常微分方程-課件

常微分方程1ppt課件

常微分方程課程簡(jiǎn)介

常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺2ppt課件傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究.

因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。

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教材及參考資料教材：常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社。參考書(shū)目：

1.常微分方程，(第二版），王高雄等編（中山大學(xué)),高教出版社。

2.常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。

3.常微分方程教程，丁同仁（北京大學(xué)),，高教出版社。

4.常微分方程及其應(yīng)用，周義倉(cāng)等編，科學(xué)出版社。

5.常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上?？萍汲霭嫔?。

6.常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。4ppt課件

第一章初等積方法

第五章定性與穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介

第三章一階線性微分方程組

第二章基本定理

第四章n階線性微分方程第六章一階偏微分方程初步

目錄5ppt課件300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問(wèn)題密切相關(guān).這是因?yàn)?，微積分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺?lái)自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.第一章初等積分法1.1微分方程和解第一講6ppt課件

一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.7ppt課件

一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會(huì)使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.8ppt課件

例1

物體下落問(wèn)題

設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時(shí)間t=0時(shí),在距地面高度為H處以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求此物體下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系.

解:

如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)x=x(t)為t時(shí)刻物體的位置坐標(biāo).于是物體下落的速度為9ppt課件

加速度為質(zhì)量為m的物體，在下落的任一時(shí)刻所受到的外力有重力mg和空氣阻力，當(dāng)速度不太大時(shí)，空氣阻力可取為與速度成正比.于是根據(jù)牛頓第二定律F=ma(力=質(zhì)量×加速度)可以列出方程(1.1)10ppt課件其中k

＞0為阻尼系數(shù)，g是重力加速度.

(1.1)式就是一個(gè)微分方程，這里t是自變量，x是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對(duì)t導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在，我們還不會(huì)求解方程(1.1)，但是，如果考慮k=0的情形，即自由落體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)方程(1.1)可化為(1.1)(1.2)將上式對(duì)t積分兩次得(1.3)11ppt課件

一般說(shuō)來(lái)，微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式.如果其中的未知函數(shù)只是一個(gè)自變量的函數(shù)，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程.本書(shū)所介紹的都是常微分方程，有時(shí)就簡(jiǎn)稱微分方程或方程.12ppt課件(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)例如下面的方程都是常微分方程

13ppt課件(1.8)稱為一階隱式方程,(1.9)稱為一階顯式方程，(1.10)稱為微分形式的一階方程.

在一個(gè)常微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階.這樣，一階常微分方程的一般形式可表為(1.8)如果在(1.8)中能將

解出，則得到方程(1.9)(1.10)或14ppt課件n

階隱式方程的一般形式為（1.11）n

階顯式方程的一般形式為（1.12）

在方程(1.11)中，如果左端函數(shù)F對(duì)未知函數(shù)y和它的各階導(dǎo)數(shù)y′,y″,…,y(n)的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個(gè)以y為未知函數(shù)，以x為自變量的n階線性微分方程具有如下形式：（1.13）15ppt課件

顯然，方程(1.4)是一階線性方程；方程(1.5)是一階非線性方程；方程(1.6)是二階線性方程；方程(1.7)是二階非線性方程.(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)16ppt課件通解與特解微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下.

定義1.1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，且有直到n階的導(dǎo)數(shù).如果把代入方程(1.11)，得到在區(qū)間I上關(guān)于x的恒等式，則稱為方程(1.11)在區(qū)間I上的一個(gè)解.（1.11）這樣，從定義1.1可以直接驗(yàn)證：

1.函數(shù)y=x2+C是方程(1.4)在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常數(shù).(1.4)2.函數(shù)y=sin(arcsinx+C)是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個(gè)明顯的常數(shù)解y=±1,這兩個(gè)解不包含在上述解中.(1.5)17ppt課件

3.函數(shù)x=C1cost+C2sint是方程(1.6)在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中C1,C2是獨(dú)立的任意常數(shù).(1.6)

4.函數(shù)y2=C1x+C2是方程(1.7)在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中C1,C2和是獨(dú)立的任意常數(shù).(1.7)

這里，我們僅驗(yàn)證3，其余留給讀者完成.事實(shí)上，在(-∞，+∞)上有所以在（－∞，＋∞）上有從而該函數(shù)是方程(1.6)的解.Q.E.D.18ppt課件

從上面的討論中，可以看到一個(gè)重要事實(shí)，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等，也可以不含任意常數(shù).我們把n階常微分方程(1.11)的含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)C1，C2，…，Cn的解，稱為該方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常數(shù)，則稱它為特解.由隱式表出的通解稱為通積分，而由隱式表出的特解稱為特積分.（1.11）19ppt課件

由上面的定義，不難看出，函數(shù)y=x2+C、y=sin(arcsinx+C)和x=C1cost+C2sint分別是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函數(shù)y2=C1x+C2是方程(1.7)的通積分，而函數(shù)y=±1是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可對(duì)通解中的任意常數(shù)以定值確定，這種確定過(guò)程，需要下面介紹的初始值條件，或簡(jiǎn)稱初值條件.(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)20ppt課件

例1中的函數(shù)(1.3)顯然是方程(1.2)的通解，由于C1

和C2是兩個(gè)任意常數(shù)，這表明方程(1.2)有無(wú)數(shù)個(gè)解，解的圖像見(jiàn)下面的圖a和圖b所示.初值問(wèn)題(1.2)(1.3)21ppt課件

而實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)僅能有一條運(yùn)動(dòng)軌跡.產(chǎn)生這種多解性的原因是因?yàn)榉匠?1.2)所表達(dá)的是任何一個(gè)自由落體，在任意瞬時(shí)t所滿足的關(guān)系式，并未考慮運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài).推得

因此，通過(guò)積分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一個(gè)自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.顯然，在同一初始時(shí)刻，從不同的高度或以不同初速度自由下落的物體，應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了求解滿足初值條件的解，我們可以把例1中給出的兩個(gè)初始值條件，即于是，得到滿足上述初值條件的特解為初始位置x(0)=H

，初始速度代入到通解中，(1.14)22ppt課件它描述了初始高度為H，初始速度為v0的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

求微分方程滿足初值條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.于是我們稱(1.14)是初值問(wèn)題的解。23ppt課件其中x0是自變量的某個(gè)取定值，而是相應(yīng)的未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的給定值.方程(1.12)的初值問(wèn)題常記為對(duì)于一個(gè)n階方程，初值條件的一般提法是(1.15)(1.16)初值問(wèn)題也常稱為柯西（Cauchy）問(wèn)題.24ppt課件

對(duì)于一階方程，若已求出通，只要把初值條件代入通解中，得到方程從中解出C，設(shè)為C0，代入通解，即得滿足初值條件的解

對(duì)于n階方程，若已求出通解后，代入初值條件(1.15)，得到n個(gè)方程式(1.17)25ppt課件

如果能從(1.17)式中確定出，代回通解，即得所求初值問(wèn)題的解例2

求方程的滿足初值條件的解.解:

方程通解為,求導(dǎo)數(shù)后得將初值條件代入，得到方程組(教材上印刷錯(cuò)誤)特解26ppt課件積分曲線

為了便于研究方程解的性質(zhì)，我們常?？紤]解的圖象.一階方程(1.9)的一個(gè)特解的圖象是xoy平面上的一條曲線，稱為方程(1.9)的積分曲線，而通解的圖象是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族.

例如，方程(1.4)的通解y=x2+C是xoy平面上的一族拋物曲線.而y=x2是過(guò)點(diǎn)(0，0)的一條積分曲線.以后，為了敘述簡(jiǎn)便，我們對(duì)解和積分曲線這兩個(gè)名詞一般不加以區(qū)別.對(duì)于二階和二階以上的方程，也有積分曲線和積分曲線族的概念，只不過(guò)此時(shí)積分曲線所在的空間維數(shù)不同，我們將在第3章詳細(xì)討論.(1.4)(1.9)27ppt課件初等積分法

通過(guò)積分求解常微分方程的一種方法，其特點(diǎn)是方程的解可用初等函數(shù)以及初等函數(shù)的積分形式表示。28ppt課件1.代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.

2.微分方程的解的分類：

(1)通解:

微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.總結(jié)(2)特解:

確定了通解中任意常數(shù)以后的解.29ppt課件解的圖象:

微分方程的積分曲線.通解的圖象:

積分曲線族.初始條件:

用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題:

求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.一階:過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.30ppt課件例3.

一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①

得切線斜率為2x,求該曲線的方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束31ppt課件本節(jié)結(jié)束！32ppt課件1.2

變量分離方程先看例子：第二講33ppt課件定義1形如的方程,稱為變量分離方程.或34ppt課件解法這樣變量就“分離”開(kāi)了.35ppt課件例1

求解微分方程解當(dāng)y≠0時(shí)，分離變量?jī)啥朔e分讓c可取負(fù)值，則36ppt課件Q.E.F.例2求微分方程的所有解.解:積分得:37ppt課件故方程的所有解為:Q.E.F.38ppt課件例3解:兩邊積分得:因而通解為:再求初值問(wèn)題的通解,所以所求的特解為:Q.E.F.39ppt課件1.2.1顯式變量可分離方程的解法1.在方程(1.18)中，假設(shè)g(y)是常數(shù)，不妨設(shè)g(y)=1.此時(shí)方程(1.18)變?yōu)?/p>

設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，那么，求方程(1.20)的解就成為求f(x)的原函數(shù)(不定積分)的問(wèn)題.于是由積分上限所確定的函數(shù)或變量可分離方程的解法之理論40ppt課件就是方程(1.20)的通解，其中C是一個(gè)任意常數(shù)，x0∈(a,b)是一個(gè)固定數(shù)，x∈(a,b)是自變量.2.假設(shè)g(y)不是常數(shù)，仍設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，而g(y)在區(qū)間上連續(xù).

若y=y(x)是方程(1.18)的任意一個(gè)解，且滿足y(x0)=y0，則由解的定義，有恒等式假設(shè)g(y)≠0，于是可用分離變量法把方程寫成41ppt課件將上式兩端積分，得到恒等式上面的恒等式表明，當(dāng)g(y)≠0時(shí)，方程(1.18)的任意一個(gè)解y=y(x)必定滿足下面的隱函數(shù)方程

反之，若y=y(x)是隱函數(shù)方程(1.25)的解，則有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，就推出(1.23)成立，從而(1.22)成立，這就表明了隱函數(shù)方程(1.25)的解。在具體求解方程時(shí)，往往把(1.24)寫成不定積分形式.42ppt課件

由上面的證明可知，當(dāng)g(y)≠0時(shí)，微分方程(1.18)與隱函數(shù)方程(1.26)是同解方程，即若由(1.26)解出，則它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隱式表達(dá)式，所以(1.26)亦稱為方程(1.18)的通積分。

在求解過(guò)程中，對(duì)于通積分(1.26)應(yīng)該盡量把它演算到底，即用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，但是，并不勉強(qiáng)從其中求出解的顯式表達(dá)式.如果積分不能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，此時(shí)我們也認(rèn)為微分方程(1.18)已經(jīng)解出來(lái)了，因?yàn)閺奈⒎址匠糖蠼獾囊饬x上講，留下的是一個(gè)積分問(wèn)題，而不是一個(gè)方程問(wèn)題了。.43ppt課件3.若存在y0，使g(y0)=0，則易見(jiàn),，是方程(1.18)的一個(gè)解，這樣的解稱為常數(shù)解.y(x)=y01.2.2微分形式變量可分離方程的解法方程是變量可分離方程的微分形式表達(dá)式.這時(shí)，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x與y都可以被認(rèn)為是自變量或函數(shù).。

在求常數(shù)解時(shí)，若N1(y0)=0，則y=y0為方程(1.19)的解.同樣，若M2(x0)=0，則x=x0也是方程(1.19)的解.44ppt課件當(dāng)時(shí)，用它除方程(1.19)兩端，分離變量，得上式兩端同時(shí)積分，得到方程(1.19)的通積分45ppt課件例4.

解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為Q.E.F.46ppt課件本節(jié)結(jié)束！47ppt課件1.3

齊次方程第三講48ppt課件可化為變量分離方程類型（I）齊次方程（II）形如49ppt課件(1.9)1.3.1齊次型方程的解法

如果一階顯式方程(1.9)的右端函數(shù)f(x,y)可以改寫為的函數(shù)，那么稱方程(1.9)為一階齊次微分方程。下列方程哪些是齊次方程？

(1)是齊次方程

一階齊次微分方程可以寫為(1.27)50ppt課件

(2)不是齊次方程

(3)是齊次方程

(4)不是齊次方程

51ppt課件

方程(1.27)的特點(diǎn)是它的右端是一個(gè)以為變?cè)暮瘮?shù)，經(jīng)過(guò)如下的變量變換，它能化為變量可分離方程.(1.27)作變量代換代入(1.27)式，得可分離變量的方程(1.28)52ppt課件方程(1.28)是一個(gè)變量可分離方程，當(dāng)g(u)－u≠0

時(shí),分離變量并積分，得到它的通積分(1.28)(1.29)或即其中53ppt課件以代入，得到原方程(1.27)的通積分(1.27)下面看幾個(gè)例子。54ppt課件例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))此處Q.E.F.55ppt課件例2.解微分方程解:則有當(dāng)u2-u≠0時(shí)，分離變量積分得代回原變量得通解即(C

為任意常數(shù))56ppt課件當(dāng)u2-u=0，即以代入，得到原方程的解Q.E.F.57ppt課件例3

求解微分方程解58ppt課件微分方程的解為Q.E.F.59ppt課件(1.9)下面我們說(shuō)明零次齊次函數(shù)具有此性質(zhì).

現(xiàn)在我們的問(wèn)題是：在一般情況下，如何判斷方程(1.9)是齊次方程呢?這相當(dāng)于考慮，什么樣的二元函數(shù)f(x,y)能化成形狀為的函數(shù).

所謂

f(x,y)對(duì)于變?cè)獂和y是零次齊次式，是指對(duì)于任意τ≠0的常數(shù)，有恒等式因此，令，則有60ppt課件因此，所謂齊次方程，實(shí)際上就是方程(1.9)的右端函數(shù)f(x,y)是一個(gè)關(guān)于變?cè)獂，y的零次齊次式.例是齊次方程Q.E.F.61ppt課件1.3.2第二類可化為變量可分離的方程形如(1.30)的方程是第二類可化為變量可分離的方程，其中

顯然，方程(1.30)的右端函數(shù)，對(duì)于x，y并不是零次齊次函數(shù)，然而函數(shù)(1.31)則為零次齊次函數(shù).事實(shí)上，我們有62ppt課件解令則代入化簡(jiǎn)并分離變量?jī)蛇叿e分換回原變量或例4.解方程Q.E.F.63ppt課件

下面我們將通過(guò)變量變換把(1.30)中的C1及C2消去，將方程(1.30)的右端函數(shù)化成(1.31)的形式，從而把方程(1.30)化成齊次方程.分兩種情況討論

在這個(gè)情形，

①行列式的所有元素等于零，這時(shí)方程(1.30)成為(1.32)64ppt課件兩邊積分得到方程的解②a2=b2=0，

c2≠0，這時(shí)方程(1.30)成為代入上式，得令則于是這是一個(gè)可分離變量的方程。65ppt課件③a2,b2中恰有一個(gè)為零，若a2≠0,b2

=0,由(1.32)知，這時(shí)必有b1=0，這時(shí)方程(1.30)成為(1.32)(1.30)若a2=0,b2

≠

0,由(1.32)知，這時(shí)必有a1=0，這時(shí)方程(1.30)成為這是一個(gè)可分離變量的方程。④a2,b2都不為零，由(1.32)知，有66ppt課件(1.30)即代入(1.30)，得代入上式，得令則于是這也是一個(gè)可分離變量的方程。67ppt課件(α,β為待定常數(shù)),

作變換原方程化為令,解出α,β(齊次方程)

下面我們將通過(guò)變量變換把(1.30)中的C1及C2消去，將方程(1.30)的右端函數(shù)化成(1.31)的形式，從而把方程(1.30)化成齊次方程.68ppt課件求出其解后,即得原方程(1.30)的解.注：上面的作法其實(shí)就是解析幾何中的坐標(biāo)平移.當(dāng)時(shí)，直線與直線相交于一點(diǎn)，將二式聯(lián)立求得交點(diǎn)(α,β)，再作坐標(biāo)平移，就把原點(diǎn)移到(α,β).又由于在坐標(biāo)平移變換下有成立，這樣(1.30)就變成齊次方程了.69ppt課件例5.

求解解:令得令積分得代回原變量,得原方程的通解:再令

,得70ppt課件得C=1,故所求特解為思考:

若方程改為如何求解?提示:Q.E.F.71ppt課件

注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.此外,諸如72ppt課件以及例6求微分方程的通解.【分析】73ppt課件解:代入方程并整理得即分離變量后得兩邊積分得變量還原得通解為Q.E.F.74ppt課件本節(jié)結(jié)束！75ppt課件1.4一階線性微分方程一階線性微分方程(1.34)(1.35)第四講76ppt課件1.4.1一階線性非齊次方程的通解1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為(1.36)

下面使用常數(shù)變易法再求線性非齊次方程(1.34)的解.其想法是：當(dāng)C為常數(shù)時(shí)，函數(shù)(1.36)的導(dǎo)數(shù)，恰等于該函數(shù)乘上-p(x),從而(1.36)為齊次方程(1.35)的解.現(xiàn)在要求非齊次方程(1.34)的解，則需要該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還要有一項(xiàng)等于Q(x).為此，聯(lián)系到乘積導(dǎo)數(shù)的公式，可將(1.36)中的常數(shù)

C變易為函數(shù)u(x).77ppt課件對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束78ppt課件例1.

解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Q.E.F.79ppt課件例2

求初值問(wèn)題的解.解:80ppt課件所以原方程的通解故所給初值問(wèn)題的通解為Q.E.F.81ppt課件例3

求方程通解.解:但將它改寫為故其通解為Q.E.F.82ppt課件1.4.2伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束83ppt課件例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得Q.E.F.84ppt課件例5.

求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Q.E.F.85ppt課件本節(jié)結(jié)束！86ppt課件1.5全微分方程及積分因子第五講87ppt課件

1.5.1全微分方程如果我們恰好碰見(jiàn)了方程就可以馬上寫出它的隱式解88ppt課件則稱(1.10)是全微分方程或恰當(dāng)方程，而函數(shù)稱為微分式(1.46)的原函數(shù).例如：都是全微分方程.1.全微分方程的定義定義.

如果微分形式的一階方程的左端恰好是一個(gè)二元函數(shù)U(x,y)的全微分，即這是因?yàn)?9ppt課件

定理1.1

假如U(x,y)是微分(1.46)的一個(gè)原函數(shù)，(1.49)其中c

為任意常數(shù)。

證明：先證(1.10)的任一解y=y(x)均滿足方程(1.49).因?yàn)閥=y(x)為(1.10)的解，故有恒等式因?yàn)閁(x,y)為(1.10)的原函數(shù)，所以有，從而于是y=y(x)滿足(1.49).則全微分方程(1.10)的通積分為再證明(1.49)所確定的任意隱函數(shù)y=y(x)均為(1.10)的解。90ppt課件因?yàn)槭怯?1.49)所確定的隱函數(shù),所以存在常數(shù)c,使(1.49)將上式微分并應(yīng)用U(x,y)是(1.46)的原函數(shù)的性質(zhì)，即有從而y(x)是方程(1.10)的解。Q.E.D.

根據(jù)上述定理，為了求解全微分方程(1.10)，只須求出它的一個(gè)原函數(shù)，就可以得到它的通積分。下面我們需考慮的問(wèn)題是：(2)若(1.10)是全微分方程,怎樣求解?(3)若(1.10)不是全微分方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為全微分方程求解?(1)方程(1.10)是否為全微分方程?91ppt課件2.方程為全微分方程的充要條件定理1.2為全微分方程的充要條件是

證明:必要性設(shè)(1.10)是全微分方程，則存在原函數(shù)U(x,y)，使得92ppt課件所以將以上二式分別對(duì)y和x求偏導(dǎo)數(shù)，得到因?yàn)镸，N

連續(xù)可微，所以成立，即(1.50)成立.充分性設(shè)(1.50)在區(qū)域R內(nèi)成立，現(xiàn)在求一個(gè)二元函數(shù)U(x,y)，使它滿足93ppt課件即由第一個(gè)等式，應(yīng)有其中為y的任意可微函數(shù)，為使U(x,y)再滿足第二個(gè)等式必須適當(dāng)選取，使?jié)M足由參變量積分的性質(zhì)和條件(1.50)，上式即為94ppt課件必須適當(dāng)選取，使?jié)M足由參變量積分的性質(zhì)和條件(1.50)，上式即為都在定理.(可微性)95ppt課件因?yàn)橹灰粋€(gè)就夠了，故取c1=0.(1.51)就是所求的原函數(shù)，從而全微分方程(1.10)的通積分是于是，函數(shù)96ppt課件(1.52)Q.E.D.

定理1.2不但給出了判斷方程(1.10)為全微分方程的充要條件,而且給出了當(dāng)判別式(1.50)成立時(shí)，(1.51)式就是(1.10)左端的原函數(shù)，而(1.52)就是(1.10)的通積分.3.求原函數(shù)的方法(1)不定積分法97ppt課件例1.

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它的通解.解:故所給方程是全微分方程.98ppt課件積分后得:故從而方程的通解為Q.E.F.99ppt課件(2)分組湊微法(直接觀察法)

采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把余的項(xiàng)湊成全微分.---應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分如100ppt課件例2.

求方程的通解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即或?qū)懗晒释ń鉃?Q.E.F.101ppt課件例3.

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即102ppt課件或?qū)懗晒释ń鉃?故所求的初值問(wèn)題的解為:Q.E.F.103ppt課件(3)線積分法定理1.2充分性的證明也可用如下方法:由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:104ppt課件從而(1.10)的通解為105ppt課件例4.

求解方程解:故所給方程是恰當(dāng)方程.106ppt課件故通解為:Q.E.F.107ppt課件1.5.2積分因子

對(duì)于全微分方程，我們給出了三種方法求解。但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面這個(gè)簡(jiǎn)單方程

(1.54)就不是全微分方程，因?yàn)槿绻?，將上面這個(gè)方程兩端同乘以，得到方程

(1.55)這是一個(gè)全微分方程，因?yàn)榇藭r(shí)有第六講108ppt課件

通常我們稱為方程(1.54)的積分因子，因?yàn)樗墒狗匠?1.54)變成全微分方程(1.55).一般地，我們有下面的定義.假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)，使方程

(1.56)成為全微分方程,我們就把稱為方程(1.10)的一個(gè)積分因子.例5109ppt課件解:對(duì)方程有由于110ppt課件把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得即也即故所給方程的通解為:Q.E.F.111ppt課件積分因子的確定

易于看到，當(dāng)時(shí)，方程(1.10)與(1.56)是同解的.于是，為了求解(1.10)，只須求解(1.56)就可以了，但是如何求得積分因子呢?下面就來(lái)研究求積分因子的方法.方程(1.56)是全微分方程的充要條件為

(1.57)112ppt課件

令人十分遺憾的是，一般而言,偏微分方程(1.57)是不易求解的。

(1.57)下面我們給出兩種特殊的積分因子的求法.

盡管如此,方程(1.57)還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.113ppt課件(1.59)此時(shí)求得積分因子114ppt課件事實(shí)上115ppt課件定理.微分方程116ppt課件117ppt課件例6.

求微分方程的通解.解:由于故它不是全微分方程,又由于118ppt課件利用恰當(dāng)方程求解法得通解為Q.E.F.119ppt課件

積分因子是求解積分方程的一個(gè)極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)例子說(shuō)明一些簡(jiǎn)單積分因子的求法.利用恰當(dāng)方程求解法得通解為Q.E.F.120ppt課件例7.

求解方程解:方程改寫為:或:易看出,此方程有積分因子121ppt課件即故方程的通解為:例8.

求解方程解:故方程不是全微分方程。Q.E.F.122ppt課件方法1:即故方程的通解為:123ppt課件方法2:方程改寫為:容易看出方程左側(cè)有積分因子:故方程的通解為:124ppt課件方法3:方程改寫為:這是齊次方程,即故通解為:變量還原得原方程的通解為:125ppt課件方法4:Q.E.F.方程改寫為:故方程的通解為:即方程的通解為:126ppt課件在有些情況下,可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到積分因子.常用微分倒推公式:積分因子不一定唯一

.例如,對(duì)可取127ppt課件可選用的積分因子有128ppt課件例9.

求解解:即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,故C

為任意常數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Q.E.F.129ppt課件例10求微分方程解將方程左端重新組合,有可積組合法原方程的通解為Q.E.F.130ppt課件解：則原方程乘以積分因子，得例11.

求微分方程不是全微分方程原方程的通解為(公式法)可積組合法Q.E.F.131ppt課件本節(jié)結(jié)束！132ppt課件變量分離、線性、恰當(dāng)方程等能解出轉(zhuǎn)化不能解出或解出形式復(fù)雜轉(zhuǎn)化引進(jìn)參數(shù)變量變換熟練掌握1.6一階隱式微分方程第七講133ppt課件前面幾節(jié)介紹的是求解顯式方程（1.9）的一些初等積分法.本節(jié)要討論如何求解隱式方程（1.8）方程(1.8)也稱為導(dǎo)數(shù)未解出的一階方程.求解方程(1.8)的問(wèn)題分兩種情況考慮：

1.假如能從(1.8)中把解出，就得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程如果能用初等積分法求出這些顯式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解.134ppt課件

例1.

求解方程解:方程左端可以分解因式，得所以原方程的解為Q.E.F.135ppt課件2．如果在(1.8)中不能解出y’時(shí)，則可用下面介紹的“參數(shù)法”求解，本節(jié)主要介紹其中兩類可積類型：類型I類型II

類型Ⅰ的特點(diǎn)是，方程中不顯含y

或x；類型Ⅱ的特點(diǎn)是y可以解出或x可以解出.首先，考慮類型Ⅰ中的方程（1.61）

我們已經(jīng)知道，方程(1.61)的一個(gè)解y=y(x)在(x,y)平面上的圖象是一條曲線，而曲線是可以用參數(shù)表示的，稱為參數(shù)形式解,即是定義在區(qū)間上的可微函數(shù)類型I136ppt課件使得在上恒成立。

顯然，如果能從方程(1.61)中求出解y=y(x)，再把它參數(shù)化，就可以得到(1.61)的參數(shù)形式解，但這是沒(méi)有什么意義的.下面介紹的參數(shù)法，是在方程(1.61)中當(dāng)解不出來(lái)時(shí)，先把方程(1.61)化成等價(jià)的參數(shù)形式，然后根據(jù)某種恒等式,可以求出原方程(1.61)的參數(shù)形式解.這種求解過(guò)程就稱為參數(shù)法.具體作法如下：137ppt課件解法：引入變換從(1.61)得到則，方程的參數(shù)形式通解為關(guān)鍵(or引入變換從(1.61)得到)（1.61）138ppt課件同理，可以討論類型Ⅰ的方程(1.65)解法：引入變換從(1.65)得到則，方程的參數(shù)形式通解為(or引入變換從(1.65)得到)若有實(shí)根則也是方程的解。關(guān)鍵139ppt課件解:本題不顯含y，令則由方程，得從而于是求解方程例2.通解為Q.E.F.技巧!140ppt課件例3.求解方程解:把代入原微分方程令得由此得且方程的參數(shù)形式的通解為此外,也是方程的解。Q.E.F.141ppt課件現(xiàn)在，考慮類型Ⅱ中的方程（1.66）類型II(能解出

y(或x)的方程)這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。解法：引進(jìn)參數(shù)，則(1.66)變?yōu)閮蛇呹P(guān)于

x

求導(dǎo)，并把代入，得這是關(guān)于x

和p顯式方程★142ppt課件(i)若已得出(**)的通解形式為,代入(*)(ii)

若得出(**)通解形式為，則原方程(1.66)有參數(shù)形式的通解其中p

是參數(shù)，c為任意常數(shù)。(iii)

若求得(**)通解形式，則原方程(1.66)有其中p是參數(shù),c為任意常數(shù)。參數(shù)形式通解就是(1.66)的通解。得143ppt課件現(xiàn)在，考慮類型Ⅱ中的第二個(gè)方程（1.69）★★兩邊對(duì)y求導(dǎo)

若求得通解為則(1.69)的通解為則(1.69)的通解為解法：引進(jìn)參數(shù)，則(1.69)變?yōu)?44ppt課件解：令得兩邊對(duì)x求導(dǎo)例4.求解方程當(dāng)時(shí)，上