數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(2015)

1、數(shù)值分析 課程實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書實(shí)驗(yàn)一 函數(shù)插值方法 一、問題提出 對于給定的一元函數(shù)的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)值。試用Lagrange公式求其插值多項(xiàng)式或分段二次Lagrange插值多項(xiàng)式。數(shù)據(jù)如下： （1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多項(xiàng)式，和分段三次插值多項(xiàng)式，計(jì)算,的值。（提示：結(jié)果為, ） （2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 試構(gòu)造Lagrange多項(xiàng)式，計(jì)算的,值。（提示：結(jié)果為, ）二

2、、要求 1、 利用Lagrange插值公式 編寫出插值多項(xiàng)式程序； 2、 給出插值多項(xiàng)式或分段三次插值多項(xiàng)式的表達(dá)式； 3、 根據(jù)節(jié)點(diǎn)選取原則，對問題（2）用三點(diǎn)插值或二點(diǎn)插值，其結(jié)果如何； 4、 對此插值問題用Newton插值多項(xiàng)式其結(jié)果如何。Newton插值多項(xiàng)式如下： 其中： 三、目的和意義 1、 學(xué)會常用的插值方法，求函數(shù)的近似表達(dá)式，以解決其它實(shí)際問題； 2、 明確插值多項(xiàng)式和分段插值多項(xiàng)式各自的優(yōu)缺點(diǎn)； 3、 熟悉插值方法的程序編制； 4、 如果繪出插值函數(shù)的曲線，觀察其光滑性。 四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)

3、試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)二 函數(shù)逼近與曲線擬合 一、問題提出 從隨機(jī)的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達(dá)式的問題，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲線。 在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的含碳量與時(shí)間關(guān)系，試求含碳量與時(shí)間t的擬合曲線。 t(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合； 2、近似解析表達(dá)式為；3、打印出擬合函數(shù)，并打印出與的誤差，； 4、另外

4、選取一個(gè)近似表達(dá)式，嘗試擬合效果的比較； 5、* 繪制出曲線擬合圖。 三、目的和意義 1、掌握曲線擬合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組； 3、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)三 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、基本題 選用復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式，Romberg算法，計(jì)算 （1） （2） （3） 二、應(yīng)用題1.文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文

5、測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：9300萬里）在五個(gè)不同的時(shí)間對小行星作了五次觀察，測得軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下表所示：   P1P2P3P4P5x坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5267.408由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓，橢圓的一般方程可表示為：                     &

6、#160;      現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究。 （1）分別將五個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入橢圓一般方程中，寫出五個(gè)待定系數(shù)滿足的等式，整理后寫出線性方程組AX = b。（2）用MATLAB求低價(jià)方程組的指令A(yù) b求出待定系數(shù) 。（3）衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，其周長的計(jì)算公式是:                       

7、;           式中，a是橢圓的半長軸， 是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離， 。其中h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R = 6371(km)為地球半徑。   有一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h = 439 (km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H = 2384(km)。試分別按下列方案計(jì)算衛(wèi)星軌道的周長，誤差限取為 。三、要求 1、 編制數(shù)值積分算法的程序； 2、 對基本題，分別取不同步長，試比較計(jì)算結(jié)果（如n = 10, 20等）， 并比較其結(jié)果； 4、 對應(yīng)用題，用給定精度

8、，試用(1)用逐次分半梯形法。(2)用逐次分半辛普生法，并確定最佳步長。 四、目的和意義 1、 深刻認(rèn)識數(shù)值積分法的意義； 2、 明確數(shù)值積分精度與步長的關(guān)系； 3、 根據(jù)定積分的計(jì)算方法，結(jié)合專業(yè)考慮給出一個(gè)二重積分的計(jì)算問題。 五、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)六、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)四 線方程組的直接解法一、問題提出 給出下列幾個(gè)不同類型的線性方程組，請用適當(dāng)算法計(jì)算其解。 1、 設(shè)線性方程組 2、 設(shè)對稱正定陣系數(shù)陣線方程組 3、 三對角形線性方程組 二、要求 1、 對上述三個(gè)方程組分別利用

9、Gauss順序消去法與Gauss列主元消去法；平方根法與改進(jìn)平方根法；追趕法求解（選擇其一）； 2、 應(yīng)用結(jié)構(gòu)程序設(shè)計(jì)編出通用程序； 3、 比較計(jì)算結(jié)果，分析數(shù)值解誤差的原因； 4、 盡可能利用相應(yīng)模塊輸出系數(shù)矩陣的三角分解式。 三、目的和意義 1、通過該課題的實(shí)驗(yàn)，體會模塊化結(jié)構(gòu)程序設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)； 2、運(yùn)用所學(xué)的計(jì)算方法，解決各類線性方程組的直接算法； 3、提高分析和解決問題的能力，做到學(xué)以致用； 4、 通過三對角形線性方程組的解法，體會稀疏線性方程組解法的特點(diǎn)。 四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰

10、寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)五 解線性方程組的迭代法一、問題提出 對實(shí)驗(yàn)四所列目的和意義的線性方程組，試分別選用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法計(jì)算其解。 二、要求 1、體會迭代法求解線性方程組，并能與消去法做以比較； 2、分別對不同精度要求，如由迭代次數(shù)體會該迭代法的收斂快慢；3、對方程組2，3使用SOR方法時(shí)，選取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，試看對算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者； 4、給出各種算法的設(shè)計(jì)程序和計(jì)算結(jié)果。 三、目的和意義 1、通過上機(jī)計(jì)算體會迭代法求解線性方程組的特點(diǎn)，并能和消去法比較； 2、運(yùn)用所學(xué)的

11、迭代法算法，解決各類線性方程組，編出算法程序； 3、體會上機(jī)計(jì)算時(shí)，終止步驟或k >（給予的迭代次數(shù)），對迭代法斂散性的意義； 4、 體會初始解，松弛因子的選取，對計(jì)算結(jié)果的影響。四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)六 非線性方程求根一、問題提出 設(shè)方程有三個(gè)實(shí)根現(xiàn)采用下面六種不同計(jì)算格式，求 f(x)=0的根或1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、要求 1、編制一個(gè)程序進(jìn)行運(yùn)算，最后打印出每種迭代格式的斂散情況； 2、用事后誤差估計(jì)來控制迭代次數(shù)，并且打印出迭代的次數(shù)

12、； 3、初始值的選取對迭代收斂有何影響； 4、分析迭代收斂和發(fā)散的原因。 三、目的和意義 1、通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步了解方程求根的算法； 2、認(rèn)識選擇計(jì)算格式的重要性； 3、掌握迭代算法和精度控制； 4、明確迭代收斂性與初值選取的關(guān)系。 四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)七 矩陣特征值問題計(jì)算一、問題提出 利用冪法或反冪法，求方陣的按模最大或按模最小特征值及其對應(yīng)的特征向量。 設(shè)矩陣A的特征分布為： 且 試求下列矩陣之一 （1） 求，及 取 結(jié)果（2） 求及 取 結(jié)果： （3） 求及

13、取結(jié)果 (4) 取 這是一個(gè)收斂很慢的例子,迭代次才達(dá)到結(jié)果 （5） 有一個(gè)近似特征值,試用冪法求對應(yīng)的特征向量，并改進(jìn)特征值（原點(diǎn)平移法）。取 結(jié)果 二、要求 1、掌握冪法或反冪法求矩陣部分特征值的算法與程序設(shè)計(jì)； 2、會用原點(diǎn)平移法改進(jìn)算法，加速收斂；對矩陣B=A-PI取不同的P值，試求其效果； 3、試取不同的初始向量，觀察對結(jié)果的影響； 4、對矩陣特征值的其它分布，如且如何計(jì)算。 三、目的和意義 1、求矩陣的部分特征值問題具有重要實(shí)際意義，如求矩陣譜半徑，穩(wěn)定性問題往往歸于求矩陣按模最小特征值； 2、進(jìn)一步掌握冪法、反冪法及原點(diǎn)平移加速法的程序設(shè)計(jì)技巧； 3、問題中的題（5），反應(yīng)了利用

14、原點(diǎn)平移的反冪法可求矩陣的任何特征值及其特征向量。 四、實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)五、實(shí)驗(yàn)步驟： 1進(jìn)入C或matlab開發(fā)環(huán)境；2根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求編寫程序；3調(diào)試程序；4運(yùn)行程序；5撰寫報(bào)告,討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)八 常微分方程初值問題數(shù)值解法一、基本題 科學(xué)計(jì)算中經(jīng)常遇到微分方程（組）初值問題，需要利用Euler法，改進(jìn)Euler法，Rung-Kutta方法求其數(shù)值解，諸如以下問題： （1） 分別取h=0.1,0.2,0.4時(shí)數(shù)值解。 初值問題的精確解。 （2） 用r=3的Adams顯式和預(yù) - 校式求解 取步長h=0.1，用四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法求值。 （3） 用改進(jìn)Euler法或四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法求

15、解 取步長0.01,計(jì)算數(shù)值解，參考結(jié)果 。（4）利用四階標(biāo)準(zhǔn)R- K方法求二階方程初值問題的數(shù)值解 （I） (II) (III) (IV) 二、應(yīng)用題1. 小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時(shí)燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生30000牛頓的恒定推力當(dāng)燃料用盡時(shí)引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個(gè)過程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為0.4（千克/米）重力加速度取9.8米/秒2.建立火箭升空過程的數(shù)學(xué)模型（微分方程）；求引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度、速度、加速度，及火箭到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間和高度2. 小型火箭初始質(zhì)量為1200千克，其中包括900千克燃料?；鸺Q直

16、向上發(fā)射時(shí)燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生40000牛頓的恒定推力當(dāng)燃料用盡時(shí)引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個(gè)過程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)記作k，火箭升空過程的數(shù)學(xué)模型為其中為火箭在時(shí)刻t的高度，m=1200-15t為火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量，T（=30000牛頓）為推力，g (=9.8米/秒2)為重力加速度, t1 (=900/15=60秒)為引擎關(guān)閉時(shí)刻今測得一組數(shù)據(jù)如下（t時(shí)間（秒），x 高度（米），v速度（米/秒）：t1011121314151617181920x10701270148017001910214023602600283030703310v190200210216225228231234239240246 現(xiàn)有兩種估計(jì)比例系數(shù)k的方法： 1用每一個(gè)數(shù)據(jù)(t,x,v)計(jì)算一個(gè)k的估計(jì)值（共11個(gè)），再用它們來估計(jì)k。 2用這組數(shù)據(jù)擬合一個(gè)k請你分別用這兩種方法給出k的估計(jì)值，對方法進(jìn)行評價(jià)，并且回答，能否認(rèn)為空氣阻力系數(shù)k=0.5（說明理