線性代數(shù)期終考試卷

1、線性代數(shù)期終考試卷試卷1)填空題(每小題4分，共20分)(1)設(shè)A= 02 則 ATA=O B , r 1- 1. 1(2)在分塊矩陣A=中，已知B 1、C 1存在，則A 1C OAB=O ,貝U r(B)=(3)設(shè)A= 2 4 0 , B為三階非零矩陣，滿足心 2 546(4)若 X=，則 X=1 321(5)三次代數(shù)方程11112412 421 x x18=0的根是82)選擇題(每小題3分，共15分)(1)設(shè) A= a210 1P1= 100 0a11 a12a22a31 a 32010 , P2= 011a13a33 ,B=a330 0a21a11a31a11a22a12a32a12a2

2、3a13a33a13(A)AP 1P2=B(B)AP2P1=B(C)P1P2A=B(D)P2P1A=B(2)設(shè)A是三階矢I陣，A*是其轉(zhuǎn)置伴隨矩陣，又 k為常數(shù)k0, 1 ,貝U (kA)*=(A)kA*(B)k2A*(C)k3A*(D)1 A*3若r(A)=r<n,則n元線性代數(shù)方程 Ax=b ()(A)又無窮多個解(B)有唯一解 (C)無解(D)不一定有解(4)下列說法中正確的是()(A )對向量組1 , k，若有全不為零的數(shù)Ci , Ck使Ci 1Ck k 0 ,則線性無關(guān)1（B）若有全不為零的數(shù) C1,Ck使C1k .線性無關(guān)（C）若向量組1k線性相關(guān)，即其中每個向量皆可由其余向

3、量線性表示（D）任彳sj n+2個n維向量必線性相關(guān)(5)矩陣A=10的特征值是（0(A)1 ,1,03)(每小題6分，共(B)-1，12分)1,(C)1,1,(D)1, -1, -1（1）計算行列式 D=(2)已知q1=,3,q2=q3,使 Q= q1 q2 q3 為正交陣。,2一 .4）（共10分）設(shè)4=,問a取何值時,4可唯一地表示成4的線性組合,并寫出此表小式（4分）。5）（共10分）給定矩陣A=陣A可對角化（4分），為什么?(2分）x1*2a x33a1x1a2x22a2 x33a2x123x22a3x33a3x1a，x22a，x33a46）（共14分）對線性代數(shù)方程組4分），為什么

4、？ （ 4分）（1）若a1，a2, a3, a4兩兩不等，問方程組是否有解(2)右 a1a3 b, a2a4b （b 0）,且已知方程的兩個解11121 ,11 1試給出方程組的通解。（6分）7）（共12分）已知二次型q=2x1,3x22+3x32+2ax2X3（a>0）通過正交變化成標(biāo)準(zhǔn)型 q=y12+2y22+5y32。試求： （1）參數(shù)a的值。（4分）（2）所用的正交變化矩陣 Q。（4分）（3）問q是否為正定二次型？為什么？ （4分）8）（共7分）已知n階矩陣A對任意n維向量x= x1,x2，,xnT , y= y1, y2 ,.,yn T均有xTAy=0。試證 A=O。、_m &

5、quot;J -、mW-1）填空題 （每小題4分，共20分）（1）設(shè)A, B,C皆為n階矩陣，已知 det（IA) 0。若 BI AB , C A CA,則B C 211(2)設(shè)A為三階非零矩陣，B 31211 a且(AB)T O ,則 a (3)設(shè)三階方陣A= , 1, 2, , B=, 1, 2,其中，1, 2均為三維列向量，且已知detA=3, detB=4,則 det(5A-2B尸 。(4)已知齊次線性方程組2bx1 (2 b a)x2(ab2a) x30x1 (a 3)x2 abx30x1 x2 ax30的解空間是二維的，則 a , b 1123設(shè)A =2 7541 14 5 _ ,

6、 3 A41A42A43A445 32) 選擇題(每小題3分，共15分)6 7(1)設(shè)A為n階矩陣，x為n維向量，則以下命題成立的是()。A)若Ax 0有解時，AT Ax 0也有解，則 A必可逆B)若AT Ax 0有解時，Ax 0也有解，則 A必可逆C) AT Ax 0的解必是 Ax 0的解D) AT Ax 0的解與Ax 0的解無任何聯(lián)系(2)若A是m (m s)矩陣，B是(m s) m矩陣，下列命題不成立的是()。A)若AB C,則C的第j列(j =1, 2,m )是以B第j列的元素為系數(shù)作 A的列向 量的線性組合。B)若AB C,則C的第i行(i =1, 2,m )是以A第i行的元素為系數(shù)

7、作 B的行向 量的線性組合。C) AB 。，且r(B) m ,則A的行向量組線性無關(guān)D) AB 。，且r(A) m,則B的任意s 1個行向量必線性相關(guān)設(shè)1, 2nr是Ax 0的基礎(chǔ)解系，則在下列向量組中也是基礎(chǔ)解系的是A)B)C)D)r等價的向量組(4)已知二次型222x1 x2 5x32txi x22x1 x34x2x3是正定的，則t的取值范圍是(A) t 0(B)t 0 (C)0 (D)若n階矩陣A、B、C滿足AB CB ,則必有()(A) A C(B) B O(C) r(AB) r(C)3) ( 9分) 設(shè)線性方程組ax y z 4x by z 3x 2by z 4(D)若A、B、C皆可

8、逆，則,A C問a、b取何值時, 表達(dá)式。卜列方程組無解、有唯一解，有無限多組解，試寫出無限多組解的通解4) (9分)給定兩組向量，1, 2, 3； 1, 2, 3其中12110 ,21 ,3111113110,21 ,30021(1)試證1, 2, 3及1, 2, 3分別線性無關(guān)；(2)設(shè) A 1, 2, 3 , B 1, 2, 3 ,若有A BC問C是否可逆？若可逆，求出 C 1.5) (9分)給出四個n維向量組(A)1,2,3；(B)1,2,3,4；(C)1,2,3,5；(D)1 , 2 ,3 ,54.設(shè)已知組（A）與（B）的秩均為3,而組（C）的秩為4,試問向量組（D）的秩等于多少？為

9、 什么？6） （9分）設(shè)二次曲面的方程axy 2xz 2byz 1（a 0）經(jīng)正交變換xy Qz化成22_222 21求a、b的值及正交矩陣Qo7） （9分）設(shè)A是一已知的n階矩陣，滿足A2A,試證2I A可逆，并求出（2I A）8） （6+6=12分）計算行列式(1) D411111 x 1x111 x 1x 111111;(2)Dnxy0000xy00000xyy000x9）（8分）已知A是任一 n階方陣，試證：若有 n維向量x使則向量組必線性無關(guān)。Anx0 但 An1x 02n 1x , Ax , A x , , A x1）判定下列命題是否 正確，若正確在括號內(nèi)填上“ M；若不正確，在括

10、號內(nèi)填上“ x”（每 題3分，共12分）（1）設(shè)A為三階實對稱陣，其特征值為 1, 2, 3,則A為正定。（）設(shè)12, 1,2T,23, 2,2T ,32, 2, 0T,則 1, 2, 3,為R3的一個基。（）（3）設(shè)A為m n階矩陣，1, 2,卜為Ax 0的k個線性無關(guān)的解向量，則12k,是Ax 0的一個基礎(chǔ)解系。（）（4）若1, 2, 3線性相關(guān)，2, 3, 4線性無關(guān)，則4一定不能由1, 2, 3線性表出。2）填空題（每空3分，共15分）0 1 0（1）設(shè) A 0 0 2 ,則 2A = , A = , （ A 為A3 0 0的轉(zhuǎn)置伴隨陣），A 1 = 。（2）設(shè)，是兩個正交的n維（非零

11、）列向量， A T則r（Ak）（k 2）。-5 a b -、，（3）設(shè)A是正交陣，則ac bdc d3） （10分）設(shè)a, b為實數(shù)，計算下列 n階行列式aaabaabaabaabaaa4） （15分）討論下列方程組在A、B取何值時，無解，有唯一解,有無窮多解；并求出當(dāng)方程有無窮多解時的通解。3x13x24x332x1x2Ax36x12x23x3B5） （8分）若已知A與B相似，且1 x 10 0 0A x 1 y ,B 0 121 y 10 0 26） （10 分）3 2 1設(shè) A 4 3 2 , B5 4 3試求A中的元素x與y之值。2 2 1B成立。3 2 2 ,試求矩陣X ,使得等式

12、AX BX A4 3 27） （ 10 分）T22已知 1,1, 0 是二次型 g（Xi,X2,X3） CX1X3 2x1X2 2x1X3 2dx2X3 的矩陣 A之特征向量，試求出化該二次型成標(biāo)準(zhǔn)型的正交變換。8） （ 12 分）已知n 階矩陣A、 B 滿足 A B AB 。（ 1 ）試證A I 為可逆陣，其中I 為 n 階單位陣；（ 2）試證必有AB BA；1303）若B 210 ，試求出A 。0029） （8分）設(shè)A、B是兩個n階矩陣，AB BA且A有n個兩兩不相等的特征值，試證: （ 1 ） A 的每個特征向量必是B 的特征向量，（ 2） B 一定可對角化。四、試卷四11） （8分）已

13、知向量g是A 的特征向量，試求 k的值，其中1211g k，A 1 2111122） （6分>< 3=18分）計算題1 ）求出 9 階行列式D 的值：19999 2999 939D1 0 1(2)設(shè)矩陣A(3)已知向量0 2 6滿足AX I A2 X ,求矩陣X。1 6 1121223131121121試求與1, 2, 3都正交的全部向量。3） (3分* 5=15分)填空題123 的列向量線性相關(guān)，則t(1)已知矩陣A 4 t31(2)已知A、B均是三階的非零陣，r(A) 2, AB O,則r(B)a11a12(3)右 A a21 a22a31a 321(4)已知11 ,0的坐標(biāo)是

14、a1310a23, P01a331001-1 ,301100 ,則 PAP 13是R3的一組基，則向量34在這組基下5(5)已知A是三階方陣,det A 3,則A的行列式值為4） (3分* 5=15分)選擇題(1) n階矩陣A有n個不同的特征值是 A與對角陣相似的()。A )充分必要條件( B )充分但不是必要的條件(C)必要但不是充分的條件(D)既非充分也不必要的條件2) n 階矩陣A、 B ，下列各式中必成立的是() 。A) (AB)2A2ABBA B2B) (AB)(AB)A2B2222C) (AB)2A22ABB2222D) (AB)2A22ABB212(3)設(shè)已知, 是 m n 線性

15、方程組( A)12是 Ax 0的解(C)12是Ax b的解(4)若 n 階矩陣 A,B 均可逆，AXB=C,( A) X A 1B 1C11(C) X CB 1A 1Ax b(b 0)的兩個解，則()12(8) 是Ax b的解12(D) 12是 Ax 0的解則( )( B) X A 1CB 111(D) X B 1CA 112(5) 設(shè) 1 , 2 是 n 階矩陣 A 的兩個特征值，其對應(yīng)的特征向量分別是1, 2 ，且已知20 ，則()( A)12是 A 的特征向量(B)12是 A 的特征向量(C)12是A2的特征向量(D)12不是A2的特征向量5)(12 分 ) 試對下列方程組討論參數(shù)取何值

16、時無解，取何值時有解并在有解的情況下求出其解。2x1 (4 k)x27(2 k)x12x232x1 5x2k 66)(10分)試求三階正交矩陣 Q,使正交變換x=Qy能將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型。f x1, x2 x32x22x1x337）（10 分 ）已知矩陣A= 143 的特征方程有重根，試求出a 的一切可能值，并125分別說明a 取各可能值時A 能否對角化的理由。8） （ 4分 +8 分 =12 分）證明題：（ 1）已知 A 是 n 階冪零陣，既存在正整數(shù)k ，使 Ak=O，試證 I-A 是可逆陣，其中I是 n 階單位陣。（ 2）設(shè)A,B 分別是 n n 及 n m 矩陣 （n m） ， 已知

17、AB=B 以及 r（B）=n ， 試證 A=I 。五、試卷五1）選擇題3 分）（1）設(shè) A= A11A12 為分塊矩陣，則AT = （）A21A22(A)A11A21A12A22(B)A11A12(C)A12A22A11A21(D)A21A11A22A12（2）已知向量組1,2, 3,4 線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）則下列向量組中線性無關(guān)的是（）3 分）(B)(C)2,2,2,3,4,3,3,(D)12, 23, 34,4,4,41（3）設(shè) A 是 m n 階矩陣，Ax=0 是非齊次線性方程組Ax=b 所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）（ 3 分）（ A ）若 Ax=0

18、 僅有零解，則Ax=b 有唯一解（ B ）若 Ax=0 有非零解，則Ax=b 有無窮多解（ C）若 Ax=b 有無窮多解，則Ax=0 僅有零解（ D ）若 Ax=b 有無窮多解，則Ax=0 有非零解（4） 1, 2都是n階矩陣A的特征值，12,且 Xi,X2分別是對應(yīng)于 1, 2的特征向量,)時，x k1x1 k2x2必是A的特征向量。(3分)(A) ki0 且 k20(B) k10且卜20(C) kik20(D) ki, k2中有且只有一個為零22二次型 f(Xi,X2,X3) = 2xi 3x2 4XiX2 10x1X3 12x2X3 的秩是()(3 分)(A)1(B) 2(C)3(D) 4 2)填空題(1)已知四階行列式 D中第三列元素依次為-1, 2, 0, 1,它們的余子式分別為 5, 3, 7,4,則D的值為 。(3分)1 2(2) A=,則與A可交換的所有二階萬陣是 (3分)11設(shè)4 4矩陣A=,2, 3, 4, B= ,2, 3,4其中，2, 3, 4均為四維列向量，且已知行列式|A 4, B1,則AB ()(3分)(4)當(dāng) 值取時，二次型 f(x1,x2,x3) 5x12 x2X2 4x1x2 2x1x3 2x2x3是正定的。(5)已知一個二次多項式 f(x),