能量守恒定律導(dǎo)出牛頓第二定律和萬有引力定律

1、能量守恒定律導(dǎo)出牛頓第二定 律和萬有引力定律作者:日期:能量守恒定律導(dǎo)出牛頓第二定律和萬有引力定律付昱華（中海油研究總院，E-mail:）摘要:根據(jù)真理只有一個的原則，在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)應(yīng)只有能量守恒定律一個真理。通過物 體自由下落的實例，應(yīng)用能量守恒定律分別導(dǎo)出原有的牛頓第二定律和原有的萬有引力定 律。關(guān)鍵詞：真理的唯一性，牛頓力學(xué)，能量守恒定律，牛頓第二定律，萬有引力定律De r i v in g Ne w ton's Se cond La wand Law ofGrav i tyby Using L aw of Co n s e rv a t io nEner g yF u Y u

2、hua(C N O O C R es earch I nst it ute, E-mail:)A b stract: A cco r di n g to t he p ri n ciple o f the uniqueness o sh ould be only one t r u t h, n amely law o f co ns e rv at of Ne w ton Mecha n ics. Through the e xam p1e paper d e rives the ori g inal gravit y by us in g thin t h e ar e ag bo dy

3、, t h i si nal 1 aw o ft ru t h, there on o f energy, o f f r ee fa llinNe w ton s se c ond law an d t h e orig e l a w of con s ervation o f ene r gy re s pe cti ve ly.Ke y words: Uniq u ene s s o f tr uth, New to n Mecha n ics, law o f c o nservatio n o f ene r gy, Newto n's sec on d law, 1 aw

4、 of g r a v i ty、八刖言哲學(xué)家經(jīng)常說：真理只有一個。根據(jù)這一原則，并且考慮到能量守恒定律是自然科學(xué)中 最重要的定律，因此在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)應(yīng)只有能量守恒定律一個真理。能量守恒定律的主要內(nèi)容為：在封閉系統(tǒng)中，系統(tǒng)的總能量保持不變。如所周知，牛頓在創(chuàng)立經(jīng)典力學(xué)的時候，提出了四個定律:牛頓三定律和萬有引力定律。如果將能量守恒定律作為唯一真理，那么原則上牛頓提出的四個定律，都可以根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出；經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)情況可能確實如此。本文討論如何應(yīng)用能量守恒定律分別導(dǎo)出原有的牛頓第二定律和原有的萬有引力定律。1 根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出原有的牛頓第二定律,所以我們首先給出在本部分中，只能導(dǎo)出牛頓

5、第二定律，但是要用到萬有引力定律 含有待定常數(shù)的牛頓第二定律和萬有引力定律的一般形式。假設(shè)萬有引力定律中的有關(guān)指數(shù)是未知的，只知道公式的形式為:(1)GMmDr2。,只知道公式的形式為:式中：D為待定常數(shù)，在第二部分中我們將導(dǎo)出其值等于類似地，假設(shè)牛頓第二定律中的有關(guān)指數(shù)也是未知的LD'F ma式中：D '如圖鉛垂線,y為待定常數(shù)，在本部分中我們將導(dǎo)出其值等于1。1所示,設(shè)圓O代表地球。地球的質(zhì)量為M,小球的質(zhì)量為設(shè)AO'為一條坐標(biāo)與A O平行。A C的長度為H, O ' C的長度等于地球半徑 Ro假設(shè)可以不考慮地球的運動而只考慮小球在地球引力場中的自由下落（從

6、點A到點7圖1 ,小球在地球引力場中自由下落對于本例，我們感興趣的物理量是小球在任一點P時速度的平方vp ,為了便于區(qū)別，將牛頓第二定律及萬有引力定律計算的結(jié)果仍然記為vp，將能量守恒定律計算的結(jié)果記C)。為 v'p o現(xiàn)在我們先根據(jù)能量守恒定律計算有關(guān)的物理量。由萬有引力定律（1）式可以得到小球位于任意點P時的勢能為(3)GMm(D 1忒 P1根據(jù)能量守恒定律應(yīng)有GMm(D 1)rOD'A1Imv'P2GMm(D 1)roD p1于是有v'p2GM 1_. L D 1D1 ro'p(R H)D1（5 ）現(xiàn)在我們根據(jù)牛頓第二定律及萬有引力定律計算有關(guān)的物

7、理量。(6)當(dāng)小球運動到任一點 P時，由于dtdv/dt a dyvvdv ady根據(jù)萬有引力定律(1)式可得沿鉛垂方向所受力為(8)GMmFaDro'P根據(jù)牛頓第二定律(2)式可得P處沿鉛垂方向的加速度 a為a(存D'(翌)rO'P1/D'(9)于是由(7 )式可得GM1/D'vdv 而百貸 dy(10)將上式兩端從 A到P進(jìn)行積分，可得vP 2(GM )1/D'yp(R0D/D'H y) D/Ddy2Vp2(GM)1/d'1(R H1 D/D'1 D/D'y)yp02Vp2(GM)1/D'(D/D

8、9;) 1?OOD(R H)1(D /D') 1如果要求vPV；,則應(yīng)有11/D'和 D 1(D/D')1,由這兩個方程式均可以得到：D' 1?于是對自由落體問題應(yīng)用能量守恒定律嚴(yán)格導(dǎo)出了原有的牛頓第二定律F ma。此時雖然不能導(dǎo)出原有的萬有引力定律(因D值可以是任意常數(shù)，當(dāng)然也包括D= 2),但是卻證明了對于本例，原有的萬有引力定律的結(jié)果與能量守恒定律的結(jié)果無矛盾，或者說 原有的萬有引力定律精確成立。2根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出原有的萬有引力定律為了對自由落體問題真正導(dǎo)出原有的萬有引力定律,需要考慮小球從A點自由下落一段極短距離 Z，至U達(dá)端點P'時的情況(

9、如圖1所示)。在導(dǎo)出原有的牛頓第二定律時，我們已經(jīng)得到v'P'2GM 11TV _(R H)D1式中：R H Z rO' p'由于 Z極短，在此區(qū)間引力可視為線性變化，所以在此區(qū)間引力所做功W Fav ZGM Z(R H 4 Z)D式中，F(xiàn)av為區(qū)間 Z的引力平均值,亦即區(qū)間中點的引力值。略去Z的二次項(1( Z)2)可得4GMm ZR Z H Z)D/2當(dāng)小球下落至區(qū)間Z的端點P時,其動能為1,2 GMm (R2mvP' F7(h2H)D1 (R HZ)D1 2rH R Z H Z)D 1根據(jù)能量守恒定律,應(yīng)有W -mv'P，2 P將有關(guān)量代入

10、上式可以得到GMm (R H)d 1 (R HZ)D 1 D 1 (R2 H2 2RH R Z HZ)GMm Z22D /2(R2 H 2 2RH R Z H Z)由此得到下面的三個等式D 1D/2(R H)d 1 (R HZ)D 1從這三個等式都可以得到D 2于是我們就根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出了原有的萬有引力定律。3結(jié)論及進(jìn)一步課題根據(jù)上面的結(jié)果可以說，對于自由落體問題，我們沒有依賴任何實驗結(jié)果，僅僅應(yīng)用能 量守恒定律，就導(dǎo)出了原有的牛頓第二定律和原有的萬有引力定律。在參考文獻(xiàn)in et' f orm u1,2 中，借助于胡寧教授根據(jù)廣義相對論導(dǎo)出的一個方程和比耐公式1 a ),可以得出

11、了如下改進(jìn)的牛頓萬有引力公式(B2 2GMm 3G M mp224rc r(11)式中：G為引力常數(shù)；M和m為兩物體的質(zhì)量；r為兩物體間的距離；c為光速；p為質(zhì) 量為m的物體在質(zhì)量為 M的物體的引力場中沿圓錐曲線或近似圓錐曲線運動時所得到的 半正焦弦，而且有：P a (1-e 2),對于橢圓；P a (e21 )，對于雙曲線；p= y9/2 x，對于拋物線。應(yīng)用這一改進(jìn)的牛頓萬有引力公式求解水星近日點進(jìn)動問題和光線近日偏折問題， 得結(jié)果與廣義相對論完全一致。3G2M2ma(1 e2)c2r4對于行星繞日運動問題，太陽與行星之間改進(jìn)的萬有引力公式為：匚GMmF r(12)對于光線近日偏折問題，太陽與光子之間改進(jìn)的萬有引力公式為:GMm2 r1.5GMmr02式中：r。為光線距離太陽最近的距離，如果光線與太陽相切,則等于太陽半徑。有趣的是11 )，(1 2)和(1 3)等等。該公式得出的最大值是原有萬有引力公式的兩倍半。 進(jìn)一步的課題是如何應(yīng)用能量守恒定律導(dǎo)出公式(參考文獻(xiàn)1付昱華，改進(jìn)的牛頓萬有引力公式，自然雜志,2 Fu Yuhua, Expan d in g New to n Qua d -stage Method Nw Newtonat