江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020年高三教學(xué)情況調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題(含答案)

1、（第7題）2015-學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)I試題注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 .本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第 1題一一第14題）、解答題（第15題一一第20題）.本卷滿分 160分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后請(qǐng)將答題卡交回.2 .答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0. 5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3 .請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須用0. 5毫米黑色墨水的簽字筆.請(qǐng)注意字體工整筆跡清楚.4 .如需作圖，須用 2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.5 .請(qǐng)保

2、持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.參考公式：圓錐的體積公式：V圓錐=sh,其中S是圓錐的底面積，h是高.3圓錐的側(cè)面積公式：S圓錐=prl ,其中r是圓柱底面的半徑，l為母線長(zhǎng).21 n -2. . -1 n樣本數(shù)據(jù)X1 , x2,xn的萬(wàn)差s - （xi x）,其中x = - xi .n i 1n i 1、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1 .已知全集 U 1,2,3, 4,5 , A 1,2 , B 2,3, 4 ,那么 AU eu B2 .已知（a i）2 2i ,其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù) a

3、.3 .從某班抽取5名學(xué)生測(cè)量身高（單位：cm）,得到的數(shù)據(jù)為160,162,2159, 160, 159,則該組數(shù)據(jù)的萬(wàn)差 s .4 .同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻、大小相同的硬幣一次，則至少有兩枚硬幣正面 向上的概率為.5 .若雙曲線x2 my2 1過(guò)點(diǎn) J2,2 ,則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2ln 2x x6,函數(shù)f （x）的定義域?yàn)?x 17.某算法流程圖如右圖所示， 該程序運(yùn)行后，若輸出的x 15,則實(shí)數(shù)a等118 .右 tan- , tan( )§，則 tan( 2 ).9 .若直線 3x 4y m 0與圓x2 y2 2x 4y 4 0始終有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .10 .設(shè)棱

4、長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1 , Si ,底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2, 多,若七二，則目的值為 .V2 PS211 .已知函數(shù)f(x) x3 2x,若f(1) f (log i 3) 0( a 0且a 1).則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .a12 .設(shè)公差為d (d為奇數(shù)，且d 1)的等差數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn ,若Sm 19 , Sm 0 ,其中 m 3,且 m N*,則 an.13 .已知函數(shù)f(x) xx2 a ,若存在x 1,2 ,使得f (x) 2 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1, 0) , B(0, 1) , C(a,

5、b) , D(c,d),若不等式mir2urnr uuirCD >(m 2)OC ODuur uur uuir uuum(OC OB) (OD OA)對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b, c, d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大, 5 ,值是 .二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是 a, b, c,已知向量 m (cosB,cosC), n (4a b , c),且 m / n .(1)求cosC的值；(2)若c 73, ABC的面積S=T，求a, b的值.16 .(本

6、小題滿分14分)在直三棱柱 ABC AB1C1 中，CA CB, AA 72AB ,(第16題)D是AB的中點(diǎn).(1)求證：BC1 II 平面 ACD ；(2)若點(diǎn)P在線段BB1上，且BP1 -BBi, 4求證：AP 平面ACD .17 .(本小題滿分14分)某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x(單位：元，x 0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過(guò)20,則q(x) 1260 ； x 1若x大于或等于180,則銷售量為零；當(dāng) 20<x<180時(shí)，q(x) a b/ ( a , b為實(shí)常數(shù))(1)求函數(shù)q(x)的表

7、達(dá)式；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.18 .(本小題滿分16分)22在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：當(dāng) 與1(a b 0)的左，右焦點(diǎn)分別是 F1 , F2,右 a b頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為 A , B,原點(diǎn)O到直線AB的距離等于ab(1)若橢圓C的離心率等于 g,求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P ,且P在第二象限，直線PF2交y軸于點(diǎn)Q.試判斷以PQ為直徑的圓與點(diǎn)F1的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.19.(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, ai 3 ,且對(duì)任意的正整數(shù) n ,都有Sn iSn 3n 1 ,其

8、中常數(shù)0 .設(shè) bn 之(n N ) . 3(1)若 3,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若1且 3,設(shè)Cn an 二一3n (n N ),證明數(shù)列g(shù)是等比數(shù)列；3(3)若對(duì)任意的正整數(shù) n ,都有bn<3,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x) a ex x2 bx (a, b R , e 2.71828L是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其導(dǎo)函數(shù)為y f (x) .(1)設(shè)a 1,若函數(shù)y f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，求 b的取值范圍；(2)設(shè)b 0 ,若函數(shù)y f (x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a的取值范圍；(3)設(shè)b 2 ,且a 0 ,點(diǎn)(m, n) ( m , n R

9、 )是曲線y f (x)上的一個(gè)定點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù) Xo ( Xo m),使得f (xo) f (x m)(x0 m) n成立？證明你的結(jié)論.6 .2015-學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)n （附加題）.5注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 .本試卷只有解答題，供理工方向考生使用.本試卷第21題有A, B, C, D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題.若考生選做了 3題或4題，則按選做題中的前 2題計(jì)分.第 22, 23題為必答題.每小題 10分，共40分.考試時(shí)間30分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交 回.2 .答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己白姓名、準(zhǔn)考

10、證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3 .請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚.4 .如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.5 .請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.21 .【選做題】在 A, B, C, D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指走區(qū)日內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A .選修4 -1:幾何證明選講已知 ABC內(nèi)接于eO, BE是eO的直徑， AD是BC

11、邊上的高.求證：BA AC BE AD.B.選修4-2:矩陣與變換已知變換T把平面上的點(diǎn)（3, 4）, （5, 0）分別變換成（2, 1）, （ 1,2）,試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M .C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)M (1,2),傾斜角為一 以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半 3軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓 C： 6cos .若直線l與圓C相交于A, B兩點(diǎn)，求MA MB的值.D.選修45:不等式選講2、一 .、.、2a1bn (n N*).求證：1bl b2 Lbn |< - n242設(shè)x為頭數(shù)，求證：x x 1 < 3 x x 1 .【必做題】第2

12、2題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22 .(本小題滿分10分)一個(gè)口袋中裝有大小相同的 3個(gè)白球和1個(gè)紅球，從中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，若有 3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)記4次之內(nèi)(含4次)摸到紅球的次數(shù)為 X ,求隨機(jī)變量 X的分布列.23 .(本小題滿分10分)設(shè)實(shí)數(shù) a1 , a2 ,L , an 滿足 31a2 Lan0，且 |a1 | 包 | L |an |< 1 (n N * 且 n > 2),令, 11 ,1(n N*).2n2015-學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)

13、情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)I試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.一 .一 ，6111. 1,2,52. 1 3. 4.一5. 46. 0,1 U 1,27. 18.5273-u 29. 0,10 10. 311. 0,1 U 3,12. 3n 1213. （ 1,5）14.展P二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.解：(1) -.1 m / n , ccosB (4a b)cosC ,由正弦定理，得 sin CcosB (4sin A sinB)cosC ,化簡(jiǎn)，得sin（BC) 4sin AcosCA B C p , s

14、in A sin(B C)又 A 0,p , , sinA 0, cosC 1 . 4(2)C 0,p , cosC 1 /. sinC J1 cos2 C 11 154164115一- S absinC ， ab 2 .24c曲，由余弦定理得3 a2 b2 1ab, 212分庭（舍負(fù)），所以b Ra2 b2 4 ,由，得a4 4a2 4 0,從而a2 2 , a14分16 .證明：（1）連結(jié)ACi,設(shè)交AiC于點(diǎn)O,連結(jié)OD .四邊形AA1C1C是矩形，O是ACi的中點(diǎn).在ABCi中，O, D分別是ACi, AB的中點(diǎn),又 OD 平面 ACD , BC1 平面 ACD ,BC1 / 平面 A

15、CD .(2) CA CB ,D是AB的中點(diǎn)，CD AB .又在直二棱柱ABC AB1C1中，底面 ABC，側(cè)面AAiBiB ,交線為 AB,CD平面ABC ,CD 平面 AAiBiB . AP平面ABiBA ,CD AP. BB1V2BA, BB1flfl 2 1 2AA1 , BP BB1 ,4BPBA2 AD一=一,4 AA1 RtA ABPs RtA A1AD ,從而/AAD =/ BAP ,所以/ AAD+/ AiAP =Z BAP+Z AAP = 90 ,AP12分又 CD I A1D D , CD 平面 ACD , AD平面ACDAP 平面 ACD .14分17.-， a解：(1

16、)當(dāng) 20< x< 180時(shí)，由a20,18060,0,a 90, b 3 .5.1260x 1故 q(x)= 90 3 5 . x,200,:x w 20,x< 180, 180(2)設(shè)總利潤(rùn)f(x)x q(x),126000x由(1)得 f (x)=x 19000x 30075 xTx ,20<20,180,0,180當(dāng) 0 x<20 時(shí)，f (x) 126000x 126000 126000 , f (x)在0,20上單調(diào)遞增,x 1x 1所以當(dāng)x 20時(shí)，f(x)有最大值120000.45075 瓜,10分當(dāng) 20 x4180時(shí)，f(x) = 9000x

17、30075 xx, f (x)=9000令 f (x)=0，得 x 80.當(dāng)20 x 80時(shí)，f (x) 0 , f(x)單調(diào)遞增,當(dāng) 80 x<180 時(shí)，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x 80時(shí)，f(x)有最大值240000.12分. 13 14分18.解：由題意，得點(diǎn) A(a,0),B(0,b),直線AB的方程為- a b1 ,即 ax by ab由題設(shè)，得化簡(jiǎn)，得a2 b2 1 .(1) e c ab2aI，即 a23b2由，解得b2I414所以，橢圓C的方程為24x3當(dāng) 180 x時(shí)，f(x) 0 .答：當(dāng)x等于80元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值 240000元.(2)點(diǎn)

18、F1在以PQ為直徑的圓上.由題設(shè)，直線l與橢圓相切且l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:2. 2a b 0,(*)則=(2 ka2)2 4(b2 a22222k )(a a b )化簡(jiǎn)，得1 b2 a2k2k2b22a10分點(diǎn)P在第二象限，把k 1代入方程(*)242ax a11分19解得x a2 ,從而y b2,所以P( a2,b2)2從而直線PF2的方程為：y b2 !2(x a2), a c2q4) a +cuur 22uurb2c從而 F1P=( a c,b), FQ =(c,)， a +cuuur uuir2從而 FiP FQ c( a c)b4ca +c_ c( a4 c2 + b4)

19、c( a4 b4 c2)a2+ca2 + c-2, 2,2, 22又 a b 1, a =b +c ,uir uuir. FiP FiQ 0所以點(diǎn)Fi在以PQ為直徑的圓上.解：Sn iSn3n 1, n N ,22222c (b a )(b a ) c2=0， a +c12分13分15分16分2an 133'15'，當(dāng) n>2時(shí)，Sn Sn-i 3n,從而anan又在SnSn3n1中，令n i,可得a22 31 ,滿足上式,所以anan(1)當(dāng)3時(shí),3an 23n從而an ian2T - n 1 n- ?333即bn 1bn又bibn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列, 3所

20、以2n 1bn 31時(shí),cn an3nn 1an i2 33nn 1 ,3 (3 3)(an 1又 G 3 -63所以Cn是首項(xiàng)為3(1)33(1)3-,公比為 的等比數(shù)列,3(1) n 1cn3(3)在(2)中，若1 ,則cn 0也適合，所以當(dāng)3時(shí),cn3(1)從而由(1)(2n 1) 3(2)可知 an3( i)33,3.3時(shí),3時(shí),3時(shí),bnbn2n 1313,顯然不滿足條件，故(-)n1310分1時(shí),1313bn bn 1 ,1,),不符合，舍去.11分0 , bnbn所以只須b11 < 3即可，顯然成立.故 01符合條件;12分1時(shí)，bn 1 ,滿足條件.故1符合條件;13分0

21、 ,從而bn因?yàn)閎l1 0 .故 bn1,要使bn & 3成立，只須二一w 3即可.315分綜上所述，所求實(shí)數(shù)的范圍是(016分20.解：(1)當(dāng) a 1 時(shí),一x 2一f (x) e x bx, /. f (x)由題意f (x) ex 2xb< 0對(duì)x R恒成立.由 ex 2x bw 0 ,得令 F(x) -ex 2x,則 F(x) -ex 2,令 F (x) 0,當(dāng)x ln2時(shí)，F(xiàn) (x) 0, F(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x ln2時(shí),F (x) 0, F(x)單調(diào)遞減,從而當(dāng)x ln2時(shí)，F(xiàn)(x)有最大值21n2 2,所以 b>2ln2 2. 19 ,(2)當(dāng)b 0時(shí)，f

22、(x) aex x2,由題意aex x2 0只有一解.22x(2 x)x 'e, x 2X -X 由 ae x 0 ,倚 a , v G(x) -x-,則 G (x) ee令 G (x) 0,得 x 0或 x 2 .當(dāng)x40時(shí)，G(x)W0, G(x)單調(diào)遞減，G(x)的取值范圍為 0,4當(dāng)0 x 2時(shí)，G(x) 0, G(x)單倜遞增，G(x)的取值范圍為 0,-2 , e4當(dāng)x>2時(shí)，G(x)W0, G(x)單倜遞減，G(x)的取值范圍為 0,二, e44由題意，得 a 0或a 從而a 0或a ee所以當(dāng)a 0或a4時(shí)，函數(shù)y f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).e(3) f (x) ae

23、x x2 2x, f (x) aex 2x 2 ,假設(shè)存在，則有f(x0).x0 mf (2 )(xO m) n x° m.f ()(x0 m) f (m),2即 f(x" f(m)x0 m% m fY),( aek 2 寸 2,f(xJ f(m)x0 ma(e* em) (x。2 m2) 2(% m)x0 mx0 m(x0x0m/ % a(e*)10分x0 mx me,不妨設(shè)tx0m0,t tt兩邊同除以em ,得e2 =,即teet 1 ,tttt t t令 g(t) et te2 1,則 g (t) et (e2 1e2) e2(e2 - 1),22ttt人ot 18

24、11K令 h(t)e21,則h(t) -e2 (e21) 0 ,222 2h(t)在(0,)上單調(diào)遞增，12分又. h(0) 0, h(t) 0X(0,)恒成立,14分即g (t) 0對(duì)t (0 ,)恒成立, g(t)在(0,)上單調(diào)遞增，又g(0) 0, g(t) 0 Xt (0,)恒成立，即(*)式不成立，15分，不存在實(shí)數(shù) X0 ( X0 m),使得 f(x0) f (x0-m)(x0 m) n 成立. 16 分22013-2014學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)H (附加題)參考答案,每小題10分，共計(jì)20分.21、【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做兩題A.選修4

25、1:幾何證明選講證明：連結(jié)AE.BE 是 e O 的直徑，BAE 90 .BAE ADC .又 BEA ACD,BEAA ACD .BEBAACADBA AC BE AD .7分10分1120. 20 .B.選修4-2:矩陣與變換解：設(shè)M3a 4b 2,5a 1,3c 4d 1, 5c 2.b解得132011310分520211520C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線x 1l的參數(shù)方程為2(t為參數(shù)), 四，2圓C的普通方程為(x 3)2直線l的參數(shù)方程代入圓 C的普通方程，得t22( 3 1)t1 0,. 23 ,設(shè)該方程兩根為t1, t2 ,則t1 t21 .10分MA MB= ti t2 =1 .D.選修45:不等式選講證明：因?yàn)橛乙蛔蠖?x4 2x32x 2x 1)10分