A全等三角形之手拉手模型、倍長中線-截長補(bǔ)短法

1、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型 特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論:(ABD AEC0A平分/ BOC變形:(2)/a +/ BOC=180例1.如圖在直線(1) ABE AE DCABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形DBCABD與BCE，連結(jié)AE與CD ,證明(3) AE與DC之間的夾角為60AGBEGBBH平分(7) GF / ACDFBCFBAHC/hG.F廠CD ,變式精練1:如圖兩個(gè)等邊三角形 ABD與 BCE ,連結(jié)AE與證明(2)(1) ABE DBC AE DCAE與DC之間的夾角為60AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分 AHC變式精練2:如圖兩個(gè)等邊

2、三角形ABD與 BCE，連結(jié)AE與CD，(1) ABE DBCAE DC證明(2)?>(3)AE與DC之間的夾角為60(4)AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H , BH平分 AHC例2：如圖，兩個(gè)正方形 ABCD與DEFG，連結(jié)AG,CE ,二者相交于點(diǎn)H問：（2）（3）（4）（1） ADGCDE是否成立?AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度？HD是否平分 AHE ？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形 ADC與EDG，連結(jié)AG,CE ,二者相交于點(diǎn)H問：（2）（3）（4）（1） ADGCDE是否成立?AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度？HD是否平分 AHE ？例4：兩個(gè)等腰三角形

3、 ABD與 BCE，其中AB BD,CB EB, ABD CBE，連結(jié)AE與CD，問：（2）（3）（4）（1） ABEDBC是否成立?AE是否與CD相等？AE與CD之間的夾角為多少度？HB是否平分 AHC ？例5:如圖，點(diǎn)A. B.?C在同一條直線上，分別以AB、BC為邊在直線 AC的同側(cè)作等邊三角形 ABD、 BCE. 連接AE、DC，AE與DC所在直線相交于 F,連接FB.判斷線段FB、FE與FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你 的結(jié)論。D【練1】如圖，三角形 ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點(diǎn) A,E,D,同在一條直線上，且角 EBD=62 求角AEB的度數(shù)倍長與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長中線類?考

4、點(diǎn)說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的 線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對三角形中、構(gòu)造全等三角形、 平移線段。【方法精講1常用輔助線添加方法一一倍長中線ADD ABC 中是BC邊中線方式1: 延長AD到E, 使 DE=AD , 連接BE方式2 :間接倍長CEC作 CF丄AD于 F,作BE丄AD的延長線于連接BE延長MD到N, 使 DN=MD 連接CD【例11已知:ABC中,AM是中線.求證:AM (AB AC).【練1丨在ABC中,AB5, AC 9，貝U BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【練2】如

5、圖所示，AC BC EC FC .ABC的AB邊上取兩點(diǎn)E、F，使AE BF，連接CE、CF，求證：【練3】如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上的一點(diǎn)，且 連結(jié)DF交BC于E.求證：DE=EF（倍長中線、截長補(bǔ)短A【例2】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線, 求證：AC【練1】如圖，已知在F，求證：ABC中，AD是BC邊上的中線,AF EFE是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F ,BD=CF,AF EF ,FE是AD上一點(diǎn)，且BE AC，延長BE交AC于如圖，在 ABC中，AB>AC , E為BC邊的中點(diǎn)，AD為/ BAC的平分線，過 E作AD

6、的平行線,【練2】交AB于F,交CA的延長線于 G 求證：BF=CG.【練于點(diǎn)【練4】如圖所示，已知 ABC中，AD平分求證：EF II ABBAC , E、F分別在【例BE3】已知AM為 ABC的中線， AMB , CF EF .AMC的平分線分別交【練BE1】在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn),4，則線段DE的長度為.D、E分別在邊CA、BBD、AD 上. DE CD , EF AC .AB于E、交AC于F .求證:CB 上，滿足 DFE 90 .若 AD 3 ,3】如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF II AD交CA的延長線于點(diǎn) F，交AB G，若BG CF，求

7、證： AD為 ABC的角平分線.【練2】如圖， ABC中，AB=2AC , AD平分BC 且 AD 丄 AC，則/ BAC=【練3】在ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M（1）若 A 90，以線段 BM、MN、 形、直角三角形或鈍角三角形？、N分別為AB、AC上的點(diǎn)，且MD ND .CN為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2，求證 AD2 - AB2 AC24C【例4】如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE , P為CE中點(diǎn)，連接PA、PD . 探究PA、PD的關(guān)系.（證角相等方法）【練1】如圖，兩個(gè)正方形 ABDE和ACGF，點(diǎn)P為BC的

8、中點(diǎn)，連接PA交EF于點(diǎn)Q . 探究AP與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（證角相等方法）【練2】如圖，在 ABC中，CD AB , BAD BDA ,2AE【例5】如圖所示，在 ABC中，AB AC，延長AB到D，使BD AB , E為AB的中點(diǎn)，連接CE、CD , 求證CD 2 EC .C【練1】已知 ABC中，AB AC , BD為AB的延長線，且 BD AB , CE為 ABC的AB邊上的中線. 求證：CD 2CE【練2】如圖,CB、CD分別是鈍角 AEC和銳角 ABC中線 且AC=AB, / ACB= / ABC.求證CE=2CD.f【例16】如圖，兩個(gè)正方形 ABDE和ACGF，點(diǎn)P為B

9、C的中點(diǎn)，連接 PA交EF于點(diǎn)Q.探究AP與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（倍長中線與手拉手模型綜合應(yīng)用）【練1】已知：如圖，正方形 ABCD和正方形EBGF，點(diǎn)M是線段DF的中點(diǎn).試說明線段 ME與MC數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.如圖，若將上題中正方形EBGF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度數(shù)（90 ），其他條件不變，上述結(jié) 論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由全等之截長補(bǔ)短： 人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在 許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用 .而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法（把長邊截成兩個(gè)短邊或把兩個(gè)短邊放到一起； 出現(xiàn)角平分線進(jìn)行翻折；有具體角的度

10、數(shù)說明要求角的度數(shù)，進(jìn)而得到角相等，全等）【例10】如圖所示,ABC 中， C 900, B 450 , AD 平分 BAC 交 BC 于 D。求證：AB=AC+CD?！揪?】如圖所示，在ABC中，B 600 , ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)0。求證:AE+CD=AC?！揪?】已知ABC 中， A 60 , BD、CE 分別平分 ABC 和 ACB ,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.BD、CE交于點(diǎn)0 ,求證:【練2】如圖，在四邊形 ABCD中,AD / BC, AE平分/ BAD交DC于點(diǎn)E，連接BE,且AE丄BE,AB=AD+BC.【練3】已知：如圖，在 ABC中，/A

11、=90° , AB=AC , BD是/ ABC的平分線。求證： BC=AB+AD.CB=2 / C （不只是邊，倍角也【練4】點(diǎn)M , N在等邊三角形 ABC的AB邊上運(yùn)動，BD=DC , / BDC=120 MDN=60 °，求證 MN=MB+NC .【例11】已知如圖所示，在 ABC中,AD是角平分線，且AC=AB+BD,試說明/ 適用）BAPBCP 1800?！揪?】如圖，在 ABC中，AB = AC , BD丄AC交AC于點(diǎn)D .求證:1/ DBC = - / BAC .2【例12】如圖所示，已知 12 , P為BN上一點(diǎn)，且【練1】如圖，在四邊形ABCD中, BO

12、 BA, AD = CD, BD平分 ABC ,【例線于求證： A13】如圖所示，在E。求證:RtBD=2CE。1】已知：如圖示，在【練是/ ABC的平分線求證:1800ABC 中，AB=AC , BACRt ABC 中，/ A=90 °，/CD=2AD .【練2】如圖所示，在 ABC中， ABC 900 , ad為求證：AC-AB=2BE。900 , ABDCCBD , CE垂直于BD的延長BABC=2 / C, BDBAC的平分線,CC=300, BE AD 于 E 點(diǎn),【練3】正方形 ABCD,E是BC上一點(diǎn)，AE EF交/ DCH的平分線于點(diǎn) F，求證AE=EF【練4】已知在

13、 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F,且DF=EF，求證: BD=CEE【練5】在四邊形ABCD中，AB / DC E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長線相交于點(diǎn) 試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【例15】如圖在 ABC中，AB>AC,【練1】已知AM為ABC的中線, 求證：BE CF EF .如圖，E是 AOB的平分線上一點(diǎn),為 C、D。求證：（1）OC=OD ;D/ 1 = / 2, P為 AD上任意一點(diǎn)，求證： AB-AC> PB-PC12AMB ,ECAMC的平分線分別交 AB于E、交

14、AC于F .OA , ED OB，垂足(2) DF=CF。構(gòu)造等邊三角形1、如圖,已知 ABC中,AB=AC,D是CB延長線上一點(diǎn),/ ADB=60 , E是AD上一點(diǎn)，且有DE=DB. 求證：AE=BE+BC.CBDC .2、在等腰 ABC中，AB AC，頂角 A 20，在邊 AB上取點(diǎn)D，使AD BC，求練習(xí)1、如圖，在 ABC中,/ ACB=90 ° ,BE平分/ ABC,DE丄AB于D,如果 AC=3cm,那么AE+DE等于A、2 cmB、3cmC、4cmD、5cm練習(xí)2、在ABC 和 ABC'中,AB=A'B',AC=A'C',點(diǎn) D

15、,D'分別是 BC,BC 的中點(diǎn)，且 AD=A'D',證明:ABC ABC'.（倍長中線）CC'D'練習(xí)3、如圖，在 ABC中，BE是/ ABC的角平分線，AD丄BE,垂足為 D，求證：/ 2= / 1 + / C練習(xí)4、如圖(1)，已知 ABC 的異側(cè)，BD丄AE于D, CE丄AE(1 )試說明：BD=DE+CE .(2) 若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 請直接寫出結(jié)果；(3) 若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 請直接寫出結(jié)果，不需說明理由.中，/ BAC=90 ° , AB=AC , AE 是過 A 于E的一條直線，且B、C在A、E(2)(3)位

16、置時(shí)位置時(shí)(BD < CE),其余條件不變,(BD > CE),其余條件不變,問BD與DE、CE的關(guān)系如何?問BD與DE、CE的關(guān)系如何?如圖所示，在 Rt ABC 中，AB = AC , / BAC = 90 于E,求證：DE = BD CE .(思路：截長補(bǔ)短法)，有過A的任一條直線 AN , BD丄AN于D, CE丄AN是三角形外一點(diǎn)，且/ ABD=60 ,BD+DC=AB.求證：/ ACD=60 .(截長補(bǔ)短)1、如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE，P為CE中點(diǎn)，連接PA、PD . 探究PA、PD的關(guān)系.（輔助線的連法都一樣），其他條件不變，上述結(jié)2、已知：如圖，正方

17、形 ABCD和正方形EBGF，點(diǎn)M是線段DF的中點(diǎn).試說明線段ME與MC數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.（輔助線的連法都一樣）如圖，若將上題中正方形EBGF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度數(shù)（90論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由3、已知AM為 ABC的中線， AMB，AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .求證：BE CF EF .（輔助線的連法都一樣）【閱讀理解】 已知：如圖1 ,等腰直角三角形 ABC中，/B=90 ° ,D是角平分線，交BC邊于點(diǎn)D .求證：AC=AB+BD證明：如圖1，在AC上截取 AE=AB，連接DE,則由已知條件易知：Rt/ADB呂RtKDE (AAS )zAED= /B=90 °,DE=DB又v/C=45 °,.DEC是等腰直角三角形.DE=EC .AC=AE+EC=AB+BD【解決問題】 已知，如圖2，等腰直角三角形 ABC中，/B=90 °,AD 是/BAC的平分線，交 BC邊于點(diǎn)D , DE丄AC,垂足為E,若AB=2，則三角形DEC的周長為【數(shù)學(xué)