正弦定理課件.ppt

1、第一章第一章: :解三角形解三角形 1.問題的引入問題的引入: .(1)在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月明月 高懸高懸,我們仰望夜空我們仰望夜空,會(huì)有無限遐想會(huì)有無限遐想,不禁會(huì)問不禁會(huì)問, 月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣科學(xué)家們是怎樣 測(cè)出來的呢？測(cè)出來的呢？(2)設(shè)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸兩點(diǎn)在河的兩岸, 只給你米尺和量角只給你米尺和量角設(shè)備設(shè)備,不過河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎不過河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎?AB我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具的有力工具.回憶一下直角

2、三角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ABCcbasinacA 兩等式間有聯(lián)系嗎？?jī)傻仁介g有聯(lián)系嗎？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:對(duì)一般的三角形對(duì)一般的三角形,這個(gè)結(jié)論還能成立嗎這個(gè)結(jié)論還能成立嗎?2.定理的推導(dǎo)定理的推導(dǎo)1.1.1 正弦定理正弦定理sinbcB (1)當(dāng)當(dāng) 是銳角三角形時(shí)是銳角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢結(jié)論是否還成立呢?ABC D如圖如圖:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定義三角形的定義,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理, 作, 作有有 sinsinsinabcABC 1.1.1 正弦定理正

3、弦定理sin ,sinCD aBCD bA sinsinaB bA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)當(dāng)當(dāng) 是鈍角三角形時(shí)是鈍角三角形時(shí),以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D（1 1）文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹稣叶ɡ恚赫叶ɡ恚涸谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .（2）結(jié)構(gòu)特點(diǎn)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（3 3）方程的觀點(diǎn)）方程的觀點(diǎn)正弦定理實(shí)際上是已知其中三個(gè)正弦定理實(shí)際上是已知其中三個(gè), ,求另一個(gè)求另一個(gè). .能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦定理呢能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦定

4、理呢?和諧美、對(duì)稱美和諧美、對(duì)稱美. .正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 在銳角三角形中在銳角三角形中. 的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法則由向量加法的三角形法則ABCBAC ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的數(shù)數(shù)量量積積兩兩邊邊同同取取與與,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定義義）（根根據(jù)據(jù)向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在銳銳角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于點(diǎn)點(diǎn)作作過過同同理理 ,sins

5、in,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作單單位位向向量量證證明明：過過點(diǎn)點(diǎn)ACjA在鈍角三角形中在鈍角三角形中ABCj的的夾夾角角為為與與的的夾夾角角為為與與則則垂垂直直的的單單位位向向量量作作與與過過點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)CBjABjjACAA,900 90 AC 90剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角正弦定理：剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解決三角形中的問題：、正弦定理可以解決三角形中的問題： 已知已知兩角和一邊兩角和一邊，求其他角和，求其他角

6、和邊邊 已知已知兩邊和其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三個(gè)角、一般地，把三角形的三個(gè)角A A，B B，C C和它們的對(duì)邊和它們的對(duì)邊a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫的過程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的變形形式、正弦定理的變形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用來判斷三角形的，可

7、以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化系的轉(zhuǎn)化sinsinsinabcABC正弦定理：例例1 在在 已已知知 , 解三角形解三角形. ABC 0030 ,135 ,2ABa通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎?小結(jié)小結(jié)：知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊，利：知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1.1 正弦定理正弦定理3.定理的應(yīng)用舉例定理的應(yīng)用舉例變式：變式：若將若將a=2 改為改為c=2，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？例 2 已知a=16，

8、 b= ， A=30 .解三角形已知兩邊和其中一邊已知兩邊和其中一邊的對(duì)角的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120當(dāng) 時(shí)60C=90.32cC=30.16sinsinACac316當(dāng)120時(shí)B16300ABC1631683變式: a=30, b=26, A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如圖）C=124.30,57.49s

9、insinACac30137 .25sin小結(jié)小結(jié):已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。三角形的其他的邊和角。4.基礎(chǔ)練習(xí)題基礎(chǔ)練習(xí)題1.1.1 正弦定理正弦定理00(1)45 ,2,2,10 3(2)60 ,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300無解無解5.探究課題引入時(shí)問題探究課題引入時(shí)問題(2)的解決方法的解決方法ABCbc1.1.1 正弦定理正弦定理bsinbsin AB =AB =sin(sin( + + ) ) 正弦定理正弦定理 主要應(yīng)用主要應(yīng)用 s i ns i ns i nabcABC (1)

10、 已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊和另一角；和另一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。角形的其他的邊和角。(此時(shí)可能有一解、二解、此時(shí)可能有一解、二解、無解）無解） 1.1.1 正弦定理正弦定理小結(jié)小結(jié):課后探究課后探究:sinsinsinabckABC那么這個(gè)那么這個(gè)k值是什么呢值是什么呢?你能用一個(gè)和三角形有你能用一個(gè)和三角形有關(guān)的量來表示嗎關(guān)的量來表示嗎?作業(yè)：作業(yè)：P10 2 （1）你還可以用其它方法證明）你還可以用其它方法證明正弦定理嗎？正弦定理嗎？（2）在例在例 2 2 中，將已知條件改為以下幾種情況，不計(jì)算判中，將已知條件改為以下幾種情況，不計(jì)算判斷有幾組解？斷有幾組解？ 60ABCb（3 3） b b2020，A A6060，a a15.15.（1 1） b b2020，A A6060，a a ; ;320（2 2） b b2020，A A6060，a a ; ; 310（3 3） b b2020，A A6060，a a15.15.6020AC（1 1） b b2020