函數(shù)觀點(diǎn)下的數(shù)列問(wèn)題

1、函數(shù)觀點(diǎn)下的數(shù)列問(wèn)題德化第一中學(xué)徐建新一.教學(xué)目標(biāo)：1 .進(jìn)一步理解數(shù)列的概念，尤其是數(shù)列是特殊的函數(shù)；2 .進(jìn)一步掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；3 .會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解決某些數(shù)列問(wèn)題.2 .教學(xué)重點(diǎn)：用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題.3 .教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列是特殊的函數(shù)，理解二者的聯(lián)系與區(qū)別.4 .教學(xué)課型：高三復(fù)習(xí)課.5 .教學(xué)方法：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，自主建構(gòu).6 .教學(xué)手段：多媒體.7 .授課時(shí)間：2014年11月.8 .教學(xué)過(guò)程（一）回顧概念，構(gòu)建體系1 .數(shù)列的概念：按照一定順序排列的一列數(shù).2 .數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：數(shù)列與函數(shù)是特殊與一般的關(guān)系：數(shù)列是定義在正整數(shù)集或具有限子集上的函數(shù)數(shù)列的圖象是

2、一系列離散的點(diǎn)，這些點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上.3.完成表格，體會(huì)聯(lián)系與區(qū)別.數(shù)列an與Sn對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象等差數(shù)列ansn等差數(shù)列ansn4.思想方法：函數(shù)思想：在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，充分運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合思想：函數(shù)圖象是函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等)的直觀體現(xiàn)，以函數(shù)圖象為工具，直觀簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題.(二)研究典例，提煉方法問(wèn)題一：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式，an=3n2-28n+1,nwN*,求an的最小值.分析：an=3n2-28n+1的對(duì)稱軸n=,故25為最小值.3變式：已知數(shù)列

3、an的通項(xiàng)公式ann % 91n ；91nw N ,則數(shù)列an的取大項(xiàng)和取小項(xiàng)分別是分析：烝二心軟口+二絲，當(dāng)ncV9i時(shí)，是遞減數(shù)列且不1;當(dāng)口病時(shí),n-,91n-,91是遞減數(shù)列且an1,所以最大項(xiàng)是熊,最小項(xiàng)是a9.問(wèn)題二：已知數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式an=2n2-5九n+4,n=N,都有an書an,則實(shí)數(shù)九的取值范圍是.分析一：“對(duì)nwN*,都有an4Aan是一'個(gè)包成乂問(wèn)題.an1-an=2(n1)2-5(n1)4-(2n2-5n4)*=4n+2-5>0對(duì)n=N恒成立.4n+9.*.即九型二對(duì)nWN包成立.5p4n266又之一，所以入一.555一3»一，-*.一一.

4、分析二：對(duì)nWN,都有an+an是一個(gè)遞增數(shù)列問(wèn)題,二次函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵在于對(duì)稱軸，要注意條件nWN遞增數(shù)列與對(duì)應(yīng)的函數(shù)在1,收)否等價(jià)呢?注意連續(xù)變量與離散變量的關(guān)系,問(wèn)題三：已知等差數(shù)列£an的前n項(xiàng)和為sn,若(a2-1)3+2014(a2-1)=1,(a2013-1)3+2014-1)=7,給出兩個(gè)命題：S2014=2014,a2013：a2下列判斷正確的是()A.都假B.真假C.假真D.都真分析：設(shè)f(x)=x3+2014x,貝Uf(x)為奇函數(shù)，f'(x)=3x2+20140,f(x)單調(diào)遞增.由f(a21)=f(1a2013)=1得a21=1-a2013，:a2

5、+a20132,故真s2014a1 a20142014 =2014由f(a21)=1=1>f(a20131)得a2-1-a2013-1,a2-a2013,故真問(wèn)題四：等差數(shù)列小和等比數(shù)列bJ首項(xiàng)均為1,且公差不等于1,公比q0,q=1,則集合(n,an)|an=bn)一定含有元素分析：公差、公比都是不確定量，所以其圖象不能確定，但是,%=1+(n1)d圖像在過(guò)定點(diǎn)(1,1)的一條直線上,bn=qn的圖象在過(guò)定點(diǎn)(1,1)的指數(shù)型函數(shù)圖象上(三)自主練習(xí)，體驗(yàn)成功131 .已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=n+,n=N,則數(shù)列an的取小項(xiàng)是.分析：烝=n+13之2折，當(dāng)且僅當(dāng)n=J13時(shí)取等號(hào)，

6、先減后增，3<J13<4n131131_a3=3-丫=？自=413=7所以最小項(xiàng)是%.33442 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,公差d#0,m,nN*.若sn=sm#0,(m#n),則smn-.分析：根據(jù)已知條件可以用基本量法求解，嘗試用函數(shù)思想解決思路一：因?yàn)閟n=na1+1n(n-1)d=dn2+(a1-d)n,d#0,sn是n的二次函數(shù),222因?yàn)樯?sm#0,(m*n),根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，其對(duì)稱軸是所以smn=0.思路二：因?yàn)閟n=na1+-n(n-1)d=n2+(a1-d-)n,d00,sn是n的二次函數(shù),222nsn=dn+(a1-d)d#0sn是n的一次

7、函數(shù)，n22n所以(n,當(dāng),(m,當(dāng),(m+n,員工)三點(diǎn)共線，且斜率不為0.nmmn設(shè)&=Sm=A,則皿上j+nn,即A=&.A,故Sm*=0.m-n(mn)nmn3 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若s29=s4000,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,an)，點(diǎn)uuuuuuQ(2015,a2oi5)，則OPOQ=()A.2015B.-2015C.0D.1分析：由S29=S4000得sn關(guān)于n=294000=2014.5對(duì)稱，故sn的最大(或最小)2uuruuu值為s2014Ms2015,故a2015=0,OPQQ=1M2015+ana2015=2015+anx0=2015,故選

8、A.4 .設(shè)函數(shù)f定義如下表，數(shù)列an滿足a。=5,且對(duì)任意自然數(shù)均有an書=f(an),則a2015的值為()x12345f(x)41352(A)1(B)2(C)4(D)5分析：Q=f(a0)=f(5)=2,a2=1,a3=4,a4=5,a5=2,周期為4的數(shù)列，a2015=a45033=a3=4.(四)課堂小結(jié)，結(jié)點(diǎn)入網(wǎng)1用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，首先要研究其對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，其二要注息nWN,體會(huì)離散變量與連續(xù)變量的區(qū)別.2 .運(yùn)用函數(shù)知識(shí)、思想、方法去研究某些數(shù)列問(wèn)題，能使數(shù)列問(wèn)題的解決更有新意和綜合性.在解決數(shù)列問(wèn)題的同時(shí)，再次復(fù)習(xí)和鞏固函數(shù)的圖象與性質(zhì).3 .高三復(fù)習(xí)課與基礎(chǔ)年級(jí)新授課的