（推薦）四川省德陽市2012高考數學難點21直線方程及其應用

1、難點21 直線方程及其應用直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎內容.應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個方面的應用，屬教材新增內容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手的.難點磁場()已知|a|1,|b|1,|c|1,求證：abc+2a+b+c.案例探究例1某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為(90°18

2、0°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(ab).問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？命題意圖：本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了直線的有關概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學問題的能力，屬級題目.知識依托：三角函數的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值.錯解分析：解決本題有幾處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值.如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復雜起來.技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應使ACB取最大值，欲求

3、角的最值，又需求角的一個三角函數值.解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x0),欲使看畫的效果最佳，應使ACB取得最大值.由三角函數的定義知：A、B兩點坐標分別為(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直線AC、BC的斜率分別為：kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB為銳角，且x0,則tanACB,當且僅當=x，即x=時，等號成立，此時ACB取最大值，對應的點為C(,0),因此，學生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳.例2預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，

4、希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用，本題主要考查找出約束條件與目標函數、準確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設的最優(yōu)解，屬級題目.知識依托：約束條件，目標函數，可行域，最優(yōu)解.錯解分析：解題中應當注意到問題中的桌、椅張數應是自然數這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設時，應作出相應地調整，直至滿足題設.技巧與方法：先設出桌、椅的變數后，目標函數即為這兩個變數之和，再由此在可行域內求出最優(yōu)解.解：設桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即

5、約束條件為由A點的坐標為(，)由B點的坐標為(25，)所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區(qū)域(如右圖)由圖形直觀可知，目標函數z=x+y在可行域內的最優(yōu)解為(25，)，但注意到xN,yN*,故取y=37.故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.例3拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p0).一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x4y17=0上的點N

6、，再折射后又射回點M(如下圖所示)(1)設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明：y1·y2=p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應用.本題是一道與物理中的光學知識相結合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬級題目.知識依托：韋達定理，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程.錯解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時.技巧與方法：點關于直線對稱是解決第

7、(2)、第(3)問的關鍵.(1)證明：由拋物線的光學性質及題意知光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，設直線PQ的方程為y=k(x) 由式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韋達定理，y1y2=p2.當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y(tǒng)1·y2=p2.(2)解：因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設點M(，4)關于l的對稱點為M(x,y)，則解得直線QN的方程為y=1,Q點的縱坐標y2=1，由題設P點的縱坐標y1=4，且由(1)知：y1·y2=

8、p2,則4·(1)=p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x.(3)解：將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4)將y=1代入直線l的方程為2x4y17=0,得x=,故N點坐標為(，1)由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y12=0,設M點關于直線NP的對稱點M1(x1,y1)又M1(,1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，1)與點M關于直線PN對稱.錦囊妙計1.對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關的問題等.2.對稱問題是直線方程的一個重要應用，中學里面所涉及到的對

9、稱一般都可轉化為點關于點或點關于直線的對稱.中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具.3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應用.線性規(guī)劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，設t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.4.由于一次函數的圖象是一條直線，因此有關函數、數列、不等式、復數等代數問題往往借助直線方程進行，考查學生的綜合能力及創(chuàng)新能力.殲滅難點訓練一、選擇題1.()設M=，則M與N的大小關系為( )A.MN B.M=N C.MN D.無法判斷2.()三邊均為整數

10、且最大邊的長為11的三角形的個數為( )A.15B.30C.36D.以上都不對二、填空題3.()直線2xy4=0上有一點P，它與兩定點A(4，1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點坐標是_.4.()自點A(3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y24x4y+7=0相切，則光線l所在直線方程為_.5.()函數f()=的最大值為_，最小值為_.6.()設不等式2x1m(x21)對一切滿足|m|2的值均成立，則x的范圍為_.三、解答題7.()已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C

11、、D兩點.(1)證明：點C、D和原點O在同一直線上.(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.8.()設數列an的前n項和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常數且b0.(1)證明：an是等差數列.(2)證明：以(an,1)為坐標的點Pn(n=1,2,)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程.(3)設a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍.參考答案難點磁場證明：設線段的方程為y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中|b|1,|c|1,|x|1,且1b1.f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c

12、)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0線段y=(bc1)x+2bc(1x1)在x軸上方，這就是說，當|a|1,|b|1,|c|1時，恒有abc+2a+b+c.殲滅難點訓練一、1.解析：將問題轉化為比較A(1，1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，kABkAC,即MN.答案：A2.解析：設三角形的另外兩邊長為x,y,則點(x,y）應在如右圖所示區(qū)域內當x=1時，y=11；當x=2時，y=10,11；當x=3時，y=9,10,11；當x=4時，y=8,9,10,11;當x=5時，y=7,

13、8,9,10,11.以上共有15個，x,y對調又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個.答案：C二、3.解析：找A關于l的對稱點A，AB與直線l的交點即為所求的P點.答案：P(5，6）4.解析：光線l所在的直線與圓x2+y24x4y+7=0關于x軸對稱的圓相切.答案：3x+4y3=0或4x+3y+3=05.解析：f()=表示兩點(cos,sin)與(2,1)連線的斜率.答案： 06.解析：原不等式變?yōu)?x21)m+(12x)0,構造線段f(m)=(x21)m+12x,2m2,則f(2)0,且f(2)0.答案： 三、7.

14、(1)證明：設A、B的橫坐標分別為x1、x2，由題設知x11,x21,點A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標分別為(x1,log2x1）、(x2,log2x2).由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,則由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直線上.(2)解：由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1x2=x13將其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)證明：由條件，得a1=S1=a,當n2時，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b.因此，當n2時，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b.所以an是以a為首項，2b為公差的等差數列.(2)證明：b0,對于n2,有所有的點Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通過P1(a,a1)且以