狹義相對(duì)論公式及證明

1、狹義相對(duì)論公式及證明單位符號(hào)單位符號(hào)坐標(biāo)：m (x, y, z)力：N F(f) 時(shí)間：s t(T)質(zhì)量:kg m(M)位移：m r動(dòng)量:kg*m/s p(P)速度：m/s v(u) 能量:J E加速度： m/sA2 a 沖量：N*s I 長(zhǎng)度：ml(L)動(dòng)能：JEk路程：ms(S)勢(shì)能：JEp角速度：rad/s 3 力矩：N*m M 角加速度:rad/s2 a功率：W P牛頓力學(xué)(預(yù)備知識(shí))(一):質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式:(1)v=dr/dt,r=r 0+ / rdt(2)a=dv/dt, v=vO+ / adt(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)當(dāng)v不變時(shí)，(1)表示勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a

2、不變時(shí)，(2)表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)。只要知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程r=r(t)，它的一切運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可知了。(二)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：(1) 牛一：不受力的物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2) 牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比。F=ma=mdv/dt=d p/dt(3) 牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。(4) 萬(wàn)有引力：兩質(zhì)點(diǎn)間作用力與質(zhì)量乘積成正比，與距離平方成反比。F=GMm/r 2,G=6.67259*10 -11m3/(kg*s 2)動(dòng)量定理：1= / Fdt=p-2)1(合外力的沖量等于動(dòng)量的變化)動(dòng)量守恒：合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量保持不變。動(dòng)能定理：W=f Fds=Ek2-Ek1(合外

3、力的功等于動(dòng)能的變化)Eki+E pi=Ek2+E p2機(jī)械能守恒：只有重力做功時(shí)，(注:牛頓力學(xué)的核心是牛二：F=ma，它是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的橋梁，我們的目的是知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即求解運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),若知受力情況，根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求之。同樣，若知運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),可根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求a,再由牛二可知物體的受力情況。)狹義相對(duì)論力學(xué)：(注：丫 =1/sqr(1u2/c2), 3 =u/u,為慣性系速度。)(一) 基本原理：(1)相對(duì)性原理：所有慣性系都是等價(jià)的。(2) 光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑偈桥c慣性系無(wú)關(guān)的常數(shù)。 (此處先給出公式再給出證明)(二) 洛侖茲坐

4、標(biāo)變換：X= Y (xut)Y=yZ=zT= 丫 (tux/c2)(三) 速度變換：V (x) = (v (x)-u)/(1-V (x) u/c2)V(y)=V(y)/( Y-vi(x)u/C2)V(z)=V(z)/( Y-vi(x)u/C2)(四) 尺縮效應(yīng)： L= l/或dL=dl/ 丫(五) 鐘慢效應(yīng)： t= T或 dt=d T / 丫(六) 光的多普勒效應(yīng)：va)=sqr(1- 3 )/(1+ H) v(光源與探測(cè)器在一條直線上運(yùn)動(dòng)。)(七) 動(dòng)量表達(dá)式：P=Mv=y mv,即M=y m.(八 )相對(duì)論力學(xué)基本方程：F=d P/dt(九)質(zhì)能方程：E=Mc2(十)能量動(dòng)量關(guān)系：E2=E

5、 02+ P2c2(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內(nèi)進(jìn)行，一種在四維時(shí)空中證明，實(shí)際上他們 是等價(jià)的。)三維證明：(一) 由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公理，無(wú)法證明。(二) 洛侖茲變換：設(shè)(X, y,乙t)所在坐標(biāo)系(A系)靜止，(X,Y,乙T)所在坐標(biāo)系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在 A系原點(diǎn)處，x=0,B系中A原點(diǎn)的坐標(biāo)為 X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣 性系內(nèi)的各點(diǎn)位置是等價(jià)的，因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對(duì)論中，由于時(shí)空彎曲，各點(diǎn)不再等價(jià)，因此k不再是常數(shù)。)同理，B系中的原點(diǎn)處有X=K(x-ut),由相對(duì)性原理知，兩 個(gè)慣性系等價(jià)，除速度反向外，

6、兩式應(yīng)取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對(duì)于y,乙Y,Z皆與速度無(wú)關(guān)，可得 Y=y,(3).Z=z(4).將代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即 T=kt+(1-k 2)/(ku)x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對(duì)性原理，要確定 k需用光速不變?cè)?。?dāng)兩系 的原點(diǎn)重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一光信號(hào)，則對(duì)兩系分別有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)= 丫將丫反代入(5)式得坐標(biāo) 變換：X= Y (xut)Y=y Z=z T= 丫 (tux/c2

7、)(三) 速度變換：V(x)=dX/dT= 丫 (dxjt)/(Y-udx/c2)=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c 2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)同理可得V (y) ,V (Z)的表達(dá)式。(四) 尺縮效應(yīng)：B系中有一與x軸平行長(zhǎng)I的細(xì)桿，則由X=Y (xut)得： X=T x-u t),又 t=0(要同時(shí)測(cè)量 兩端的坐標(biāo))，則 X=Yx,即： l= L, L= l/ 丫(五) 鐘慢效應(yīng)：由坐標(biāo)變換的逆變換可知，t= 丫(T+Xu/c),故 t= yXT+ Xu/c2),又 X=0,(要在同地測(cè)量)，故 t=心 T.(注：與坐標(biāo)系相對(duì)靜止的物體的長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間

8、間隔稱固有長(zhǎng)度、靜止質(zhì)量和固有時(shí)， 是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量。)(六) 光的多普勒效應(yīng)：(注：聲音的多普勒效應(yīng)是：Va) = (U+V1)/(U-V2) (V).)B系原點(diǎn)處一光源發(fā)出光信號(hào)，A系原點(diǎn)有一探測(cè)器，兩系中分別有兩個(gè)鐘，當(dāng)兩系原點(diǎn)重合時(shí)，校準(zhǔn)時(shí)鐘開(kāi)始計(jì)時(shí)。B系中光源頻率為¥b),波數(shù)為N , B系的鐘測(cè)得的時(shí)間是 t(b),由鐘慢效應(yīng)可知，A系中的鐘測(cè)得的時(shí)間為t(a)= t(b),(1).探測(cè)器開(kāi)始接收時(shí)刻為ti+x/c,最終時(shí)刻為t2+(x+V t(a)/c,則 t(N)=(1+ 3t(a),(2).相對(duì)運(yùn)動(dòng)不影響光信號(hào)的波數(shù)，故光源發(fā) 出的波數(shù)與探測(cè)器接收的波數(shù)相

9、同，即Vb) t(b)= Va) t(N),(3).由以上三式可得：Va)=sqr(1- 3 )/(1+ 他)vY =1/sqr(1v2/c2)因?yàn)閷?duì)于動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)可選自身為參考系,(七) 動(dòng)量表達(dá)式:(注：dt= Y dT時(shí)，3 =v/c)即無(wú)論在那個(gè)慣性系內(nèi)，牛二都成立，但在洛倫茲變因此有必要對(duì)牛頓定律進(jìn)行修正，要求是在坐標(biāo)變換牛二在伽利略變換下，保持形勢(shì)不變， 換下，原本簡(jiǎn)潔的形式變得亂七八糟， 下仍保持原有的簡(jiǎn)潔形式。牛頓力學(xué)中，v=dr/dt, r在坐標(biāo)變換下形式不變，(舊坐標(biāo)系中為(x, y, z)新坐標(biāo)系中為(X,Y,Z) 只要將分母替換為一個(gè)不變量(當(dāng)然非固有時(shí)dT莫屬)就可以修

10、正速度的概念了。即令V=dr/d T = Y dr/dt=為相對(duì)論速度。牛頓動(dòng)量為p=mv,將v替換為 V，可修正動(dòng)量，即p=mV=Y mv。定義 M=y m相對(duì)論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對(duì)論力學(xué)的基本量：相對(duì)論動(dòng)量。(注：我們一般不用相對(duì)論速度而是用牛頓速度來(lái)參與計(jì)算)(八 )相對(duì)論力學(xué)基本方程：由相對(duì)論動(dòng)量表達(dá)式可知：F=d p/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內(nèi)涵不一樣。(相對(duì)論中質(zhì)量是變量)(九)質(zhì)能方程：Ek= / Fdr= / (dp/dt)*dr=/ dp*dr/dt二 / pdvdp=pv=Mv2-/ mv/sqr(-1/2/c2)dv=Mv 2+mc2*sq

11、r(1-v 2/c2)-mc2=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2=Mc2-mc2即 E=Mc2=Ek+mc2(十)能量動(dòng)量關(guān)系：E=Mc2,p=Mv, Y =1/sqr(1v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+ p2c2四：四維證明：(一) 公理，無(wú)法證明。(二) 坐標(biāo)變換：由光速不變?cè)恚篸l=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意慣性系內(nèi)都成立。定義dS為四維間隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).則對(duì)光信號(hào)dS恒等于0，而對(duì)于任意兩時(shí) 空點(diǎn)的dS 一般不為0。dS2>0稱類空間隔，dS2<0稱類時(shí)間隔，dS2=0稱類

12、光間隔。相對(duì)論 原理要求(1)式在坐標(biāo)變換下形式不變，因此(1)式中存在與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)的不變量，dS2dS2光速不變?cè)硪蠊庑盘?hào)在坐標(biāo)變換下dS是不變量。因此在兩個(gè)原理的共同制約下，可得出一個(gè)重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量。由數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換公式有：(保持y, z軸不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)x和ict軸)X=xcos 0 +(ict)sin$icT=- xs in $ +(ict)cos $Y=yZ=z當(dāng) X=0 時(shí)，x=ut,則 0=utcos 0 +ictsin $得: tan 0 =iu/c則 cos $ = ；sjn $ =iu 丫反代入上式得：X= Y （xut）Y=yZ=zT= Y （tux

13、/c2）(注： Y =1/sr(1-v2/c2),下式中 dt= Y d T) 中的dt替換為d T V=dr/d t稱四維速度。v為三維速度，ic T為第四維分量。(以下同理)（三）（四）（五）（六）（八）（十）略。（七）動(dòng)量表達(dá)式及四維矢量：令 r=（x, y, z, ict）則將 v=dr/dt則V=（y V,ic Y ）為三維分量，四維動(dòng)量：P=mV=Y mv, ic 丫 m）=（MvicM）四維力：f=dP/d T =Y dP/dt=（ Y FdM/dt）（F為三維力） 四維加速度：3 =/d T =taT Yva/c） 則 f=mdV/d T =mo（九）質(zhì)能方程：fV=m 3 V

14、=m（ Y5va+i2 yva）=0故四維力與四維速度永遠(yuǎn)垂直”（類似于洛倫茲磁場(chǎng)力）由 fV=0 得：Y A2mFv+y ic（dM/dt）（ic 丫 m）=0（l為三維矢量，且 Fv=dEk/dt（功率表達(dá)式） 故 dEk/dt=c2dM/dt 即 / dk=cA2 / dM, :Ek=Mc 2-mc2 故 E=Mc2=Ek+mc2關(guān)于第六條：通過(guò)速度變換和質(zhì)能方程(E=Mc2)可以導(dǎo)出兩個(gè)坐標(biāo)系間的能量變換公式(證明很簡(jiǎn)單, 但很繁瑣，就不寫了) ： E'= Y E(1u*v/c 2)(注：U、v都是矢量，U為參考系速度，v為光源速度，*表示點(diǎn)乘，也可以寫做：E'= Y E