D12數(shù)列的極限65214

1、 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準(zhǔn)則、極限存在準(zhǔn)則 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢斷它的變化趨勢. .例如有這么一個(gè)變量，它開始是例如有這么一個(gè)變量，它開始是1 1，然后為，然后為 如此，一直無盡地變下去，雖然無止盡，但它如此，一直無盡地變下去，雖然無止盡，但它的變化有一的變化有一 個(gè)趨勢，這個(gè)趨勢就是在它的變化過程中越來越個(gè)趨勢，這個(gè)趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于

2、零接近于零.我們就說，這個(gè)變量的極限為我們就說，這個(gè)變量的極限為0.1 1 11,2 3 4n 在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等），并且在實(shí)際問題中極限也（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等），并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長（已知：例如求圓的面積和圓周長（已知：s=r2 l=2 r），但這兩個(gè)公式從何而來？），但這兩個(gè)公式從何而來？ 要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度形的面積和求

3、直線段的長度. 然而，要定義這種從多邊形到圓然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個(gè)突破的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個(gè)突破.一一 極限概念的引入極限概念的引入截棰問題截棰問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭” 莊周莊周莊子莊子天下篇天下篇11;2a 第第一一天天截截下下的的棰棰長長為為221;2a 第第二二天天截截下下的的棰棰長長為為1;2nnna 第第 天天截截下下的的棰棰長長為為01,2n數(shù)列的概念數(shù)列的概念 定義定義(補(bǔ)充補(bǔ)充) 如果按照某一法則如果按照某一法則, , 對(duì)每一對(duì)每一n n , 對(duì)應(yīng)著一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的

4、實(shí)數(shù)個(gè)確定的實(shí)數(shù)an, , 則得到一個(gè)序列則得到一個(gè)序列 a1, , a2, , a3, , , , an , , , , 這一序列叫做這一序列叫做無窮數(shù)列無窮數(shù)列, ,簡稱數(shù)列簡稱數(shù)列. . 記為記為an, , 其中第其中第n項(xiàng)項(xiàng)an叫做數(shù)列的叫做數(shù)列的一般項(xiàng)一般項(xiàng). . 注注 (1) 數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取值次取值12,na aa, ,如圖所示如圖所示1a2a3a4ana (2) 數(shù)列數(shù)列an可以看作自變量為正整數(shù)可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)的函數(shù): an=f(n), n n . 二二 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 一般

5、地說，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)一般地說，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， an能無能無限地接近某一個(gè)常數(shù)限地接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列為，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列收斂數(shù)列，常，常數(shù)數(shù)a稱為它的稱為它的極限極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列據(jù)此可以說，數(shù)列 是收斂數(shù)列，是收斂數(shù)列，0是它的極限是它的極限.12n數(shù)列數(shù)列2n ,(-1) n-1 都是發(fā)散的數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列. 需要提出的是，上面關(guān)于需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列收斂數(shù)列”的說法，的說法，并不是嚴(yán)并不是嚴(yán)格的定義格的定義，而僅是一種，而僅是一

6、種“描述性描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義呢把它精確地定義呢?這有待進(jìn)一步分析這有待進(jìn)一步分析.以數(shù)列以數(shù)列 為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：1( 1)1nn 1( 1)1nn 1a2a3a4a1( 1)1.nnn 觀察數(shù)列當(dāng) 無限增大時(shí)的變化趨勢觀察數(shù)列當(dāng) 無限增大時(shí)的變化趨勢1( 1),11.nnnan 當(dāng)無限增大時(shí)無限接近于當(dāng)無限增大時(shí)無限接近于從上述演示得到如下結(jié)果從上述演示得到如下結(jié)果: :隨著隨著n的無限增大，的無限增大， 無限減少無限減少 1( 1)1|11|nnn 隨著隨著n的無限增大，的無限增大， 與與1的距離

7、無限減少的距離無限減少 1( 1)1|11|nnn會(huì)任意小，只要會(huì)任意小，只要n充分大充分大 100n 只要即可。如要使如要使1000n 只要即可。如要使如要使1( 1)11|11|1000nnn 任給無論多么小的正數(shù)任給無論多么小的正數(shù) ，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)an, ，從該項(xiàng)從該項(xiàng)之后之后(nn),，1( 1)1|11|nnn 1( 1)11|11|100nnn 1( 1)1| 11|nnn 即即0,0, n,n,當(dāng)當(dāng)nnn時(shí)時(shí) 1n1 1,n 取即可。取即可。如何找（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得如何找（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：這樣這樣0, 當(dāng)當(dāng)nnnn時(shí)時(shí)1(

8、 1)111nnn 1( 1)1nn綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨n的無限增大，的無限增大，無限接近于無限接近于1，即是對(duì)任意給定正數(shù)，即是對(duì)任意給定正數(shù) ，總存在正整數(shù)，當(dāng)，總存在正整數(shù)，當(dāng)nn時(shí)，有時(shí)，有.此即該數(shù)列以此即該數(shù)列以1為極限的精確定義，為極限的精確定義，1( 1)1nn 1( 1)lim 11nnn 1111(),nnn 記作記作.或1( 1)111nnn 1 數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義 設(shè)設(shè)an為一數(shù)列為一數(shù)列, , 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)a, , 對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù) , , 總總存在正整數(shù)存在正整數(shù)n, , 使得當(dāng)使得當(dāng)nn 時(shí)

9、時(shí), , 不等式不等式 總成立總成立, , 則稱常數(shù)則稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列an的的極限極限, , 或者稱或者稱數(shù)列數(shù)列an收收斂于斂于a, , 記為記為lim ().nnnaaaan 或或|an a | 如果不存在這樣的常數(shù)如果不存在這樣的常數(shù)a, , 就說數(shù)列就說數(shù)列an沒有極限沒有極限, , 或說或說an發(fā)散發(fā)散. 0 , n n , , 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí), , 有有| an a | . 數(shù)列極限定義的簡記形式數(shù)列極限定義的簡記形式定義定義1稱為數(shù)列極限的稱為數(shù)列極限的n定義定義. limnnaa 2 數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義當(dāng)當(dāng)nn時(shí)時(shí), , 點(diǎn)點(diǎn)an全都落在鄰域全都落在鄰

10、域( (a, , a ) )內(nèi)內(nèi), ,即即任意給定任意給定a的的 鄰域鄰域( (a, , a ), ),存在存在 n n , ,aaa()(1);nnaaaa 不不等等式式刻刻劃劃了了與與 的的無無限限接接近近(2).n 與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān) 0, n n , , 當(dāng)當(dāng)n n 時(shí)時(shí), , 有有|an a| . limnnaa 分析分析例例111n 0, n n , , 當(dāng)當(dāng)n n 時(shí)時(shí), , 有有|an a| . limnnaa 要使要使只要只要 即即1( 1)lim1.nnnn 所以所以1na 1( 1)1nnn 1.n1,na 1,n 1.n 1na 1( 1)1nnn

11、 1.n 證證 對(duì)于對(duì)于 0, 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí), , 有有1( 1)lim1.nnnn 證明證明分析分析: : 例例2 設(shè)設(shè)|q| 1, 證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列 q , q2, , qn, 的極限是的極限是0. 對(duì)于對(duì)于 0 ( 1), 要使要使 | an 0 |=| qn 0 |= |q|n log|q| 就可以了就可以了.|qn 0| |q|n n2 時(shí), 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n n1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n n 時(shí), ,max21n

12、nn 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法.假設(shè)數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 n ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當(dāng) n n 時(shí) , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè),limaxnn取,1,n則當(dāng)nn 時(shí), 從而有nxaaxna1取 ,max21nxxxma1則有. ),2,1(nmx

13、n由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 .例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論(補(bǔ)充補(bǔ)充) 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .3. 收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性.若,limaxnn且0a,nn則nn 當(dāng)時(shí), 有0nx, )0(. )0(證證: 對(duì) a 0 , 取,2a,nn則,時(shí)當(dāng)nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lim0(0),(0, )nnaaaa 補(bǔ)充若或則對(duì)任

14、何補(bǔ)充若或則對(duì)任何0.(0),aaan 證設(shè)取則存在正數(shù)使得證設(shè)取則存在正數(shù)使得( ,0),().nnaannnaaaa或存在正數(shù)使得當(dāng)時(shí)有或或存在正數(shù)使得當(dāng)時(shí)有或,.nnnaaa 當(dāng)時(shí)有這就證得結(jié)果當(dāng)時(shí)有這就證得結(jié)果0,.a 對(duì)于的情形 也可類似地證明對(duì)于的情形 也可類似地證明*,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .（概念（概念（p30)）證證: 設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .若,limaxnn則,0,n當(dāng) nn 時(shí), 有axn現(xiàn)取正整數(shù) k , 使,nnk于是當(dāng)kk 時(shí), 有knknn從而有由此證明 .limaxknk*nknnxk

15、nx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、極限存在準(zhǔn)則三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限限 ,例如例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散發(fā)散 !夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則柯西審斂準(zhǔn)則 .則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1) (p49),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1n當(dāng)1nn

16、時(shí),ayn當(dāng)2nn 時(shí),azn令,max21nnn 則當(dāng)nn 時(shí), 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則2 ) ( p52 ) mxxxxnn121mxxxxnn121)(limmaxnn)(lim

17、mbxnnnx1nxm1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . (p52p54)證證: 利用二項(xiàng)式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1

18、)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .原題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理) (p55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) n ,

19、使當(dāng)nnnm,時(shí),mnxx證證: “必要性”.設(shè),limaxnn則,0nnnm,時(shí), 有 使當(dāng),2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 證明從略 .,n有柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ n ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個(gè)趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,1

20、11nxxxnn, 求nnxlim時(shí), 下述作法是否正確? 說明理由.設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對(duì)不對(duì)!此處nnxlim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)p30 3 (2) , (3) , 4 , 6p56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用數(shù)學(xué)歸納法證 2nx第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)axnnlim則由遞推公式有)(21aaaaaa)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnli