概率論與數理統(tǒng)計第三章測試題

1、8第3章多維隨機變量及其分布、選擇題1 .設X ,Y是相互獨立的隨機變量，其分布函數分別為Fx (x ),Fy ( y),則Z = min (X, Y )的 分布函數是()(A)Fzz = max | Fxz ,Fyz(B)Fzz = min|_Fxz ,Fyz(C)Fzz =1-|1Fxz)1-Fyz (D)Fzz = Fyy2.設兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布 N(0,1)和N(1,1),則11、11(A)P(X+YE0) = (B)P(X+YW1)=(C)P(X-Y <0) =-(D)P(X-Y<1)=-22223.設二維隨機變量(X,Y )服從于二維正態(tài)分布，

2、則下列說法不正確的是()(A) X,Y 一定相互獨立 (B) X,Y的任意線性組合IiX + Y服從于一維正態(tài)分布(C) X,Y分別服從于一維正態(tài)分布(D)當參數P=0時，X,Y相互獨立4 .士門相互獨立且在10,1】上服從均勻分布，則使方程x2+2±x+n =0有實根的概率為()(A) 13(B) 12(C) 0.4930(D) 4, 95 .設隨機變量 X,Y都服從正態(tài)分布，則()(A) X+Y一定服從正態(tài)分布(B) X,Y不相關與獨立等價(C) (X,Y尸定服從正態(tài)分布(D) (X,T)未必服從正態(tài)分布6 .設隨機變量 X, Y相互獨立，且X服從正態(tài)分布N(0,52), Y服從

3、正態(tài)分布N(0,o2),則 概率 P(|X -Y |=：:1)(A)隨£與。2的減少而減少(B)隨巴與仃2的增加而減少(C)隨£的增加而減少，隨 區(qū)的減少而增加(D)隨回的增加而增加，隨 仃2的減少而減少二，一 227 .設(X,Y)的聯合概率密度為：f(x,y) =1/ x 丫<1;則*與丫為0, 其他，(A) 獨立同分布(B)獨立不同分布 (C)不獨立同分布 (D)不獨立不同分布)成立。8.設 Xi N(0,4), i =1,2, 3,且相互獨立，則(XiX Xq(A)X!N(0,1) (B)2 X3 n(o,i)© X1+X2 + X3 N(0,8)4

4、.8(D) X1+X2 X N (0, 4)9.已知隨機變量(X, Y)在區(qū)域 D=(x,y)|-1<x<1,-1<y<1上服從均勻分布，則一一1f1f1(A) P(X+Y 至0)= (B) P(XY 至0)= (C) P(max(X,Y)至 0)=444，_1(D) P(min(X,Y)之0)=410 .設兩個隨機變量 X與Y相互獨立同分布： 11.P(X = -1) = P(Y = -1)P(X =1) = P(Y =1) = -,則下列各式中成立的是22一一1f一1f1(A)p(x=Y) =(B) P(X=Y)=1 (C) P(X+Y=0)=(D) P(XY= 1

5、)= 2441101、11 .設隨機變量 Xi 11 |(i=1,2),且滿足 P(XiX2 =0) = 1 ,則 P(Xi =X2)等于<42 4."(A) 0(B) 1(C)1(D) 142、填空題1 .設X,Y是兩個隨機變量，且P(X >0,Y >0)=" , PX占0= PY之0=4 ,則77P：max X ,Y _ 0 =2.設平面區(qū)域 D由曲線xy=1及直線y = 0?=1,乂 = 32所圍成，二維隨機變量 (X,Y )在區(qū)域D上服從于均勻分布，則 (X,Y )關于X的邊緣概率密度函數在 x = 2處的值為3 2c -x 0 x 23.設隨機變

6、量X,Y同分布，X的概率密度為f (x)=<8，已知事件10 其它A = X >a,B =丫 >a相互獨立，且 P(A + B )=34,則 a =1c0.5已知 P(Y =1| X =0) =-， P(X =1 |Y =0)=-，則 a= 23,b二,c=5 .已知 X, Y 概率分布分別為p（x =1）=p（x =0） =-，P（Y=1）=號，P（Y=0）=，且244p(XY =0)=1，則 P(X=Y尸 26 .將一枚硬幣擲 3次，以X表示前2次中出現正面的次數，以Y表示3次中出現正面的次數：貝U P（Y=2|X=2） = 。7 .設X與Y相互獨立，均服從1,3上的均勻

7、分布，iE A= X< a, B=Y>a，且p（a=b） = 7, 一 9則a=8 .）設隨機變量 X和Y相互獨立，下表列出二維隨機變量（X, Y）的聯合分布律記關于 X和關于Y的邊緣分布律中的部分數值，試將其余數值填入表中的空白處:x 1X 2X 3P(Y=yj)y 11/8y 21/8P(X=x i)1/611.設二維隨機變量（X,Y）的概率分布為三、簡答題求：（1） a、b、c 的值;（2） Z的概率分布;（3） PX=Z。2.設某班車起點站上客人數X服從參數為入（入>0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率XY-101-1a00.200.1b0.2100.1C其中a、

8、b、c為常數，且為p（0<p<1）,且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數，求:（1）在發(fā)車時有n位乘客的條件下，中途有m人下車的概率;X 的數學期望 EX=- 0.2 , PY <0 / X 勺=0.5 ,記 Z=X+Y(2)二維隨機變量 (X, Y)的概率分布;3.設A, B為兩個隨機事件，且(3)求關于Y的邊緣分布。P(A) =， P(B|A)=， P(A|B)=，1,交，Y=；0, A不發(fā)生，1, B發(fā)生，0,B不發(fā)生，(1)求(X, Y)的概率分布；(2)求Z=X2 +Y2的概率分布。4.設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為f (x, y)=2 x y,

9、0,0 :二 x ：1,0 ： y ： 1;其他，(1)求P(X>2Y) ;(2)求Z=X+Y 的概率密度。5.設隨機變量 X和Y的聯合分布是正方形 G =( x, y) |1 < x < 3,1 < y <3上的均勻分布,試求隨機變量 U=|X-Y|的概率密度 p(u)。6.設二維隨機變量(X,Y)在矩形G =( x, y) | 0 < x < 2,0E y E 1上服從均勻分布，試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s)。7 .已知隨機變量Xi , X2的概率分布X1-1 1X2 144)01<22/P(XiX2 =0) =1 , 求Xi

10、和X2的聯合分布；(2 )問Xi和X2是否獨立?為什么?8.設隨機變量 X與Y相互獨立，其中 X的概率分布為0.3,而Y的概率密度為f(x),求Z=X+Y的概率密度g(u)。參考答案-、選擇題7. C8. B 9. D 10, A 11.1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. B1. 5/72. 1/43. 3/4二、填空題4. 1/6, 1/6, 1/65. 3/46. 1/27. 5/3 或 7/38.Y'；X 1X 2X 3P(Y=yj)y 11/241/81/121/4y 21/83/81/43/4P(X=x i)1/61/21/31三、簡答題1 .解：(1)由

11、二維離散型隨機變量聯合分布律的性質可得，a+b+c=0.4 ,由已知條件，EX=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2，可得-a+c=-0.1,P(Y _0|X _0)=P(Y _0, X _0)P(X _0)=a±b±01 =0.5,從而解得a b 0.5a=0.2, b=0.1 , c=0.1 ;2 2) Z的所有可能取值為-2, -1,0, 1,2,其分布律為X-2-1012P0.20.10.30.30.1 P(X=Z)=P(Y=0)=0.2。3 .解：(1) P(Y = m | X = n) =Cm pm(1 p)n;m = 0,1,.,n ;(2) P(X =

12、n,Y =m) =P(X =n)P(Y =m|X = n),n m mn-m= e Cn p (1 - p) , m =0,1,.,n; n =0,1, n!二 二，n(3) P(Y = m) =2 P(X = n,Y = m) =Ze'," Cm pm(1 - p)nmn =mn / n!(-p)mm!,m =0,1，。3.解：(1)由已知條件，得到p(ab)=P(B| A)P(A) = 1 J = 1 ； P(B) = P(AB) =1/12=3 4 12P(A|B) 1/26-1111從而有 P(X =1,Y =1) = P(AB) =2 ； P(X =1,Y =0)

13、= P(AB) = 4 2 = 6 ；111P(X =0,Y =1)=P(AB)=.K6 12121112P(X =0,Y =0) = P(AB) =1 十=_ ；1724 '4 6 123(2) Z的分布律為Z012P2/31/41/121x/24.解：(1) P(X a2Y) =1 P(X W2Y)=1 0dx (2-x - y)dyO 小竹筲2 -z， 0 MxM1,0 <z x <1；(2)先計算f(x,z_x)=/二八0,其他z故當 0vz<1 時，有 fZ(z) = f (x,z x)dx =(2 z)dx= z(2 - z);二1c當 1<z<

14、;2 時，有 fZ(z) = 1 f(x,zx)dx= (2z)dx = (2z)2;二二z 1其他情形，均有 fZ(z)=0。5.解：由有條件知 X和丫的聯合密度為f (x, y)=1/4, 1 < x < 31 < y < 3,”,others,以F(u) = P(U Mu)表示隨機變量 U的分布函數。顯然，當uM0時，F(u)=0;當u之2時F(u)=1。設 0<u<2 ,貝U F (u)=12f (x,y)dxdy 4-(2-u)|x-y|_u4于是，隨機變量的密度為1- 、(廠(2 u), P(u)=<20,0 :二 u :二 2,other

15、s.6.解：二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y) =1/2, 0<x<2,0<y<1,0,others,以F(s) = P(S Es)表示隨機變量S的分布函數。顯然，當s£0時，F(s)=0;當s±2時F(s)=1。、一一11 21s設 0Vs<2,則f (s)= 1 - 1一 dxdy= 1一一 Jdy = (1 + In 2 - In s),xy 2 22 ss/x21 -、CC于是，隨機變量的密度為f(s) =20n2-lns)，0<s<2,Qothers.7 .解：(1)XX2、-101X201/401/41/2101/201/2X11/41/21/41(2)不獨立。8 .解：先求 Z 的分布函數：F(z) = P(Z Wz) = P(X +Y W