如圖,四邊形ECAABCD是平行四邊形，點(diǎn) E在邊BA的延長(zhǎng)線上,求證：AC BE CE AD -CE交AD于F ,【例6】如圖,AB2 ACB為等腰直角三角形，AB=AC,/ BAC=90,/ DAE=45，求證:BE CDC【例7】

6、ABC中，AB AC , AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò) C作CF /2如圖，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F .求證：BP2 PE PF -AB ,F技巧三：等比代換【例8】如圖，平行四邊形 ABCD中，過(guò)B作直線AC、AD于0, E、交CD的延長(zhǎng)線 于 F，求證：OB2 OE OF .【例9】如圖,過(guò)D、C在 ABC中，已知 A 90時(shí)，AD BC于D，E為直角邊 AC的中點(diǎn),E作直線交AB的延長(zhǎng)線于F .求證：AB AF AC DF .【例10】在 ABC中（AB > AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E，使如圖，AD AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P .求證：BP C

7、E CP BD技巧四：等積代換【例11】如圖， ABC中，BD、CE是高，EH 線于M .求證：he2HG MH .BC于H、交BD于G、交CA的延長(zhǎng)【例12】如圖，在 ABC中,求證：/ AEF = /C【例13】如圖，在 ABC中,AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF AC 于 F，連 EF ,BAC 90 , D為AC中點(diǎn)，AE BD , E為垂足，求證:CBD ECD .【例14】在 RtABC 中，AD丄 BC, P 為 AD 中點(diǎn)，MN丄 BC,求證 MN 2 AN NC技巧五：證等量先證等比【例15】已知，平行四邊形 ABCD中，E、F分別在直線分別交AC于M、N

8、.,求證：AM = CN.AD、CD 上，EF/AC, BE、BF【例16】已知如圖 AB=AC，BD/AC，AB/CE， 證：AM = NC，MN/DE.過(guò)A點(diǎn)的直線分別交 BD、CE于D、E.求【例17】如圖， ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，PF丄BC, PE丄AC,AF 交 PE 于 N, BE 交 PF 于 M.,求證：PM=PN ， MN/AB.【例181如圖，正方形 BFDE內(nèi)接于 ABC , CE與DF交于點(diǎn)N, AF交ED于點(diǎn)M, CE 與 AF 交于點(diǎn) P.求證：（1） MN/AC; （ 2） EM = DN.【例191 （探）設(shè)E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn),P在BF上,DP/CF ,Q在CE上，DQ/BE, PQ交BE于R,交CF于S,求證:RS1pQC【例20】(探)如圖，梯形 ABCD的底邊AB上任取一點(diǎn) M，過(guò)M作MK/BD , MN/AC,分別交AD、BC于K、N,連KN ,分別交對(duì)角線 AC、BD于P、Q,求證：KP=QN.技巧六：幾何計(jì)算【例21】(2016年四月調(diào)考)如圖，在 ABC中，AC> AB, AD是角平分線，AE是中線，BF丄AD于G,交AC于點(diǎn)M , EG的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)H. (1)求證：A