《概率統(tǒng)計教學(xué)資料》5-9節(jié)(生物、心理、藥學(xué)、中藥)第2章隨機變量及其分布

1、2022-1-1712022-1-1712022-1-171 在實際問題中，可能遇到多個隨機變量的在實際問題中，可能遇到多個隨機變量的情形，如：情形，如：1) 射擊問題中射擊問題中,對于彈著點往往需要橫坐標(biāo)和縱坐對于彈著點往往需要橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描述標(biāo)描述;2) 研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等體重等;3) 具體評價產(chǎn)品的質(zhì)量具體評價產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個評價指標(biāo)如尺可能有多個評價指標(biāo)如尺寸寸,外形外形,外包裝等外包裝等.二維隨機變量二維隨機變量2022-1-1722022-1-1722022-1-1721）定義：）定義：設(shè)設(shè) E 是一個隨機試驗，它的

2、樣本空間是是一個隨機試驗，它的樣本空間是S=e，設(shè)設(shè) X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定義在是定義在 S 上的隨機變量。上的隨機變量。由它們構(gòu)成的一個向量由它們構(gòu)成的一個向量 (X, Y) ，叫做二維隨機，叫做二維隨機向量，或二維隨機變量。向量，或二維隨機變量。SeX(e)Y(e)二維隨機變量及其分布函數(shù)二維隨機變量及其分布函數(shù)2022-1-1732022-1-1732022-1-173注注 意意 事事 項項我們應(yīng)把二維隨機變量) 1 ( SeeYeXYX ，之間是有聯(lián)系的；與看作一個整體，因為YX上的隨機點可看作平面，量在幾何上，二維隨機變YX)2(2022-1-1742022-1-17

3、42022-1-174 定義定義 若若X, Y均均為離散隨機變量，則為離散隨機變量，則 (X,Y ) 為為二維離散隨機變量二維離散隨機變量,且且二維離散隨機變量)1,2,(ji,y,YxXPpjiji則則稱稱) )的的所所有有可可能能取取值值為為( (X,Y), 2 , 1,(),( jiyxji1. 二維離散隨機變量的聯(lián)合分布律二維離散隨機變量的聯(lián)合分布律為為(X，Y)的分布律或聯(lián)合分布律的分布律或聯(lián)合分布律.2022-1-1752022-1-1752022-1-175YXjyyy21ixxx2111p12pjp121p22pjp21 ip2ipijp其中其中滿滿足足：ijp);, 2 ,

4、1,(, 0)1( jipij. 1)2(11 ijijp2022-1-1762022-1-1762022-1-176 例例1 一枚硬幣一面刻有數(shù)字一枚硬幣一面刻有數(shù)字1，另一面刻有數(shù)字，另一面刻有數(shù)字2.將硬幣拋兩次，以將硬幣拋兩次，以X表示第一次、第二次出現(xiàn)的表示第一次、第二次出現(xiàn)的數(shù)字之和數(shù)字之和.以以Y表示第一次出現(xiàn)的數(shù)字減去第二次出表示第一次出現(xiàn)的數(shù)字減去第二次出現(xiàn)的數(shù)字，求（現(xiàn)的數(shù)字，求（X,Y）的分布律，）的分布律，P(X+Y2).P()1,4jXi,Y解：解： 所有樣本點所有樣本點(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)X Y-101201/4031/401/440

5、1/40對應(yīng)的對應(yīng)的X取值為：取值為：2， 3，3，4 Y取值為：取值為：0，-1，1，0()(2,0),(3,-1),(3,1),(4,0)ji,P()233212PP2X + Y2022-1-177二維連續(xù)隨機變量二維連續(xù)隨機變量若存在非負(fù)若存在非負(fù)有平面上的任意區(qū)域使得對于函數(shù)GxOyyxf),(GdxdyyxfGYXP),(),(，為為二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量則則稱稱),(YX.),(稱聯(lián)合概率密度)稱聯(lián)合概率密度)稱為聯(lián)合密度函數(shù)(簡稱為聯(lián)合密度函數(shù)(簡yxf1. 二維連續(xù)隨機變量二維連續(xù)隨機變量 定義定義 設(shè)設(shè)X, Y均均為連續(xù)隨機變量，為連續(xù)隨機變量，2022-1-1

6、78 聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：性質(zhì)：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf)連續(xù)，則有)連續(xù)，則有在點(在點(若若另外，另外，yx,yx,f)( GdxdyyxfGYXP.),(),(這個公式非常重要！這個公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF Gxy( , )f x y隨機事件的概率隨機事件的概率=曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 2022-1-179二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布()iP XxijjpipX的邊緣分布的邊緣分布Y的邊緣分布的邊緣分布()jP Yyijjipp), 2 , 1(j), 2 , 1(i2022-1-1710設(shè)

7、二維隨機變量（設(shè)二維隨機變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下）的聯(lián)合概率分布如下例例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求隨機變量求隨機變量X與與Y的邊緣概率函數(shù)。的邊緣概率函數(shù)。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012022-1-1711二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布 ),(yxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為，二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量

8、 dyyxfxfX，、Y Y的邊緣密度函數(shù)：的邊緣密度函數(shù)：則隨機變量則隨機變量 X dxyxfyfY，2022-1-1712 dxyxfyfY，得得同理，由同理，由 yYPyFY ydvdxvxf，=P(-X+ ,Yy)2022-1-1713n 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于分別等價于 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , )( )( )XYf x yfxfy d)= d)ijijppp即2022-1-1714 在實際問題或應(yīng)用中，當(dāng)在實際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X X的取

9、值與的取值與Y Y的取值的取值互不影響時，互不影響時，我們就認(rèn)為我們就認(rèn)為X X與與Y Y是是相互獨立的，進(jìn)相互獨立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運用而把上述定義式當(dāng)公式運用. . 在在X X與與Y Y是是相互獨立的前提下相互獨立的前提下，( , )( )( )XYf x yfxfy2022-1-1715例例1 1的聯(lián)合概率分布為，設(shè)二維隨機變量YXX Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +ijijppp相互獨立與使得隨機變量，試確定常數(shù)YX解：由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)知0, 0, 且2/3+ +=1,即即 +=1/3,由X,Y相互獨

10、立,有2112ppp)91(319192912022-1-1716 例例3 某種保險絲的壽命某種保險絲的壽命(以以100小時計小時計)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為3的指的指數(shù)分布。數(shù)分布。（1）有兩根此種保險絲，其壽命分別為）有兩根此種保險絲，其壽命分別為X1, X2設(shè)設(shè)X1, X2相相互獨立，求互獨立，求X1, X2的聯(lián)合概率密度；的聯(lián)合概率密度；（2）在）在(1)中一根保險絲是原裝的，另一根是備用的，備用中一根保險絲是原裝的，另一根是備用的，備用保險絲只在原裝保險絲熔斷時自動投入工作，于是兩根保保險絲只在原裝保險絲熔斷時自動投入工作，于是兩根保險絲總的壽命為險絲總的壽命為X1+X2，求概率，求概

11、率P(X1+X21).12()/31129,0,0 xxexx., 0其他12(1)P XX1212( ,)Df x x dx dx121212( ,)()()XXf x xfxfx解解: X1, X2相互獨立相互獨立, 故故X1, X2的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度:11211()/3112900 xxxdxedxx2oD121xxx111211/3/311123300 xxxedxedx1211/3/3111030()|xxxedxe11/31/31/3141330()1xeedxe 2022-1-1717隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布X-2123pk0.30.20.10.42 . 0

12、) 1()0(XPYP4 . 01 . 03 . 0)2()2()3(XPXPYP一、一維隨機變量函數(shù)的分布一、一維隨機變量函數(shù)的分布求Y=X2-1的分布律例1 設(shè)隨機變量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值為0,3,84 . 0)3()8(XPYP2022-1-1718例例2. 一提煉純糖的生產(chǎn)過程，一天可生產(chǎn)純糖一提煉純糖的生產(chǎn)過程，一天可生產(chǎn)純糖1噸，但由于噸，但由于機器損壞和減速，一天實際產(chǎn)量機器損壞和減速，一天實際產(chǎn)量X是一個隨機變量是一個隨機變量,設(shè)設(shè)X的的概率密度為概率密度為其他, 010,2)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(21yYPyFyY時，當(dāng)解：分別記解：分別記

13、X，Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為一天的利潤一天的利潤Y=3X-1，Y也是隨機變量，求也是隨機變量，求Y的概率密度。的概率密度。)13 (yXP)31(yXP)31(yFX的概率密度為求導(dǎo)數(shù)，得關(guān)于將Y)(yyFY)31)(31()()(yyfyFyfXYY其他，, 02131)31(2yy其他，,0219)1(2yy2 , 1Y 1 , 0時，當(dāng)X0)()(1yYPyFyY時，當(dāng)1)(2yFyY時，當(dāng)2022-1-1719解解: (1)因為因為X在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=eX 在在(1，e)上取值。上取值。例例3. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，上

14、服從均勻分布，(1)求隨機變量求隨機變量Y=eX的概率密度的概率密度; 0)(PyF1yYyY）（時，當(dāng)上式對上式對y求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為的概率密度為)(ln)ln()()(PyFey1YyFyXPyePyYXX）（時，當(dāng)1)(PyFeyYyY）（時，當(dāng))()(yFyfYY)(ln(lnyyFXeyy或, 1, 0ey 1)(ln1yfyX,1y2022-1-1720例例3. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布， (2)求求Y=-2lnX的概率密度。的概率密度。 解解: (1)因為因為X在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=-2lnX

15、 在在(0，+)上取值。上取值。; 0)(PyF0yYyY）（時，當(dāng)上式對上式對y求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為的概率密度為)(1)(1)()ln2()(PyF0y222YyXyyeFeXPeXPyXPyY）（時，當(dāng))()(yFyfYY)(22yyXeeF0, 0y0y)(2122yXyefe,212ye2022-1-1721習(xí)題二(P70)：13,14,17(1),22,23(寫出聯(lián)合概率密度)，24，27 作業(yè)作業(yè)2022-1-1722思考題 . 1, 0, 1, 1),(yxyxyxF令令.),(量的分布函數(shù)量的分布函數(shù)是否為某個二維隨機向是否為某個二維隨機向請判斷請判斷yxF),5

16、(),4()1(),(,但但不不滿滿足足性性質(zhì)質(zhì)滿滿足足性性質(zhì)質(zhì)雖雖然然不不是是 yxF)1, 1()1 , 1()1, 1()1 , 1( FFFF因因為為. 010111 2022-1-1723備用題備用題1.次次，令令：將將一一枚枚均均勻勻的的硬硬幣幣擲擲 3的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律試試求求),(YX；數(shù)數(shù)次次拋拋擲擲中中正正面面出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次3 X；，的的可可能能取取值值為為3210X，的可能取值為的可能取值為31Y與與反反面面出出現(xiàn)現(xiàn)次次數(shù)數(shù)次次拋拋擲擲中中正正面面出出現(xiàn)現(xiàn)次次數(shù)數(shù)3 Y解解之之差差的的絕絕對對值值 2022-1-1724 30 YXP，；81 11 YXP，；83

17、 ；0 31 YXP， 12 YXP，；83 ；0 32 YXP，；0 13 YXP，81 33 YXP，；0 10 YXP，；數(shù)數(shù)次次拋拋擲擲中中正正面面出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次3 X與與反反面面出出現(xiàn)現(xiàn)次次數(shù)數(shù)次次拋拋擲擲中中正正面面出出現(xiàn)現(xiàn)次次數(shù)數(shù)3 Y之之差差的的絕絕對對值值 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為由此得隨機變量由此得隨機變量),(YXXY0 1 2 3130838308181002022-1-17252.的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量1 Y如下：如下：定義隨機變量定義隨機變量kX, 2 , 1.,1,0 kkYkYXk.21的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列和和

18、求求XX解解種種情情況況：的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列共共有有如如下下 4),(21XX)1()2, 1()0, 0(21 YPYYPXXP,63212. 0e11- 2022-1-1726, 0)2, 1()1, 0(21 YYPXXP)21()2, 1()0, 1(21 YPYYPXXP,23254. 0ee2-1- )2()2, 1()1, 1(21 YPYYPXXP.13534. 0e)2(12- YP2022-1-1727的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為所以所以),(21XX2X1X1063212. 000000. 023254. 013534. 0102022-1-17283.設(shè)隨機事件設(shè)

19、隨機事件A,B滿足滿足.21)()(,41)( BAPABPAP .0,1不不發(fā)發(fā)生生若若，發(fā)發(fā)生生若若，令令A(yù)AX .0,1不發(fā)生不發(fā)生若若，發(fā)生發(fā)生若若，BBY求求(X,Y)的分布列的分布列.解解,21)()()(,41)( APABPABPAP，又，又所以所以81)( ABP,21)()()( BPABPBAP2022-1-1729從從而而所所以以.41)( BP)(1)()0, 0(BAPBAPYXP .858141411)()()(1 ABPBPAP.818141)()()()1, 0( ABPBPBAPYXP.818141)()()()0, 1( ABPAPBAPYXP.81)()

20、1, 1( ABPYXP所以所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為2022-1-1730YX108581818110所以所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為2022-1-17314.在長為在長為a的線段的中點的兩邊隨機地各取的線段的中點的兩邊隨機地各取相相互互與與且且則則YXaaUYaUX), 2/(),2/, 0(獨立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為獨立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為 .,0,2,20,4),(2其他其他ayaaxayxpY為線段中點右邊所取點到端點為線段中點右邊所取點到端點0的距離，的距離，一點，求兩點間的距離小于一點，求兩點間的距離小于a/3的概率的概率.記記X為線段中點左邊所取點到端點為線段中點左邊所取點到端點0的距離，的距離，解解Oxa 2aXY2022-1-1732的的交交集集為為的的非非零零區(qū)區(qū)域域與與而而3/),(ayxyxp 圖的陰影部分，因此，所求概率為圖的陰影部分，因此，所求概率為)3(aXYP yaxaaxaad4d26322 .92 6axyO圖圖2-22aa2