高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題例談

1、高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題例談?wù)憬?陳泰樞隨著高考制度改革的不斷深化,全國(guó)以及各省自主命題的高考試題不斷有所創(chuàng)新.這種創(chuàng)新一方面體現(xiàn)在更加重視對(duì)學(xué)生能力的考查,另一方面則體現(xiàn)在更加注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查,縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)題,我們不難發(fā)現(xiàn)其中有許多題目涉及的內(nèi)容都不在高中課本中,而是以高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)為平臺(tái),考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.下面就舉一些具有高等數(shù)學(xué)背景的高考試題來(lái)分析與探討,以供復(fù)習(xí)參考.一、以高等數(shù)學(xué)運(yùn)算為背景例1 (06四川理第16題)非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：(1)對(duì)任意的都有(2)存在都有則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： G非負(fù)整數(shù),為整數(shù)的加

2、法. G偶數(shù),為整數(shù)的乘法. G平面向量,為平面向量的加法. G二次三項(xiàng)式,為多項(xiàng)式的加法. G虛數(shù),為復(fù)數(shù)的乘法.其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是_.(寫出所有“融洽集”的序號(hào))分析：本題其實(shí)源自大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課中的近世代數(shù),此題給出了一個(gè)新的概念“融洽集”, 考查學(xué)生在瞬間理解并且會(huì)運(yùn)用此概念來(lái)判斷以下給出的條件是否滿足成為“融洽集”的能力.,滿足任意,都有,且令,有,所以符合要求.,若存在,則,矛盾, 不符合要求.,取,滿足要求, 符合要求;,兩個(gè)二次三項(xiàng)式相加得到的可能不是二次三項(xiàng)式,所以不符合要求.,兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù), 不符合要求.這樣關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的有.例2 (07陜

3、西理第12題)設(shè)集合,在S上定義運(yùn)算為：,其中k為i+j被4除的余數(shù),=0,1,2,3.則滿足關(guān)系式的的個(gè)數(shù)為( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析：本題以抽象代數(shù)中的運(yùn)算系統(tǒng)為背景,考查學(xué)生在瞬間運(yùn)用一個(gè)新的運(yùn)算法則去解題的能力.不成立.成立.不成立.成立,滿足條件的只有兩個(gè).二、以高等數(shù)學(xué)中的基本概念為背景例3 (04上海理第12題)若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列,下列的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號(hào)) 與; 與; 與; q與.其中n為大于1的整數(shù), 為的前n項(xiàng)和.分析：這題給出了一個(gè)新的概

4、念叫“基本量”,讓學(xué)生在瞬間理解并且會(huì)運(yùn)用此概念來(lái)判斷以下給出的條件是否滿足成為“基本量”.;如果與已知,則可求出與,從而一定能成為該數(shù)列的“基本量”.; 由已知兩式所確定的與顯然不唯一,所以不一定能成為該數(shù)列的“基本量”.;由可知與不唯一,所以不一定能成為該數(shù)列的“基本量”.已知;也已知,顯然與是被唯一確定的,所以一定能成為該數(shù)列的“基本量”.例4 (06福建理第12題)對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn),定義它們之間的一種“距離”：給出下列三個(gè)命題：若點(diǎn)C在線段AB上,則在中,若則在中,其中真命題的個(gè)數(shù)為 ( )(A)0(B)1(C)2(D)3分析：對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn),定義它們之間的一

5、種“距離”：若點(diǎn)C在線段AB上,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(,),在、之間,在、之間,則=在中,= 命題 成立,而命題在中,若則明顯不成立,故選B.三、以高等數(shù)學(xué)中的基本結(jié)論為背景例5 (03北京理第20題)設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件,對(duì)任意的、,都有()證明：對(duì)任意,都有()證明：對(duì)任意的都有()在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)且使得若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由分析：本題以高等數(shù)學(xué)的泛函分析中壓縮映象原理為背景,考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.()證明：由題設(shè)條件可知,當(dāng)時(shí),有即()對(duì)任意的,當(dāng)當(dāng)不妨設(shè) 則從而有綜上可知,對(duì)任意的,都有()答：這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在.理由如下：假設(shè)存在函數(shù)滿足條件,則由得又,所以又因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,由條件.得所以 .與矛盾,因此假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.總結(jié)與反思：全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出：高中數(shù)學(xué)課程要為我國(guó)公民適應(yīng)現(xiàn)代化生活和未來(lái)發(fā)展提供更高水平數(shù)學(xué)基礎(chǔ),使它們獲得更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),為學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備,同時(shí)把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.正是基于這一點(diǎn),以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的高考試題多次現(xiàn)身于高考之中.