函數(shù)的單調(diào)性-知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)與題型歸納第三節(jié)公嬲的單調(diào)性高考明方向L理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值,最小值及其幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).備考知考情L函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是高考的熱點(diǎn)，常見問題有，求單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值，利用函數(shù)單調(diào)性比較數(shù)的大小，以及解不等式等,客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，最值的確定與簡單應(yīng)用.2.題型多以選擇題,填空題的形式出現(xiàn)，若與導(dǎo)數(shù)交匯命題，則以解答題的形式出現(xiàn).知識(shí)梳理名師一號(hào)P15注意：研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集單調(diào)區(qū)間不能并！知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性L單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般

2、地,設(shè)函數(shù)/（Q的定義域?yàn)長如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量、，%.當(dāng)三時(shí),都有/（%）“（馬），那么就說函數(shù)凡工）在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)/、時(shí)，都有A%）/（%）那么就說函數(shù)/U）在區(qū)間）上是減函數(shù)工單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)人幻在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)人幻在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間Q叫做丑的的單調(diào)區(qū)間.注意：1、名師一號(hào)P16問題探究問題1關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)注意哪些問題？（1）定義中不，也具有任意性，不能是規(guī)定的特定值.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集I（3）定義的兩種變式：設(shè)任意Ni,xiBatW且JcGh那么人）（*）。"火目在包加上

3、是增函數(shù)；10f(x匕32)<0?f(x)在a,b上是減函數(shù).x1-x2(xiX2)f(xi)f(X2)>0?f(x)在a,b上是增函數(shù);(xiX2)f(xi)f(x2)<0?f(x)在a,b上是減函數(shù).2、名師一號(hào)P16問題探究問題2單調(diào)區(qū)間的表示注意哪些問題？單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)V”聯(lián)結(jié),也不能用我”聯(lián)結(jié).知識(shí)點(diǎn)二單調(diào)性的證明方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法名師一號(hào)P16高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法(1)定義法：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：任取Xi、X2CD,且X1<X2；作差f(Xl)-f(X2),并適當(dāng)變形

4、(分解因式”、配方成同號(hào)項(xiàng)的和等)；依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性.(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)y=f(X)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo).如果f'刈>0,則f(X)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果fX)<0,則f(X)在區(qū)間D向?yàn)闇p函數(shù).注意：(補(bǔ)充)(1)若使得fX)=0的X的值只有有限個(gè)，則如果f'x)>0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果fx)<0,則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù).(2)單調(diào)性的判斷方法：名師一號(hào)P17高頻考點(diǎn)例2規(guī)律方法定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)、用已知函數(shù)的單調(diào)性等(補(bǔ)充)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1 .若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則

5、f(x)+g(x)仍為增(減)函數(shù).2 .若f(x)為增(減)函數(shù)，則f(x)為減(增)函數(shù)，如果同時(shí)有f(x)>0,則了匚為減(增)函數(shù)，fb為增(減)函數(shù).3 .互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性.4 .y=fg(x)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)Cg(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù).簡稱“同增異減”5 .奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用名師一號(hào)P17特色專題(1)求某些函數(shù)的值域或最值.(2)比較函數(shù)值或自變量值的大小.(3

6、)解、證不等式.(4)求參數(shù)的取值范圍或值.(5)作函數(shù)圖象.二、例題分析：(一)函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1.(1)名師一號(hào)P16對(duì)點(diǎn)自測1判斷下列說法是否正確函數(shù)f(x)=2x+1在(oo,+OO比是增函數(shù).()1 ，一一(2)函數(shù)f(x)=j在其止義域上是減函數(shù).()(3)已知f(x)=/X,g(x)=2x,則y=f(x)g(x)在定義域上是增函數(shù).()答案：VxV例1.(2)名師一號(hào)P16高頻考點(diǎn)例1(1)(2014北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+00比為增函數(shù)的是()_A.y=1x+1B.y=(x1)2一x-.C.y=2D.y=log).5(x+1)答案：A.例2.(1)名師一號(hào)P1

7、6高頻考點(diǎn)例1(2)判斷函數(shù)即)=普在(1,+8比的單調(diào)性，并證明.法一：定義法設(shè)1<X1<X2,ax1ax2則f(x1)f(x2)二"一斗x11x21ax1x2+laxx1+1x1+1x2+1ax1x2x1+1x2+11<x1<x2,xiX2<0,xi+1>0,X2+1>0.當(dāng)a>0時(shí)，f(xi)f(x2)<0,即f(Xl)<f(X2),函數(shù)y=f(x)在(一1,十0°比單調(diào)遞增.同理當(dāng)a<0時(shí)，f(xi)f(x2)>0,即f(Xl)>f(X2),函數(shù)y=f(x)在(一1,十0°比單調(diào)

8、遞減.法二：導(dǎo)數(shù)法注意：名師一號(hào)P17高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法1 .判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；2 .用定義法判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值一作差一變形一判號(hào)一定論，其中變形為關(guān)鍵，而變形的方法有因式分解、配方法等;3 .用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡單快捷，應(yīng)引起足夠的重視(二)求復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間例1.名師一號(hào)P16高頻考點(diǎn)例2(1)求函數(shù)y=x|1x|的單調(diào)增區(qū)問；：1,x“y=x一口一x|=、2x1,x<1.作出該函數(shù)的圖象如圖所示.由圖象可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(一8,1.例2.(1)名師一號(hào)P16高頻考點(diǎn)例2(2)求函數(shù)y=logl(x24x+3)的單調(diào)區(qū)間

9、.3解析:令u=x24x+3,原函數(shù)可以看作y=log1u與u=x24x+3的復(fù)合函數(shù).3令u=x24x+3>0則x<1或x>3.函數(shù)y=logl(x2-4x+3)的定義域?yàn)?(一°°,1)U(3,+O°).又u=x24x+3的圖象的對(duì)稱軸為x=2,且開口向上，2.u=x4x+3在(一00,1)上是減函數(shù)，在(3,+00比是增函數(shù).而函數(shù)y=loglu在(0,+00比是減函數(shù)，3.y=logl(x2-4x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+o)3單調(diào)遞增區(qū)間為(00,1).注意：名師一號(hào)P17高頻考點(diǎn)例2規(guī)律方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知

10、函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22例2.(2)(補(bǔ)充)y=10glx410glx22)2n)(i)答案：增區(qū)間：一，十空；減區(qū)間：0,-<4J44)2練習(xí):y=log2xTog2x答案：增區(qū)間：(J2,十七)；減區(qū)間：(o,J2)(三)利用單調(diào)性解(證)不等式及比較大小例1.(1)名師一號(hào)P17特色專題典例i一一一已知函數(shù)f(x)=log2x+;一,若XiC(1

11、,2),X2C(2,+oo)1x則()A.f(xi)<0,f(X2)<0B.f(xi)<0,f(X2)>0C.f(xi)>0,f(x2)<0D.f(xi)>0,f(x2)>01,一【規(guī)沱解答】:函數(shù)f(x)=lOg2X+；在(i,+00比為ix增函數(shù)，且f(2)=0,.當(dāng)xiC(i,2)時(shí)，f(xi)<f(2)=0,當(dāng)X2C(2,+O時(shí)，f(x2)>f(2)=0即f(xi)<0,f(X2)>0.例1. (2)名師一號(hào)P17特色專題 / 2-.x 4x+3, x<Q 已知函數(shù) f(x)=1x22x+3, x>0,

12、 f(a24)>f(3a)的解集為()A. (2,6) B. (-i,4) C. (i,4)典例(2)則不等式D. (-3,5)【規(guī)范解答】作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減的.由f(a24)>f(3a),可得a24<3a,整理得a2-3a-4<0,即(a+1)(a4)<0,解得1<a<4,所以不等式的解集為(一1,4).注意：本例分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以并(四)已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例1.(1)名師一號(hào)P17特色專題典例(3)(a-2)x,x之2已知函數(shù)f(x)=c、x滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)-1,x<222)xi京

13、2,都有f(Xl)f(X2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范x1-x2圍為()A.(8,2)B.Coo,限C.(8,2D.13,2)【規(guī)范解答】函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),a2<0,于是有1 a2 X2或）1 2由此解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是例2.(1)(補(bǔ)充)如果函數(shù)f(x)=ax2+2x3在區(qū)間(-壬4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1答案1，0解析當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2x3,在定義域R上單調(diào)遞增，故在(壬4)上單調(diào)遞增；1當(dāng)aw。時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為直線x=二，a一，.、，一、,一一,一1一因?yàn)閒(x)在(一8,4)上單調(diào)遞增，所以a<0,且一a4解1一一1得4

14、4<。.綜上所述4<0.例2.(2)(補(bǔ)充)若f(x)=x36ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2),則a的取值范圍是()A.(8,0B.-2,2C.2D.2,+oo)答案C解析fx)=3x26a,若a&Q則f，f(x)單調(diào)增，排除A;若a>0,貝由f'x)=0得x=占/2a，當(dāng)x<V2a和x>V2a時(shí)，f'刈>0,f(x)單調(diào)增，當(dāng)一V2a<x<V2aW,f(x)單調(diào)減，；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-丘,癥)，從而收=2,a=2.變式：若f(x)=x36ax在區(qū)間(2,2)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是?點(diǎn)評(píng)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

15、2,2)和f(x)在(一2,2)上單調(diào)遞減是不同的，應(yīng)加以區(qū)分.本例亦可用x=絲是方程f'x)=3x26a=0的兩根解彳導(dǎo)a=2.例2.(3)(補(bǔ)充)若函數(shù)f(x)=l0gi(x-ax)在(3,2)上單調(diào)遞減，2則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.9,12B.4,12C.4,27D.9,27答案：A溫故知新P23第9題2若函數(shù)f(x)=logl(xax+3a)在區(qū)間2匕,y)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一計(jì)時(shí)雙基練P217基礎(chǔ)7計(jì)時(shí)雙基練P217基礎(chǔ)8、10ax1.8、設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-2,+8)上是增函數(shù),x2a那么a的取值范圍是答案：1,二x10、設(shè)函數(shù)f(x)=(x=a)x-

16、a(2)若a>0且f(x)在區(qū)間(1,十電)內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍.答案：1,二(五)抽象函數(shù)的單調(diào)性例1.(補(bǔ)充)已知f(x)為R上的減函數(shù)，那么滿足1 -f(ll)<f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()xA.(T,1)B.(0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(8,-1)U(1,+oo)17答案：C解析：因?yàn)閒(x)為減函數(shù)，f(|1|)<f(1),所以11卜1,則|x|<1xx且XWQ即x(-1,0)U(0,1).練習(xí)：y=f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),解不等式f(1-x),二f(1-x2)答案：0,1溫故知新P12第8題一、/汪忠：解抽象函數(shù)的不等式通

17、常立足單調(diào)性定義18或借助圖像求解例2.計(jì)時(shí)雙基練P216培優(yōu)4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+9),且對(duì)一切x>0,y>0都有f(x)=f(x)-f(y),當(dāng)x>1時(shí)，有f(x)>0y(i)求f(i)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(3)若f(4)=2,求f(x)在1,16上的值域.答案：單調(diào)增；10,41注意：有關(guān)抽象函數(shù)單調(diào)性的證明通常立足定義練習(xí)：計(jì)時(shí)雙基練P218培優(yōu)4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+9),且對(duì)一切x,ywR都有f(x)+f(y)=f(x+y),當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)0,f1|.求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在I-

18、3,3】上的最大值與最小值答案：2；-2課后作業(yè)一、計(jì)時(shí)雙基練P217基礎(chǔ)1-10課本P16-17變式思考1、2;二、計(jì)時(shí)雙基練P217基礎(chǔ)11、培優(yōu)1-4課本P18對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1、2、3預(yù)習(xí)第二章第四節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性補(bǔ)充：練習(xí)1:x+3a,x<0函數(shù)f(x)=x(a>0且awl)a,xeu是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(0,1)B.3,1)C.(0,3D.(0,2分析：f(x)在R上為減函數(shù)，故f(x)=ax(x>0)為減函數(shù)，可知0<a<1,又由f(x)在R上為減函數(shù)可知，f(x)在x<0時(shí)的值恒大于f(x)在x0時(shí)的值，從而3a>1.

19、解析：二千儀)在R上單調(diào)遞減，0<a<13a>1.答案：B1,z<a<1.3練習(xí)2:13a,4a(x<1)已知f(X)=,是(一0°,+oo)上JOgaX(X>1)的增函數(shù)，那么a的取值范圍是()A.(1,+oo)B.(8,3)3C.g,3)D.(1,3)答案D解析解法1：由f(x)在R上是增函數(shù)，；f(x)在1,+oo)上單工曾，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知a>1,又由f(x)在(一8,1)上單增，；3-a>0,.a<3，又由于f(x)在R上是增函數(shù)，為了滿足單調(diào)區(qū)間的定義，f(x)在(一8,1上的最大值35a要小于等于f(x)在1,+8)上的最小3值0,才能保證單調(diào)區(qū)間的要求，丁.3-5a<0,即a>35,由可得1<a<3.解法2:令a分別等于3、0、1,即可排除A、B、C,5故選D.點(diǎn)評(píng)f(x)在R上是增函數(shù)，a的取值不僅要保證f(X)在(00,1)上和1,+oo)上都是增函數(shù)，還要保證X1<1,X241時(shí),有f(Xl)<f(X2).練習(xí)3:若函數(shù)f(x)=2x2ln