基于MATLAB的鎖相環(huán)非線性分析_微分方程法

1、基于基于 MATLABMATLAB 的鎖相環(huán)非線性分析的鎖相環(huán)非線性分析_ _微分方程法微分方程法論文導(dǎo)讀:利用 MATLAB 強(qiáng)大的繪圖功能(4):?；?MATLAB 的鎖相環(huán)非線性分析。論文關(guān)鍵詞：鎖相環(huán)，微分方程法，非線性，MATLAB引言：鎖相環(huán)是一種相位反饋的閉環(huán)自動(dòng)控制系統(tǒng)1，環(huán)路鎖定之后，平均穩(wěn)態(tài)頻差等于零， 穩(wěn)態(tài)相差為固定值，鎖相環(huán)的這一重要特征使其在電視、通信、 雷達(dá)、遙測(cè)遙感、 測(cè)量?jī)x表，特別是在人造衛(wèi)星和宇宙飛船的無(wú)線電系統(tǒng)中，得到了廣泛應(yīng)用2。近年來(lái)，鎖相環(huán)路的研究日趨深入，應(yīng)用更加廣泛。由于鑒相器模型是非線性的，所以鎖相環(huán)是一個(gè)非線性系統(tǒng)3，很難用傳統(tǒng)的解析方法來(lái)分

2、析微分方程法，因而我們求助于仿真。下面我們使用微分方程法來(lái)分析一個(gè)二階鎖相環(huán)的非線性特性。1.鎖相環(huán)模型1.1 鎖相環(huán)框圖鎖相環(huán)基本模型如圖 1 所示4。假設(shè)輸入信號(hào)為（1）而壓控振蕩器的輸出信號(hào)表達(dá)式假設(shè)為（2）鎖相環(huán)的就是使 VCO 的相位與輸入信號(hào)的相位同步，使得他們的相位差很小5圖 1.鎖相環(huán)框圖1.2 鑒相器模型開發(fā)鎖相環(huán)模型的第一步就是建立鑒相器的模型。鑒相器的特性在很大程度上決定著鎖相環(huán)的工作特性6。有許多種不同類型的鑒相器，而選擇在特定環(huán)境下所使用的鑒相器模型取決于具體的應(yīng)用。最常見的鑒相器模型就是正弦鑒相器，它的輸出與輸入信號(hào)的相位差的正弦成正比。正弦鑒相器可以看成是有一個(gè)乘

3、法器和一個(gè)低通濾波器組成的7，則鑒相器輸出信號(hào)為（3）其中，稱為相位差論文開題報(bào)告范文。我們希望 VCO 的輸出相位是輸入相位的一個(gè)估計(jì)，因此，鎖相環(huán)正常工作要求相位差趨于零。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，相位差是否為零取決于輸入信號(hào)和環(huán)路濾波器8。 使用傳遞函數(shù)為 F(s)而單位沖擊響應(yīng)為 f(t) 的環(huán)路濾波器，對(duì)鑒相器輸出進(jìn)行濾波。這樣，VCO 的輸入為（4）由定義，VCO 的輸出頻率偏差與 VCO 的輸入信號(hào)成正比，這樣（5）式中，是 VCO 常數(shù)，單位。帶入上面式子可得到（6）式中。1.3 非線性相位模型從 6 式可以看出，與之間的關(guān)系與載波頻率完全沒有關(guān)系，因此仿真模型中不需要考慮載波頻率。我們要尋找

4、一個(gè)能描述與之間合適關(guān)系的模型。這種模型如圖 2 所示，稱為鎖相環(huán)非線性相位模型。由于正弦函數(shù)是非線性的，所以他是一種非線性模型。這也是一種相位模型，他建立的輸入信號(hào)相位偏差和 VCO 相位偏差之間的關(guān)系，而不是建立環(huán)路實(shí)際輸入信號(hào)與VCO 信號(hào)之間的關(guān)系9。圖 2. 鎖相環(huán)非線性相位模型1.4 線性相位模型和傳遞函數(shù)若相位差很小，可以做如下近似（7）則環(huán)路方程變?yōu)椋?）對(duì)（8）式做拉普拉斯變換，積分變換相當(dāng)除以 s 微分方程法，時(shí)域卷積相當(dāng)頻域相乘，得（9）因此，關(guān)聯(lián) VCO 相位和輸入相位的傳遞函數(shù) H(s)為（10）2仿真2.1 二階鎖相環(huán)鎖相環(huán)的捕捉和跟蹤特性很大程度上取決于環(huán)路階數(shù)1

5、0。鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)的階數(shù)等于傳遞函數(shù) H(s)中有限極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此，鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)的階數(shù)比環(huán)路濾波器傳遞函數(shù) F(s)中極點(diǎn)個(gè)數(shù)大一，這個(gè)多出來(lái)的極點(diǎn)就是來(lái)及 VCO 模型的積分器11，下面我們分析一下二階鎖相環(huán)。對(duì)于二階鎖相環(huán)，環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)一般形式是（11）實(shí)際應(yīng)用中，遠(yuǎn)小于 1。對(duì)于環(huán)路線性傳遞函數(shù)，將濾波器傳遞函數(shù)代入式（10）得（12）2.2 仿真流程圖環(huán)路濾波器不是一個(gè)真分式函數(shù)，應(yīng)用長(zhǎng)除法得（14）其中就有（15）其時(shí)域表達(dá)式為（16） 我們可以直接實(shí)現(xiàn)濾波器模型，并定義，。可以得到二階鎖相環(huán)的信號(hào)流程，如圖 3 所示。圖 3. 二階鎖相環(huán)的信號(hào)流圖2.3.使用微分方程法對(duì)鎖相環(huán)

6、仿真現(xiàn)在考慮使用微分方程法對(duì)鎖相環(huán)進(jìn)行仿真。首先導(dǎo)出微分方程。由圖 2可得（17）因?yàn)閳D 2 中鎖相環(huán)模型中的 VCO 能用一個(gè)積分器表示，于是就有（18）把式（17）代入式（18），并應(yīng)用式（11）于環(huán)路濾波器，則（19）假設(shè)二階環(huán)式是“理想的”（即=0），此問題可以得到一點(diǎn)簡(jiǎn)化。（19）由于乘 s 等于時(shí)域微分，所以得到微分方程（20）又由定義有（21）和（22）于是式子（20）可以寫成（23）式中是鎖相環(huán)的相位差，而是輸入信號(hào)的相位偏差論文開題報(bào)告范文。3仿真結(jié)果及分析假設(shè)這個(gè)系統(tǒng)在時(shí)刻有一個(gè)頻率階躍信號(hào)，此時(shí)，也即，其中=1MHz。當(dāng)=0.1，環(huán)路自由振蕩頻率=200KHz 微分方程法

7、，則由上面的仿真模型可以得到以下結(jié)果。3.1 相位誤差穩(wěn)態(tài)相位誤差可以用拉普拉斯變換終值定理來(lái)計(jì)算12。環(huán)路的閉環(huán)相位傳遞函數(shù)為 H(s)，則相位差傳遞函數(shù)為 E(s)=1H(s)，那么利用終值定理可以得到（24）代入以上數(shù)據(jù)，可以得到= 0.3755 rad，圖 4 中穩(wěn)態(tài)相位差的結(jié)果為0.384516 rad，因此，仿真結(jié)果和理論推導(dǎo)結(jié)論一致。圖 4. 相位差3.2 捕獲與跟蹤過程圖 5 顯示了 VCO 的輸出信號(hào)頻率的變化過程，能看到在頻率捕獲過程中的“周期滑動(dòng)”現(xiàn)象。這是在輸入頻率的變化大大超過環(huán)路的固有頻率時(shí)，非線性同步器表現(xiàn)出來(lái)的特性。在圖中我們也能看到相位鎖定時(shí)所需要的時(shí)間。圖

8、5. 輸入頻率和 VCO 輸出頻率4.結(jié)語(yǔ)本文通過建立鎖相環(huán)的非線性相位模型，使用微分方程法，利用 MATLAB 仿真工具，從定量上分析了鎖相環(huán)的非線性相位特性。從仿真圖形可以看到，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相吻合。通過這種分析方法，能為鎖相環(huán)設(shè)計(jì)提供定量的分析，有助于電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)。參考文獻(xiàn)1Donald R. Stephens. Phase-locked loopsforwirelesscommunicationsM.NewYork:KluwerAcademicPublisher, 2002:5-72Dan H. Wolaver. Phase-Locked LoopCircuit Design M.NewJersey:Prenti