第九篇解析幾何方法技巧2圓錐曲線的綜合應用

1、方法技巧2圓錐曲線的綜合應用一、圓錐曲線的最值問題【考情快遞】最值問題是高考的熱點，可能出選擇題、填空題和解答題.方法1：定義轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；將最值問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解題步驟解.解析如圖所示,|.又|PA|+ |PF' |AF'匸5,將|PF| 4= |PF '|代入，得 |PA| + |PF| 4>5,適用情況此法為求解最值問題的常用方法，多數(shù)題可以用.22【例1】？已知點F是雙曲線X4 iy2= 1的左焦點，定點A的坐標為（1,4）, P是雙曲線右支上的動點，貝U |PF| +|PA|的最小值為即 p F| 4= |PF'即|PA+|

2、PF|>9,等號當且僅當A, P, F'三點共線,即P為圖中的點Po時成立，故|PF| + |PA|的最小值為9.故填9.答案 9方法2:切線法解題步驟 求與直線平行的圓錐曲線的切線； 求出兩平行線的距離即為所求的最值.適用情況當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時用此 法.2【例2】？求橢圓X" + y2= 1上的點到直線y= x+厶/3的距離的最大值和最小值,并求取得最值時橢圓上點的坐標.解 設橢圓的切線方程為y=X+ b, 代入橢圓方程，得3x2 + 4bx + 2b2 2 = 0.由= (4b)2 4X 3X (2b2 2)= 0,得 b=

3、77;3.當b=/3W,直線y= X+V3與y= x+ 2筋的距離di = ¥，將b=/3代入方程3x2+ 4bx + 2b2 2 = 0,解得x=攀此時=¥，即橢圓上的點攀普”直線y=x+2羽的距離最小，最小值是 並當b=/3時，直線y=X羽到直線y= x+ 2羽的距離d2= 326,將b=羽代入方程 3x2+ 4bx + 2b2 2= 0,解得x=警，此時y=警,即橢圓上的點3,普卜直線y=x+23的距離最大，最大值是方法3:參數(shù)法解題步驟 選取合適的參數(shù)表示曲線上點的坐標； 求解關于這個參數(shù)的函數(shù)最值.適用情況可以用參數(shù)表示某個曲線并求得最值的問題.2【例3】？在平面

4、直角坐標系xOy中，點P(x, y)是橢圓號+ y2= 1上的一個動點,則S= x+ y的最大值為.2解析 因為橢圓+y2= 1的參數(shù)方程為|x= geos ©（©為參數(shù)）.：y= sin 6故可設動點P的坐標為(73cos(，sin(D,n,所以，當A6h /31、牙cos ©+ 2si n ©廠 2sin其中 0 W ©< 2 n.因此 S= x+ y=73cos ©+ sin 片 2時，S取最大值2.故填2.答案 2方法4:基本不等式法解題步驟 將最值用變量表示. 利用基本不等式求得表達式的最值.適用情況最值問題中的多數(shù)問

5、題可用此法【例4】？設橢圓中心在坐標原點，A(2,0), B(0,1)是它的兩個頂點，直線y= kX(k >0)與橢圓相交于E, F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.2解 依題設得橢圓的方程為4+y2= 1.直線AB, EF的方程分別為X+ 2y= 2, y= kx(k>0).設 E(X1, kXl) , F(X2, kX2),其中 X1 < X2,且 X1, X2滿足方程(1+ 4k2)x2= 4,故 X2= X1 = =21 + 4k根據(jù)點到直線的距離公式和式, 得點E，F(xiàn)到AB的距離分別為h _ |X1 + 2kX1 2|_ 21 + 2k+/1 + 4k2)h1r_

6、5(1 + 4k2)，|X2+ 2kX2 2| 2(1 + 2kp 1 + 4k2)h2_V5_51+5，又AB|_722+ 1 _/5,所以四邊形AEBF的面積為11 廠 4(1 + 2k)2(1 + 2k)S=2AB|(h1+h2)=沙r/1+4k2 + 4k -匚=叫一+廠2血1當2k= 1,即k= 2時，取等號.所以四邊形AEBF面積的最大值為2慣.、圓錐曲線的范圍問題【考情快遞】 圓錐曲線中的范圍問題是高考中的常見考點，一般出選擇題、填空題.方法1：曲線幾何性質(zhì)法【例1】解題步驟由幾何性質(zhì)建立關系式；化簡關 系式求解.適用情況利用定義求解圓錐曲線的問題.X y?已知雙曲線孑一bM 1

7、(a>0, b>0)的左，右焦點分別為F1, F2,點Pe的取值范圍是在雙曲線的右支上，且PFi| = 4|PF2|,則此雙曲線的離心率解析 根據(jù)雙曲線定義|PFi|-|PF2|= 2a,設PF2匸r,則PF1匸4r，故 3r = 2a,g卩 r = y, |PF2匸y.根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，P F2| > c- a,即yc-ac 55即3，即 ew3.又 e> 1,故雙曲線的離心率e的取值范圍是(1, 3故填(1, 1答案方法2:判別式法解題步驟 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式； 根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)求解.適用情況當直線和圓錐曲線相交、相切和相離

8、時，分別對應著直線和圓錐 曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零.此類問題可用判別式法求解.【例2】？(2011瀏陽一中月考)在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(02)且斜率2為k的直線I與橢圓I + y2= 1有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；設橢圓與X軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為 a, B,是否存在常數(shù)m,使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由.解(1)由已知條件，知直線I的方程為 尸kx+/2,2代入橢圓方程，得鄉(xiāng)+(kx+羽)2 = 1,整理得(1+汙由直線I與橢圓有兩個不同的交點P和Q, 得= 8k2 4+ k

9、2卜4k2 2>0, 解得k< ¥或k>¥， 設 P(xi, yi), Q(x2, y2),即k的取值范圍為/OOX則OP+ oQ =(X1 + X2, y1 + y2).由方程，知X1+ X2= 1+2 ：2 .又 yi + y2= k(xi + X2)+ 2也=1+2. 由 A(U2, 0), B(0,1),得AB=(邁，1).所以OP+ oQ與AB共線等價于 X1 + X2= >72(y1 + y2), 將代入，解得k=¥.J22由(1)知k< ?；騥*2， 故不存在符合題意的常數(shù)k.三、圓錐曲線的定值、定點問題【考情快遞】 此

10、類問題也是高考的熱點，圓錐曲線中的定值問題是指某些幾何 量不受運動變化的點的影響而有固定取值的一類問題，定點問題一般是指運動變 化中的直線或曲線恒過平面內(nèi)的某個或某幾個定點而不受直線和曲線的變化影 響的一類問題.方法1:特殊到一般法解題步驟 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點； 對確定出來的定值或定點進行證明.適用情況根據(jù)特殊情況能找到定值（或定點）的問題.2【例1】？已知雙曲線C: X2 專=1,過圓0: X2 + y2= 2上任意一點作圓的切線l，若I交雙曲線于A, B兩點，證明：/ AOB的大小為定值.證明 當切線的斜率不存在時，切線方程為 x= ±2. 當x/2時，代入雙曲線方程，

11、得 尸 ±2，即 A（a/2, >y2）, B（V2,V2），此時/ AOB = 90°同理，當 x=72時，/ AOB= 90°當切線的斜率存在時，設切線方程為 y= kx+ b,則，即 b2 = 2(1 + k2).V1+ k由直線方程和雙曲線方程消掉y,得(2 jx? 2kbx (b? + 2) = 0,由直線I與雙曲線交于A, B兩點.故 2 k2 工 0.設 A(X1, y1), B(x2, y2).麗 I 丄2kb (b2+ 2)則 X1 + X2= 2 k2，X1X2=2 k2 ，2 2y1y2 = (kx1 + b)(kx2 + b) = k

12、 X1X2 + kb(X1 + X2) + b k2b2 2k2 2k2b2 2b2 k2b2 2b2 2k2二2k2+ 2?+二 T，擠b2 22b2 2k2 b2 2(1+ k2)故 X1X2 + yiy2= 2 k2 + 2 k2 =2 k2由于 b2= 2(1 + k2),故 X1X2 + yiy2= 0,即 OA OB = 0,/ AOB = 90°綜上可知，若I交雙曲線于A, B兩點,則/ AOB的大小為定值90°方法2:引進參數(shù)法解題步驟 引進參數(shù)表示變化量； 研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定值或定點.適用情況定值、定點是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變

13、量與參數(shù)沒有關系的點（或值）即是定點（或定值）.【例2】？如圖所示，曲線Ci： I + 8 = 1,曲線C2： 4x,過曲線Ci的右焦點F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線Ci, C2依次交于B, C, D , E四點.若G為CD的中點、H為BE的中點，證明iCDl GF2I|為定值證明 由題意，知 F1（ 1,0）, F2（1,0）,設 B（X1, y1）, E（x2, y2）, C（X3, y3）, D（X4,y4),2 2直線y= k(x 1)，代入X9 +卷=1,得 8 #+ 1)+ 9y2 72= 0,即(8 + 9k2)y2 + 16ky 64k2 = 0,2門“16k64k2

14、則y1+y2二-8+9?，y1y2二-8+泰.同理，將 y= k(x 1)代入 y2 = 4x,得 ky2 4y-4k= 0,4則 y3+ y4= k， y3y4= 4,1所以 |BE|GF2|= |y1 y2| 2|y3+Y4|CD| |HF21- 3-y4|2|y1+ y2|/(y1- y2f (y3+ wf(y1 + y2) iy3 y4).2 f（y1 + y2） 4y1y2（y3 + y4）（y1 + y2）（y3 + y4）-4y3y4/竺丫+4 X 64k2/（8 + 9k2 $8 + 9k2Ik丿(8 + 9k 2方法運用訓練21.設P是曲線y2 = 4x上的一個動點，則點P到

15、點A( 1,1)的距離與點P到x= 1直線的距離之和的最小值為().A.承 Ba/3 C.張 D.V6A7A解析 如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0), 準線是x= 1,由拋物線的定義知:點P到直線x= 1的距離等于點P到焦點F的距離;于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點 P,使點P到點A( 1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。伙@然，連 AF交曲線于P點.故最小值為1,即為75.答案 C2.橢圓b2x2+ a2y2 = a2b2(a> b>0)和圓x2 + g+ c)有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為()B. 0<ev¥A巫 3A.

16、5 < e< 5C.5 < e< 5V3V5D.5 < e< 5解析 此題的本質(zhì)是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0, b)一個在圓外、一個在圓內(nèi)即:空/C+Q吃>2aa> 2+ cr 21 22(aC)>4a -cbv b+ cc< 2c。樂 3 ? 5 V eV 5.答案 A2 23. (2011長郡中學1次月考)設F是橢圓Y+y6 = 1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i = 1,2,3,)，使|FPi|, FP2|, |FP3|,組成公差為d的等差數(shù) 列，則d的取值范圍為.解析 若公差d>0,則|FPi|最小，|

17、FP1|=V71;數(shù)列中的最大項為'/7+1,并設為第n項, 則V7+ 1/7 1 + (n 1)d? n=d+ 1>21? d< 10,1 1注意到 d>0,得 0Vd< 10；若 dv0,易得10= dv0.- 1那么，d的取值范圍為10 0 1答案 110,4過拋物線y2= 2px(p>0)上一定點P(X0, y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于 y1 + y2A(x1, y1), B(x2, y2),當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，則 匕廠的值為yo解析 設直線PA的斜率為kpA, PB的斜率為kPB, 22y1 y02P由 y1

18、= 2px1, y0 = 2px0, 得 kFA=,X1 X0 y1 + y0同理 kpB= 2P ,y2+ y0由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,因此匕-=-，即 y1 + y2= 2y0(y0> 0),y1 + y0y2 + y0y1 + y2那么2.答案 25.橢圓b2x2+ a2y2 = a2b2(a>b>0)的左焦點為F,過F點的直線I交橢圓于A, B兩點，P為線段AB的中點，當 PFO的面積最大時，求直線l的方程.解 求直線方程，由于F( c,0)為已知，僅需求斜率k,yi + y2設 A(xi, yi), B(x2, y2), P(x0, y。)，貝U y0= 21c由于$ PFo= 2|of| |y0匸2|y0|只需保證|y0|最大即可,由 P 22(專2)22? (b2 + a2k2)y2 2b2cky b4k2= 0, lb x + a y = a by1 + y2b2ck.2 , 2 22b + a k|yo|=b2c V bC 帶 + a2|k| 2a bc2b2b得：SapfoV ，此時 jkj= a2|k|? k=盲， 故直線方程為：y= ±"(x + c).a6.(長沙雅