余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)經(jīng)典

1、1.1 2余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容，推證余弦定理，并簡單運(yùn)用余弦定理解三角形；能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和觀察與邏輯思維能力，能體會(huì)用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對(duì)余弦定理進(jìn)行應(yīng)用。難點(diǎn)：利用向量法證明余弦

2、定理的思路；對(duì)余弦定理的熟練應(yīng)用。探究和證明余弦定理過程既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)。學(xué)生已經(jīng)具備了勾股定理的知識(shí)，即當(dāng)/ C=9C0時(shí)，有c2=a2+b2。作為一般的情況，當(dāng)/Cw900時(shí)，三角形的三邊滿足什么關(guān)系呢?學(xué)生一時(shí)很難找到思路。最容易想到的思路就是構(gòu)造直角三角形，嘗試應(yīng)用勾股定理去探究這個(gè)三角形的邊角關(guān)系；用向量的數(shù)量積證明余弦定理更是學(xué)生想不到的，原因是學(xué)生很難將向量的知識(shí)與解三角形的知識(shí)相結(jié)合。因而教師在授課時(shí)可以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥、啟發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽的探索。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同的途徑去探索余弦定理的證明，這樣既能開拓學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)余弦定理的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生形成良好

3、的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，這是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。三、學(xué)情分析和教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是人教B 版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5 第一章第一節(jié)余弦定理的第一課時(shí)。余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關(guān)三角形問題與實(shí)際應(yīng)用問題（如測量等）的重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)的結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了“邊”和“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”有機(jī)的結(jié)合起來，為求與三角形有關(guān)的問題提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形的形狀和證明三角形中的等式提供了重要的依據(jù)。教科書首先通過設(shè)問的方式，指出了“已知三角形的兩邊和夾角，無法用正弦定理去解三角形”，進(jìn)而通過直角三角形中的勾股定理引導(dǎo)學(xué)

4、生去探究一般三角形中的邊角關(guān)系，然后通過構(gòu)造直角三角形去完成對(duì)余弦定理的推證過程，教科書上還進(jìn)一步的啟發(fā)學(xué)生用向量的方法去證明余弦定理，最后通過3 個(gè)例題鞏固學(xué)生對(duì)余弦定理的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容，初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用，并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)“已知三角形兩邊及夾角”來解三角形的實(shí)際例子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用上一節(jié)所學(xué)的知識(shí)來解決這一問題，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出這一節(jié)的內(nèi)容。在對(duì)余弦定理教學(xué)中時(shí)，考慮到它比正弦定理形式上更加復(fù)雜，教師可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)行思考，通

5、過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟，輔以小組合作學(xué)習(xí)，建立猜想，獲得命題，再想方設(shè)法去證明。在用兩種不同的方法證明余弦定理時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到證明思路上的困難，教師可以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。四、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一【創(chuàng)設(shè)情境】1、復(fù)習(xí)引入讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個(gè)定理解決哪些類型的問題。2、情景引入如圖1,某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。 工程技術(shù)人員先在 地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢?A,量出A到山腳 日C的距離， 再利用經(jīng)緯儀測出 A對(duì)山腳BC （即線段BQ的張角， 最后通過計(jì)算求出山腳的長度 BG學(xué)生不難將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩邊和一個(gè)夾角， 去求三角形的另

6、外一 B 邊。這個(gè)問題是不能使用正弦定理來求解的。 學(xué)生急 切的希望應(yīng)用新知識(shí)來解決這個(gè)問題。C環(huán)節(jié)二【導(dǎo)入新課】問題：在 ABC中，當(dāng)/ C=90時(shí)，有 c2=a2+b2.若a, b邊的長短不變，反 1 C的大小時(shí), c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們思考。教師鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生解決問題，學(xué)生回答，借助于多媒體動(dòng)畫演不'結(jié)果。圖3如圖2,若/ Cv90°時(shí)，由于 AC與BC的長度不變，所以 AB的長度變短，即 c2<a2+b2.如圖3,若/ C>90°時(shí)，由于 AC與BC的長度不變，所以 AB的長度變長，即 c2>a2+

7、b2.經(jīng)過議論學(xué)生已得到當(dāng)/ Cw90°時(shí)， c2Wa2+b2。環(huán)節(jié)三【新課探究】探究1、在上一個(gè)問題中，我們已經(jīng)知道，當(dāng)/Cw90°時(shí)，c2wJ+b2。那么c2與a2+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究。教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，可讓幾個(gè)小組的學(xué)生研究當(dāng)/C為銳角時(shí)的結(jié)論，另外的小組研究當(dāng)/ C為鈍角時(shí)的結(jié)論。最后交流探索，展示成果。如圖4,當(dāng)/ C為銳角時(shí)，作 BDLAC于D, BD把 ABC分成兩個(gè)直角三角形：B在 RtMBD中,AB=AD+BD2;在 RtBDC中，BD=BC sinC=asinC , DC=BC cosC=acosC所以，A隹aD+bD化為

8、c2=（b acosC） 2+（asinC） 2,c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin 2C,c2=a2+b2 2abcosC.可以看出/ C為銳角時(shí)， ABC的三邊a, b, c具有c2=a2+b22abcosC的關(guān)系。 如圖5,當(dāng)/ C為鈍角時(shí)，作 BD±AC交AC的延長線于 Do ACB是兩個(gè)直角三角形之差。在 RtMBD中,Ad=AD+BD.在 Rt BCD43, / BCD書一C.BD=BC sin（兀一C）, CD=BC cos（兀一C）.所以A隹AE2+BE2化為c2=（AC+CD）2+BE）=b+acos（兀一C） 2+asin（兀一C）2=b2+2a

9、bcos（兀一C）+a2cos2（兀一C）+a2sin 2（兀一C）=b2+2abcos（兀一C）+a2.因?yàn)閏os（兀一C尸一cosC,所以也可以得到 c2=b2+a22abcosC。教師點(diǎn)撥：以上兩種情況，我們可以考察向量AC在向量BC方向上的正射影的數(shù)量：當(dāng)/C分別是銳角和鈍角的時(shí)候，得到兩個(gè)數(shù)量符號(hào)相反；當(dāng)/C是直角的時(shí)候，其向量 AC在直角邊上的正射影的數(shù)量為零。因此，無論是/C是銳角、直角還是鈍角，都有AD bsinC,DC bcosC,BD a bcosC,在RtADB中，運(yùn)用勾股定理，得 c2=a2+b2-2abcosC,我們輪換/ A, / B, /C的位置可以得 到a2=b

10、2+c2 2bccosA.b2=c2+a2 2accosB.于是，我們得到三角形中邊角關(guān)系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內(nèi)容 ）余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦 的積的兩倍，即c2=a2+b2 -2abcosCa2=b2+c2 -2bccosAb2:=c2+a2 2accosB從以上的公式中解出 cosA,cosB,cosC ,則可以得到余弦定理的另外一種形式:222cosAcosBcosCb c a2bc22. 2cab2ca2,22a b c2ab從以上分析過程，我們對(duì)/ C不是直角的情況有了清楚認(rèn)識(shí)。我們不僅要認(rèn)識(shí)到，/C為銳角和鈍角時(shí)

11、都有c2=a2+b2 2abcosC,還要體會(huì)出怎樣把一個(gè)斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的。這種由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到。探究2、你還能用向量的方法證明余弦定理嗎？參看教材例1左上方的思路提示。教師點(diǎn)撥學(xué)生的思路，可以讓學(xué)生分組討論、探究，最后教師用多媒體展示證明的思路及過 程。如圖 6,在4ABC中，設(shè) AB c,CA b,BC a,BC AC AB,22BC AC AB222BC AC AB 2AB?ACBC2 AC2 |AB2 2AB?|ACcosA 即：a2 b2 c2 2bccosA教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)于探究 1,我們分/ C是銳角和鈍角的情況對(duì)余弦定理的形式給出了證明，過程 比

12、較復(fù)雜；對(duì)于探究 2,我們應(yīng)用向量的數(shù)量積可以很簡單的證明余弦定理，這就可以看出向 量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問題中的作用，在今后的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí) 的應(yīng)用。探究3、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用 教師啟發(fā)學(xué)生：根據(jù)余弦定理的兩種形式，可以看出它能夠解決解三角形的哪些類型？（學(xué)生并不難發(fā)現(xiàn)，余弦定理可以用來解決兩種解三角形的類型：已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊；已知三角形的三邊，求三個(gè)內(nèi)角。）下面，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來解決以下三個(gè)例題。（用多媒體展示例題）例 1、在 ABC中，已知 a=5,b=4, /C=120°,求 c.例2、在 ABC中，已知a=

13、3,b=2,c= J19 ,求此三角形三個(gè)內(nèi)角的大小及其面積（精確到0.1）例 3、 ABC的定點(diǎn)為 A（6,5）,B（-2,8）, 和 C（4,1）,求/ A（精確到 0.1）.雙邊活動(dòng)：師生可以共同完成例題，進(jìn)一步的加深學(xué)生對(duì)余弦定理的應(yīng)用。環(huán)節(jié)四【練習(xí)與鞏固】1、在 ABC中，a=1,b=1, /C=12（f,則 c=。2、在 ABC中，若三邊 a,b,c 滿足 a2 b2 c2 bc ,貝U A=。3、在 ABC中，已知sinA：sinB ：sinC 3:4:5 ,這個(gè)三角形是 （填銳角、直 角、鈍角三角形）。4、在 ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中線長為 2,求AB=雙邊活動(dòng)

14、：學(xué)生限時(shí)訓(xùn)練，讓學(xué)生回答結(jié)果，對(duì)于出錯(cuò)題目加以講解，可以用多媒體展示第4題的解題過程。環(huán)節(jié)五【課堂反思總結(jié)】通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對(duì)此有何體會(huì)？（先由學(xué)生回答總結(jié)，教師適時(shí)的補(bǔ)充完善）1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí) 過程，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想；2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對(duì)角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個(gè)定理可以解 決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題。（從實(shí)際問題出發(fā)，通過猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納等

15、思維方法，最后得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們 研究問題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過程我們也掌握 了研究問題的一般方法。在強(qiáng)調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法，注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。）環(huán)節(jié)六【布置課后作業(yè)】1、若三角形ABC的三條邊長分別為a 2, b 3 , c 4, 貝 U 2bccosA 2ca cosB 2abcosC 。132、在ABC，若a=7, b=8, cosC 一，則最大內(nèi)角的余弦值為。143、已知 ABC中，acosB=bcos A ,請(qǐng)判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。4、教材練習(xí)B1,3。五、教學(xué)反思1、余弦定理

16、是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第 一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。2 、當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個(gè)問題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。3 、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)

17、，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識(shí)的來龍去脈，怎么會(huì)靈活的應(yīng)用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標(biāo)教育的教學(xué)理念。新課標(biāo)課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，重視學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把 “發(fā)現(xiàn)、探究知識(shí)”的權(quán)利還給學(xué)生。4 、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識(shí)的過程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問題，探究問題的結(jié)論。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，更不能采

18、取“放羊式”的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不理。5 、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點(diǎn)睛、提高效率、增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題感官認(rèn)識(shí)的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時(shí)的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C(jī)械的“眼到”，學(xué)生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時(shí)間去思考、練習(xí)、鞏固，課后會(huì)很快將所學(xué)的知識(shí)忘得一干二凈。6 、在實(shí)際的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于所學(xué)的知識(shí)（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強(qiáng)。從授課的實(shí)際效果來看，能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。后一階段的教學(xué)主要應(yīng)該加強(qiáng)師生的課堂雙邊活動(dòng)，處理

19、好教與學(xué)的關(guān)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂參與意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽的發(fā)言，學(xué)生主動(dòng)暴露自己的問題，教師及時(shí)的加以糾正，使教學(xué)更具針對(duì)1.1.2余弦定理（導(dǎo)學(xué)案）K學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .會(huì)用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法。，2 .熟記并掌握余弦定理3 .能運(yùn)用余弦定理及其推論解三角形K學(xué)習(xí)重點(diǎn)2余弦定理的理解及應(yīng)用K學(xué)習(xí)難點(diǎn)2由數(shù)量積證明余弦定理及應(yīng)用K學(xué)習(xí)過程一、課前準(zhǔn)備【知識(shí)清單】（預(yù)習(xí)教材 P5 8,找出疑惑之處）1 .余弦定理：a2 b2 c2 2 .余弦定理的推論：cosA cosB cosC 3 .用余弦定理可以解決兩類有關(guān)解三角形的問題已知三邊，求已知 和它們的,求第三邊和其他兩個(gè)角【牛刀小試】

20、1 .已知 b 3,c 1, A 600 ,求 a；2 .已知 a 4, b 5, c 6 ,求 cos A二、新課導(dǎo)學(xué)1 .【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】1 .三角形的正弦定理內(nèi)容:2.已知A=60 ,C=45 , b 16,你能解這個(gè)解三角形?【探究】在問題中探究余弦定理若把2的條件C=45，改成c 8,如何解三角形？（即已知三角 形的兩邊及其夾角解三角形 ）問題：聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題?分析：用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B均未知，所以較難求邊C;由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。uirrumruurr rrr設(shè) CB a , CA b , AB c ,那么 c a b ,則C B（小組合作完成）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2 b2 c2 2bccosAb2 a2 c2 2accos B思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方