小學(xué)數(shù)學(xué)比和比例問題知識及例題

1、小學(xué)數(shù)學(xué)知識總結(jié)之比和比例應(yīng)用題【求比的問題】例1 兩個同樣容器中各裝滿鹽水。第一個容器中鹽與水的比是23，第二個容器中鹽與水的比是34，把這兩個容器中的鹽水混合起來，則混合溶液中鹽與水的比是_。（無錫市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）則混合溶液中，鹽與水的比是：某電子產(chǎn)品去年按定價的80出售，能獲利20，由于今年買入價降（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）即： 【比例問題】例1 甲、乙兩包糖的重量比是41，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖的重量比變?yōu)?5 那么兩包糖重量的總和是_克。（1989年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）例2 甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器

2、中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。這樣甲容器中純酒精含量為62.5，乙容器中純酒精含量為25，那么，第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是_升。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：因為現(xiàn)在乙容器中純酒精含量為25，所以，乙容器中酒精與水的比為25（1-25）=13第一次從甲容器中倒5升純酒精到乙容器，才使得乙容器中純酒精與水的比恰好是515=13又甲容器中純酒精含量為62.5，則甲容器中酒精與水的比為62.5（1-62.5）=53第二次倒后，要使甲容器中純酒精與水的比為53，不妨把從甲容器中倒入乙容器的混合液中純酒精作1份，水作3份。

3、那么甲容器中剩下的純酒精便是11-5=6（升）6升算作4份，這樣可恰好配成53。而第二次從乙容器倒入甲容器的混合液共為13=4（份），所以也應(yīng)是6升。一.比的意義和性質(zhì)（1） 比的意義   兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。   “：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。   同除法比較，比的前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。 比的后項不能是零。 根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可

4、知比的前項相當(dāng)于分子，后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值（2）比的性質(zhì)   比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。（3） 求比值和化簡比   求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。   根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。  （4）比例尺   圖上距離：實際距離=比例尺   要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和

5、比例尺求圖上距離。   線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離。  （5）按比例分配   在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。   方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。  2 比例的意義和性質(zhì)  （1） 比例的意義   表示兩個比相等的式子叫做比例。   組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。   兩端

6、的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。  （2）比例的性質(zhì)   在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。  （3）解比例   根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。  3 正比例和反比例  （1） 成正比例的量   兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

7、0;  用字母表示y/x=k(一定）  （2）成反比例的量   兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。   用字母表示x×y=k(一定)  二 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨

8、著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？關(guān)鍵：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系例

9、3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？三 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1

10、 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？四 列方程 例1 甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？例2 倉庫里有化肥940袋，兩輛汽車4

11、次可以運(yùn)完，已知甲汽車每次運(yùn)125袋，乙汽車每次運(yùn)多少袋？智趣題學(xué)校買了4張辦公桌和1把椅子，共用去510元，后又買來6張辦公桌和1把椅子共用去750元。求每張辦公桌和每把椅子各多少元？作業(yè)1 一臺拖拉機(jī)第一天上午3小時平均每小時耕地7.8公畝，下午4小時平均每小時耕地8.1公畝，第二天用了5小時耕地38.4公畝，正好完成任務(wù)。這臺拖拉機(jī)平均每天耕地多少公畝?2王、張兩人各帶同樣多的錢去商店買花布，同種的花布小王買了9米，小張買了6米。王向張借了12元，兩人的錢剛好用完。這種花布每米多少元?比的應(yīng)用練習(xí)題1、兩個相同的瓶子都裝滿了酒精溶液，一個瓶中酒精與水的體積比是3 ：1，另一個瓶中酒精與水

12、的體積比是4 ：1。如果把這兩個瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是（           ）。2、五角人民幣與貳角人民幣的張數(shù)比為12 ：35，那么伍角與貳角的總錢數(shù)比為（       ）。3、甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是60。甲、乙、丙三個數(shù)的比是3 ：2 ：1。甲、乙、丙三個數(shù)各是多少？4、一個直角三角形的兩個銳角度數(shù)的比是2 ：1，這兩個銳角分別是多少度？5、大、小兩瓶油共重2.7千克，大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油與小

13、瓶內(nèi)油的重量比是3 ：2。求大、小瓶里各裝油多少千克？6、甲、乙、丙三位同學(xué)共有圖書108本，乙比甲多18本，乙與丙的圖書數(shù)之比是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有圖書多少本？7、一個直角三角形的三條邊總和是60厘米，已知三條邊的比是3 ：4 ：5.這個直角三角形的面積是多少平方厘米？8、一個直角三角形的周長為36厘米，三條邊的長度比是3 ：4 ：5，這個三角形的面積是多少平方厘米？9、一瓶鹽水，鹽和水的重量比是1 ：24，如果再放入75克水，這時鹽與水的重量比是1 ：27，原來瓶內(nèi)鹽水重多少千克？10、盒子里有三種顏色的球，黃球個數(shù)與紅球個數(shù)的比是2 ：3，紅球個數(shù)與白球個數(shù)的比是4 ：5。已知

14、三種顏色的球共175個，紅球有多少個？11、王老師用100元去買了20支圓珠筆和10支鋼筆，每支鋼筆的價錢和每支圓珠筆的價錢的比是3 ：1。問買圓珠筆和鋼筆各花了多少元？12、甲、乙兩包糖果的重量的比是4 ：1，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖果重量的比變?yōu)? ：5。那么兩包糖果重量的總和是多少？13、某小學(xué)男、女生人數(shù)之比是16 ：13，后來有幾位女生轉(zhuǎn)學(xué)到這所學(xué)校，男、女生人數(shù)之比變成為6 ：5，這時全體學(xué)生共有880人，問轉(zhuǎn)學(xué)來的女生有多少人？14、小明讀一本書，已讀的和末讀的頁數(shù)比是1 ：5。如果再讀30頁，則已讀的和末讀的頁數(shù)之比為3 ：5。這本書共有多少頁？15、運(yùn)輸隊

15、要運(yùn)一批貨物，已經(jīng)運(yùn)走的和剩下的比是1 ：4。如果再運(yùn)走4噸，那么運(yùn)走的和剩下的比為3 ：7。這批貨物共多少噸？16、甲、乙、丙三人的彩球數(shù)的比例為9：4：2，甲給了丙30個彩球，乙也給了丙一些彩球，比例變?yōu)? ：1 ：1。乙給了丙多少個彩球？溶液問題 一碗糖水中有多少糖，這就要用百分比濃度來衡量.放多少水和放多少糖能配成某一濃度的糖水，這就是配比問題.在考慮濃度和配比時，百分?jǐn)?shù)的計算扮演了重要的角色，并產(chǎn)生形形色色的計算問題，這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的一個重要內(nèi)容. 從一些基本問題開始討論.例15 基本問題一（1）濃度為10，重量為80克的糖水中，加入多少克水就能得到濃度為8的糖水？（2）濃度為

16、20的糖水40克，要把它變成濃度為40的糖水，需加多少克糖？解：（1）濃度10，含糖 80×10 8（克），有水80-872（克）.如果要變成濃度為8，含糖8克，糖和水的總重量是8÷8100（克），其中有水100-892（克）.還要加入水 92- 72 20（克）.（2）濃度為20，含糖40×208（克），有水40- 8 32（克）.如果要變成濃度為40，32克水中，要加糖x克，就有x3240（1-40），例16 基本問題二20的食鹽水與5的食鹽水混合，要配成15的食鹽水900克.問：20與5食鹽水各需要多少克？解： 20比15多（20-15）， 5比15少（15

17、-5），多的含鹽量（20-15）×20所需數(shù)量要恰好能彌補(bǔ)少的含鹽量（15-5）×5所需數(shù)量.也就是畫出示意圖：相差的百分?jǐn)?shù)之比與所需數(shù)量之比恰好是反比例關(guān)系.答：需要濃度 20的 600克，濃度 5的 300克.這一例題的方法極為重要，在解許多配比問題時都要用到.現(xiàn)在用這一方法來解幾個配比的問題.例17 某人到商品買紅、藍(lán)兩種筆，紅筆定價5元，藍(lán)筆定價9元.由于買的數(shù)量較多，商店就給打折扣.紅筆按定價 85出售，藍(lán)筆按定價 80出售.結(jié)果他付的錢就少了18.已知他買了藍(lán)筆 30支，問紅筆買了幾支？解：相當(dāng)于把兩種折扣的百分?jǐn)?shù)配比，成為1-1882.（85%-82）（82%

18、-80）32.按照基本問題二，他買紅、藍(lán)兩種筆的錢數(shù)之比是23.設(shè)買紅筆是x支，可列出比例式5x9×3023答：紅筆買了 36支.配比問題不光是溶液的濃度才有的，有百分?jǐn)?shù)和比，都可能存在配比.要提請注意，例17中是錢數(shù)配比，而不是兩種筆的支數(shù)配比，千萬不要搞錯.例18 甲種酒精純酒精含量為72，乙種酒精純酒精含量為58，混合后純酒精含量為 62.如果每種酒精取的數(shù)量比原來都多取15升，混合后純酒精含量為63.25.問第一次混合時，甲、乙兩種酒精各取多少升？解：利用例16的方法，原來混合時甲、乙數(shù)量之比是后一次混合，甲、乙數(shù)量之比是這與上一講例 14是同一問題.都加15，比例變了，但兩

19、數(shù)之差卻沒有變.5與2相差3，5與3相差2.前者3份與后者2份是相等的.把25中前、后兩項都乘2，35中前、后兩項都乘3，就把比的份額統(tǒng)一了，即現(xiàn)在兩個比的前項之差與后項之差都是5.15是5份，每份是3.原來這答：第一次混合時，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19 甲容器中有8的食鹽水300克，乙容器中有12.5的食鹽水 120克.往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器的食鹽水濃度一樣.問倒入多少克水？解：要使兩個容器中食鹽水濃度一樣，兩容器中食鹽水重量之比，要與所含的食鹽重量之比一樣.甲中含鹽量：乙中含鹽量= 300×8120×12.5= 85.現(xiàn)在要使（300克+倒入水）（120克+倒入水）85.把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是（300-120）÷（8-5）= 60（克）.倒入水量是 6