2.1對坐標的曲面積分ppt課件

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄新課引入新課引入上一節(jié)我們講述了對面積的曲面積分，上一節(jié)我們講述了對面積的曲面積分，這一節(jié)我們就來講對坐標的曲面積分。這一節(jié)我們就來講對坐標的曲面積分。前面我們講述了兩類曲線積分：前面我們講述了兩類曲線積分： 對弧長曲線積分第一類）對弧長曲線積分第一類） 對坐標曲線積分第二類）。對坐標曲線積分第二類）。 同樣我們也要講述兩類曲面積分：同樣我們也要講述兩類曲面積分： 對面積的曲面積分第一類）對面積的曲面積分第一類） 對坐標的曲面積分第二類）。對坐標的曲面積分第二類）。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄第五節(jié)第五節(jié) 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 第九章第九章 （S

2、urface integral of coordinate)一、對坐標的曲面積分的概念與性質一、對坐標的曲面積分的概念與性質二、對坐標的曲面積分的計算二、對坐標的曲面積分的計算三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、小結與思考練習四、小結與思考練習返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄曲面的側曲面的側 設連通曲面設連通曲面 S 上到處都有連續(xù)變動的切平面上到處都有連續(xù)變動的切平面 ( 或法或法 線線 ), 曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當取曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當取 定其中一個指向為正方向時定其中一個指向為正方向時, 另一個指向就是負方另一個指向就是負方 向向.

3、又設又設 0M為為 S 上任一點上任一點, L為為 S上任一經(jīng)過點上任一經(jīng)過點0,M且不超出且不超出 S 邊界的閉曲線邊界的閉曲線. 當當 S 上的動點上的動點 M 從從 0M出發(fā)沿出發(fā)沿 L L 連續(xù)移動一周而回到連續(xù)移動一周而回到 時時, ,0ML0ML返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄否則否則, 假設假設 M由某一點由某一點 0M動身動身, 沿沿 S 上某一封閉曲線上某一封閉曲線 0M回到回到 時時, 其法線方向與出發(fā)時的方向相反其法線方向與出發(fā)時的方向相反, 則稱則稱 S 是單側曲面是單側曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面我們通常遇到的曲面大多是雙側曲面. 單側曲面的單側曲面的 一個

4、典型例子是默比烏斯一個典型例子是默比烏斯(Mbius)帶帶. 它的構造方它的構造方 法如下法如下: 取一矩形長紙條取一矩形長紙條ABCD (如圖如圖22-4(a), 將其將其 一端扭轉一端扭轉 180 后與另一端粘合在一起后與另一端粘合在一起 ( 即讓即讓 A 與與 C 重合重合, B 與與 D 重合重合, 如圖如圖22-4(b)所示所示 ). 0M出發(fā)時出發(fā)時 M M 與與 取相同的法線方向取相同的法線方向, , 而回來時仍而回來時仍 保持原來的法線方向不變保持原來的法線方向不變, ,則稱該曲面則稱該曲面 S S 是雙側的是雙側的. . 如果有如下特征如果有如下特征: : 返回返回上頁上頁下

5、頁下頁目錄目錄224 圖圖ABCD(a)ACBD0M(b)默比烏斯默比烏斯( Mbius,A.F. 17901868, 德國德國 )返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄通常由通常由 ( , )zz x y所表示的曲面都是雙側曲面所表示的曲面都是雙側曲面, 其法其法 線方向與線方向與 z z 軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側軸正向的夾角成銳角的一側稱為上側, , 另一側稱為下側另一側稱為下側. . 當當 S S 為封閉曲面時為封閉曲面時, ,法線方向朝外法線方向朝外 的一側稱為外側，另一側稱為內側的一側稱為外側，另一側稱為內側. . 習慣上把上側習慣上把上側 作為正側作為正側, ,下側作為負側下側作

6、為負側; ;又把封閉曲面的外側作為又把封閉曲面的外側作為 正側正側, , 內側作為負側內側作為負側. .曲面法向量的指向決定曲面的側曲面法向量的指向決定曲面的側. .決定了側的曲面稱為有向曲面決定了側的曲面稱為有向曲面. .返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 曲面分類曲面分類 雙側曲面雙側曲面單側曲面單側曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分上側和下側曲面分內側和外曲面分內側和外側側曲面分左側和右曲面分左側和右側側(單側曲面的典型單側曲面的典型) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側曲面雙側曲面; ;2.2.單側曲面單側曲面. .典典型型雙雙側側曲曲面面返

7、回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側曲面典型單側曲面:播放播放返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側曲面典型單側曲面:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型

8、單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁

9、目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄典型單側曲面典型單側曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄曲面法向量的指向決定曲面的側曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題曲面的投影問題:()cos0()()cos00cos0 xyxyxyS ，一、對坐標的曲面積分的概念與性質一、對坐標的曲面積分的概念與性質1. 有向曲面及其在坐標面上的投影概念有向曲面及其在坐標面上的投影概念以后如未作特別說明，我們所討論的曲面都是雙側的以后如未作特別說明，我們所討論的曲面都是雙側的. 返回返

10、回上頁上頁下頁下頁目錄目錄的投影區(qū)域的面積的投影區(qū)域的面積, 它們的符號由它們的符號由 iS的方向來確定的方向來確定: ()()(),i yzi zxi xySSS iS分別表示分別表示 在三個坐標面上在三個坐標面上 ()0,0,ii xyiSSS ; ;取取上上側側取取下下側側()0,0,ii yziSSS ; ;取取前前側側取取后后側側()0,0,.ii zxiSSS 取取右右側側取取左左側側返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2. 流向曲面一側的流量計算流向曲面一側的流量計算Av0n A0cosA vAv nv A 流量返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xyzo 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目

11、錄xyzo iS ),(iii ivin1. 分割分割則該點流速為則該點流速為 .iv法向量為法向量為 .in返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和 niiiiSnv1返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.取極限取極限0.取極限得到流量 的精確值)(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSR

12、SQSP 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄3. 對坐標的曲面積分的概念對坐標的曲面積分的概念返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄存在條件存在條件:組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 返回返回上頁

13、上頁下頁下頁目錄目錄4. 對坐標的曲面積分的性質對坐標的曲面積分的性質返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄二、對坐標的曲面積分的計算二、對坐標的曲面積分的計算返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄),(yxfz xyDxyzoxys)( 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄注意注意: :第二型的曲面積分第二型的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側必須注意曲面所取的側. .“一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號”返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄1222()d dxyz xyzx y

14、2222()d dxyz xyzx y22d d1xyDxyxyx y22d1dxyDxyxxyy222d d1xyDxyxxyy2151322002dcos sin1drrr返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄例例3. 計算計算 Syxzxxzyzzyxydddddd其中其中 S 是由平面是由平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 和和 x + y + z = 1所圍的四面體表面的外側所圍的四面體表面的外側.解解 Syxzxdd 21ddddSSyxzxyxzx設設 S1 是是1:1 zyxS取上側取上側 S2 是是S 的底部的底部0:2 zS取下側取下側xyzxy11OxyD在在 x

15、y 坐標面上的投影區(qū)域為坐標面上的投影區(qū)域為 Dxy 1S先計算積分先計算積分 Syxzxdd返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 21ddddSSyxzxyxzxxyzxy11OxyD xyDyxyxxdd)1 ( xyDyxxdd0 xyyxxx1010d)1 (d 1022d)1 (21)1(xxxx241 由對稱性由對稱性812413dddddd Syxzxxzyzzyxy返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄co(s, ,d)SR x y z22221( , )1d d1 , ,xyxyDxyz x yzzx

16、yzzR x y , , ( , )d dxyDR x y z x yx y返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄co(s, ,d)SR x y z2222 , ,1d1( ,1d)xyDxyxyz x yzzzzx yR x y , , ( , )d dxyDR x y z x yx y 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y ( , , )cos( , , )cos( , , )cos d .P x y zQ x y zR x y zS返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄d dcosdxxy zScoscoscos dSxcoscosd dxxy返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2(2)d dxzx y 2222()d dxyDxxyx y返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22222221 ()()1)42(xyDxxxydxdxyy xyDdxdyyxx)(21222