節(jié)梯形的性質(zhì)定理梯形兩腰中點連線定理梯形的兩腰中點

1、6.3節(jié)梯形的性質(zhì)定理6.3-1梯形兩腰中點連線定理梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半。E已知：如圖6.3-1，梯形ABCD中，麗/及； M 為的中點，N為而的中點。 求證：顧/石/灰？1 一 (2) M/V=- ( AD + RC )想法：利用三角形兩邊中點連線定理：三角形的兩中點連線必平行第三邊且等於 第三邊的一半。證明:敘述理由(1)作ATV,並延長ATV交RC的延長線兩點可作一直線於E點。不平行的兩線必相交於一點(2)在 AND 與 ENC 中如圖所示/ AND = / ENC對頂角相等DN = CN已知N為CD的中點/ADN =/ ECN已知AD/RC &內(nèi)錯角相

2、等(3) AND = ENC由(2) &根據(jù)三角形A.S.A.全等定理(4)=且 AN=EN由(3) &全等三角形對應邊相等(5) ABE中，N為AE的中點，由AN&已知M為AB中點M為AB中點1由(5) &三角形兩邊中點連線必平行(6)且站=-RE第三邊且等於第三邊的一半(7)所以 MM/ad/驅(qū)：由 MN /M &已知AD /C遞移律(8)百疋+衽=亦+佔全量等於分量之和& aZ>=£C 1 (9)所以MN= ( AD+祝)2 1 由(6) MN = -BE& (8) BE = RC +ADQ. E. D.例題6.3-

3、1:如下圖，梯形ABCD中,AD II祝衛(wèi)為梯形中線, 西=?AP = 8, RC= 12,則想法：(1)梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半解：敘述理由(1) 陀=(AD +范)乞=(8+ 12) -2.= 10已知梯形ABCD中,D II RC,Q為梯形中線 &梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半例題6.3-6:若一梯形的中線長為10公分，且下底是上底的3倍，求下底與上底的差。想法：(1)梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半解：敘述理由(1)假設上底為x公分、下底為3x公分已知下底是上底的3倍&假設(2) 10= ( X+ 3x ) 2由(1) &梯形的中線等於兩底和的一

4、半&已知梯形的中線長為10(3) X = 5由(2)解一元一次方程式(4)下底與上底的差=下底上底由(1)上底為x公分、下底為3x公分=3x x= 2x= 10& (3) x = 5(6)所以下底與上底的差=10公分由若= 5,祝=9,求而。想法：(1) 解：梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半如下圖，梯形 ABCD中，E、F分別為ABD中點，G、H分別為EE、CF 中點，敘述理由(1)梯形ABCD中，EF為梯形中線已知E、F分別為A*、C：D中點 EF = (AD +軀)-2由(1) &梯形的兩腰中點連線等於兩底和=(5 + 9) -2= 7的一半&

5、已知= 5,= 9 EF / RC由(1) &梯形的兩腰中點連線必平行兩底四邊形EFCB為梯形由(3) EF / RG & 一組對邊平行為梯形(5)梯形EFCB中，GH為梯形中線已知G、H分別為EE、CF中點(6)期=(EF + RC)-由(5) &梯形的兩腰中點連線等於兩底和=(7 + 9)8的一半&已知9 & (2) EF = 7已證如下圖，梯形 ABCD中，巫/無，罰 =10,無=18,且E、F、G將： 四等分，H、I、J將而四等分，求麗+77+石7。想法：(1)梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 解：敘述理由(1) F為中點、E為AF

6、中點、已知E、F、G將四等分G為中點(2) I為CD中點、H為a中點、已知H、1、J將CD四等分J為疋中點梯形ABCD中，刃為梯形中線由(1) F為M中點& (2) I為C"中點 F/ = (AD +RC) -2由(3) &梯形的兩腰中點連線等於兩底和=(10 + 18) -= 14的一半 & 已知AD = 10, RC= 18(5) C /航:/ An由(3) &梯形的兩腰中點連線必平行兩底(6)四邊形ADIF為梯形由(5) F& 組對邊平行為梯形(7)梯形ADIF中，EH為梯形中線由(1) E為占"中點&H為£&

7、quot;中點(8) EH =(AD + F/)-由(7) &梯形的兩腰中點連線等於兩底和=(10 + 14)-= 12的一半&已知AD = 10 &Fi = 14已證(9)四邊形FICB為梯形由(5)止1 RC & 一組對邊平行為梯形(10)梯形FICB中，為梯形中線由(1) G為中點&J為FC中點(11) GJ = W + 眈)-由(10) &梯形的兩腰中點連線等於兩底=(14+ 18) -2= 16和的一半&已知眈=18 &f V = 14(12)所以 EH + F+ G/由(8) & (4) & (11)=

8、12+14+ 16= 42加法如下圖，梯形ABFE中，莊/麗，而為其中線，且四邊形 ABCD為平行 四邊形，已知4,麗=8,求EB。想法：(1)梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半平行四邊形對邊等長解:敘述理由(1)= (A£ + BF) -2=(4 + 8)-=6已知梯形ABFE中，GH為梯形中線 & 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半&已知AE= 4，BF= 8(2)期 / AE / BF已知為梯形中線 &梯形的兩腰中點 連線必平行兩底 AB /CD & AD / RC已知ABCD為平行四邊形&兩組對邊平行四邊形ADHG為平行四邊

9、形由GH / AE & (3) A呂II CD兩組對邊平行為平行四邊形(5) AD = GH = 6由(4)平行四邊形對邊等長& (1) GH = 6(6) AD = ED + AE全量等於分量之和(7) ED = AD A£ = 6 4 = 2由(6)移項 & (5)qD = 6 & 已知= 4已知:求證:想法：(1)梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半麗、麗分別為梯形ABCD與梯形BPQC的中線，若ADQ, EGHF是平行四邊形。一組對邊平行且相等為平行四邊形證明:敘述理由(1) EF = (AD + 肚)吃且 EF / RC已知梯形AB

10、CD中,EF為梯形中線& 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於 兩底和的一半 GH = (PQ + BC)2 且 GH / RC已知梯形BPQC中,GH為梯形中線 & 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於 兩底和的一半(3)四邊形EGHF中如圖所示EF = (AD + RC)吃由(1) EF = (AD + HC) -2 &=(FQ + RCM=GH已知& (2) GH =(嚴 +HU )吃(4) EF / RC / GH由EF / RC & GH / RC遞移律所以EGHF是平行四邊形由 E F = GH & E F GH &一組對邊平行且

11、相等為平行四邊形定理6.3-2等腰梯形底角定理等腰梯形的兩底角相等。I如圖6.3-2,/ GHI =/JIH利用等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)敘述理由(1)過黑占J作過一點可作一線平行另一線(2)四邊形GHNJ為一平行四邊形已知& (1) JN / GH兩組對邊平行為平行四邊行(3) G H =由(2) &平行四邊形對應邊相等(4) JNI為等腰三角形由(3) &兩腰等長為等腰三角形(5) / JNI = / JIN (即/JNI = / JIH )由(4) &等腰三角形兩底角相等(6) / GHI =/JNI由(1) &平行線的同位角相等(7)所以/ GH

12、I =/ JIH由(5) & (6)遞移律Q. E. D.已知 求證 想法 證明例題6.3-7:（等腰梯形對角互補）已知：四邊形ABCD為等腰梯形，AD/RC。求證： / B +/ D = 180°（2） / A + / C = 180°想法：（1）等腰梯形兩底角相等證明：平行線間同側內(nèi)角互補敘述理由(1) / B = / C已知四邊形ABCD為等腰梯形&兩底角相等(2) / A + /B = 180°已知AD/RC &同側內(nèi)角互補(3) / A + / C= 180°將(1) / B = / C 代入(2) / A +/ B=

13、180°(4) / C+/ D = 180°已知AD / RC &同側內(nèi)角互補(5) / B + / D = 180°將(1) / B = / C 代入(4) / C+/ D = 180°例題638:已知四邊形(1) / C=?ABCD為等腰梯形，麗/無，若/ B = 60°貝1:(2) / D =?想法：(1)等腰梯形兩底角相等(2)等腰梯形對角互補 解：敘述理由(1) / C=/ B = 60°已知四邊形ABCD為等腰梯形&等腰梯形兩底角相等& 已知/ B = 60°(2) / D + / B =

14、 180°已知四邊形ABCD為等腰梯形&等腰梯形對角互補(3) / D = 180°/ B=180° 60°=120°由移項&已知/ B = 60°例題6.3-9:(等腰梯形兩對角線相等)已知:求證:四邊形ABCD為等腰梯形,而=疋AD II RC。想法：(1)等腰梯形兩腰等長且兩底角相等證明：三角形全等定理敘述理由(1)連接A點與C點、 連接B點與D點, 如右圖所示在 ABC與 DCB中ab=T/ ABC = / DCB/?C=Cfl如上圖所示已知四邊形ABCD為等腰梯形 &兩腰等長 已知四邊形ABCD為等腰

15、梯形 &兩底角相等 共同邊 ABC = DCB由(2) &根據(jù)S.A.S.三角形全等定理由(3) &全等三角形對應邊相等例題 6.3-10:已知四邊形ABCD為等腰梯形，罰/祝而與疋為兩對角線，若 疋=10,則而=?想法：（1）等腰梯形兩對角線相等解：理由敘述(1)歩DC = 10已知四邊形ABCD為等腰梯形，而與猶為兩對角線 &等腰梯形兩對角線相等 &已知猶=10例題 6.3-11:(2) HO = CO想法：(1)三角形全等定理已知：等腰梯形ABCD中，罰/頂=對角線疋、而交於0點, 求證：敘述理由(1)在 ABC 與 DCB 中如圖所示AB=nC已

16、知四邊形ABCD為等腰梯形 &兩腰等長/ ABC = / DCB已知四邊形ABCD為等腰梯形 &兩底角相等RC=Cfi共同邊(2) ABC = DCB由(1) &根據(jù)S.A.S.三角形全等定理(3) / BAC = / CDB由(2) &全等三角形對應角相等(4)在 AOB 與 DOC 中如圖所示/ BAC = / CDB由(3)已證/ AOB = / DOC對頂角相等AB = DC已知四邊形ABCD為等腰梯形 &兩腰等長(5) AOB = DOC由(4) &根據(jù)A.A.S.三角形全等定理(6)人& fiO = CO由(5) &全

17、等三角形對應邊相等等腰梯形兩腰等長且兩底角相等證明：例題 6.3-12:等腰梯形ABCD中，彼/灰?，/ C= 74° / ABD = 21 °若阮 =9,求:(1) / CBD(2) / CDB(3)想法：(1)等腰梯形兩底角及兩腰相等(2)兩底角相等的三角形為等腰三角形解：敘述理由(1) / ABC = / C = 74°已知ABCD為等腰梯形&兩底角相等(2) / ABC = / CBD + / ABD全量等於分量之和(3) / CBD = /ABC-/ABD由(2)移項 & / ABC = 74° &=74° 2

18、1° = 53°已知/ ABD = 21°(4) / ADB =/ CBD = 53°已知AD / RC &內(nèi)錯角相等&(3) / CBD = 53°(5) BCD 中如圖所示/ CDB +/ CBD + / C= 180°三角形內(nèi)角和180°(6) / CDB = 180°/ CBD / C由(5)移項 & (3) / CBD = 53° &=180° 53° 74°已知/ C= 74°=53°(7) / CDB = / CBD = 53°由(3) & (6)遞移律(8) BCD為等腰三角形由(7) &兩底角相等為等腰三角形定理(9) C D=RC= 9由(8) &等腰三角形兩腰等長&已知RC = 9(10)AH = CD = 9已知ABCD為等腰梯形&兩腰等長& (9) CD= 9習題6.3習題6.3-1:如下圖，梯形ABCD 中,AD= 19,11,求中線EF 的長。習題6.3-2:已知一梯形的下底比上底長18公分，且中線