微積分課件：ch3_8 定積分的幾何應(yīng)用舉例

1、第八節(jié)第八節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例定積分的幾何應(yīng)用舉例 本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)利用定積分來解決常見的幾個(gè)幾何問題本節(jié)利用定積分來解決常見的幾個(gè)幾何問題.一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、空間圖形的體積二、空間圖形的體積三、平面曲線的弧長(zhǎng)三、平面曲線的弧長(zhǎng)元素法元素法 在定積分的引入問題中在定積分的引入問題中, 我們看到我們看到: 為求曲邊梯形的面為求曲邊梯形的面積積, 我們將區(qū)間我們將區(qū)間 分成分成 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間, 由面積的可加性由面積的可加性, a bn面積為面積為 個(gè)小曲邊梯形面積之和個(gè)小曲邊梯形面積之和, 即即n12,nAAAA 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)很小時(shí)，時(shí)很小時(shí)，x ,iiiAfx

2、OxyiA由面積的可加性由面積的可加性, 再由無(wú)窮和即為積分再由無(wú)窮和即為積分, 即得即得OxyiAA iifx1ni0limOxyiA如果將小區(qū)間如果將小區(qū)間 用用 代替代替, 取為取為 1,iixx,dx xxix d ,iAf xx則則 dfxxOxy diAfxx 我們將我們將 稱為稱為面積元素面積元素. ddAf xx ddAfxxA iifx1ni0lim再將和式的極限再將和式的極限 用積分符號(hào)用積分符號(hào) 代替代替, 得得ba01limni dfxxba 上述對(duì)曲邊梯形面積的討論方法可以大大簡(jiǎn)化將實(shí)際上述對(duì)曲邊梯形面積的討論方法可以大大簡(jiǎn)化將實(shí)際常用的常用的元素法元素法.問題轉(zhuǎn)化為

3、定積分的過程，幾何中的面積、體積、弧長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為定積分的過程，幾何中的面積、體積、弧長(zhǎng),物理中的功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等都可以采用上述做法物理中的功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等都可以采用上述做法, 將所將所求的幾何量和物理量轉(zhuǎn)化為定積分求的幾何量和物理量轉(zhuǎn)化為定積分. 這就是實(shí)際問題中這就是實(shí)際問題中 元素法的一般想法元素法的一般想法: 設(shè)所考慮問題為變量設(shè)所考慮問題為變量 確定確定,U U, a b區(qū)間區(qū)間 分成分成 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間, 在區(qū)間在區(qū)間 上上, 相相n,dx xx應(yīng)的應(yīng)的 的部分量的部分量 的近似量有表達(dá)式的近似量有表達(dá)式:UU dd ,Uf xx則有則有: d .baUf xx, a b了區(qū)間了區(qū)

4、間 上的函數(shù)上的函數(shù), 并且關(guān)于該區(qū)間滿足可加性并且關(guān)于該區(qū)間滿足可加性, 將將 下面就一些具體的幾何問題和物理問題下面就一些具體的幾何問題和物理問題, 我們用定積我們用定積分的元素法去解決這些問題分的元素法去解決這些問題.一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 1.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲邊形由兩條曲線設(shè)曲邊形由兩條曲線 （其中（其中 12,yfxyfx,xa xb 分析分析: 取取 為積分變量為積分變量, 變化區(qū)變化區(qū)x間為間為 在小區(qū)間在小區(qū)間 上上,dx xx,a b 1221, ,ffC a bfxfxxa b且且 ）及直線）及直線圍成圍成, 求其面積求其面積.窄曲邊形的面積近似

5、為窄曲邊形的面積近似為 2yfx 1yfxabxyO 21dd ,Afxfxx所以得到平面圖形為所以得到平面圖形為注意到該問題的幾何意義也是相當(dāng)明顯的注意到該問題的幾何意義也是相當(dāng)明顯的. 21d .baAfxfxx 2yfx 1yfxabxyOxdxxdA例例1 求由求由 圍成的面積圍成的面積. 2,1xyx xy解解 由面積的計(jì)算公式得區(qū)域的面積為由面積的計(jì)算公式得區(qū)域的面積為211dAxxx2211ln2xx3ln2.2xyO12例例2 求由曲線求由曲線 圍成的面積圍成的面積.22 ,4yx yx解解 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn):22 ,4yxyx以以 為積分變量為積分變量, 則則y從而得

6、到交點(diǎn)為從而得到交點(diǎn)為 2, 2 , 8,4 .2d4d ,2yAyy224210160,xxxx2, 2xyO8422xy4yx所以區(qū)域的面積為所以區(qū)域的面積為423422214d418.226yyAyyyy2, 2xyO8422xy4yx解解 以以 為積分變量為積分變量, 再利用對(duì)稱性再利用對(duì)稱性, 則有當(dāng)則有當(dāng) x2x 時(shí)時(shí), 在在 軸上下的兩塊面積相等軸上下的兩塊面積相等, 故故xd2 2 d 0,2 ,Ax xx而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí), 28xd24 d ,Axxx故相應(yīng)的面積為故相應(yīng)的面積為2, 2xyo8422xy4yx1A2A28022 2 d24 dAx xxxx 283322220

7、421224332xxxx166483232218.333 在上題的兩種解法中可以看到在上題的兩種解法中可以看到, 由于積分變量選擇的由于積分變量選擇的不同不同, 會(huì)使積分過程產(chǎn)生很大的不同會(huì)使積分過程產(chǎn)生很大的不同.例例3 求由拋物線求由拋物線 及其在點(diǎn)及其在點(diǎn) 處的切線和處的切線和21yx 1,0解解 拋物線在點(diǎn)拋物線在點(diǎn) 處的切線方程為處的切線方程為1,021 .yx 故面積為故面積為120221dAxxx 123011.33xxxy 軸所圍成區(qū)域的面積軸所圍成區(qū)域的面積.xyO21yx 112121yx平面上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為平面上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為例例4 設(shè)設(shè) 為等邊雙曲線為等邊雙曲線 上任意一

8、上任意一,M x y221xy點(diǎn)點(diǎn), 雙曲線與雙曲線與 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為 求由直線段求由直線段 和和x,N,OM ON,0 ,M x yx 解解 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為M.yYXx取取 為積分變量為積分變量, 積分區(qū)間為積分區(qū)間為yMN和雙曲線弧段和雙曲線弧段 所圍成區(qū)域的面積所圍成區(qū)域的面積.,X Y直線直線 的方程為的方程為OMOxy221xyMNb0,y0, y則在則在 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間, 相應(yīng)的面積元為相應(yīng)的面積元為2d1d ,xAYYYy若若 位于雙曲線上半部分位于雙曲線上半部分, 即即 就有就有M0,y 201dyxAYYYy222011ln1222yYxYYY

9、Yy2211ln1222yxyyyy21ln1.2yy若若 位于雙曲線下半部分位于雙曲線下半部分, 即即 就有就有M0,y 021dyxAyYYy21ln1.2yy 例例5 求擺線第一拱求擺線第一拱 與與 sin, 02 ,1cos,xa tttyat 軸圍成的面積軸圍成的面積.xOxy2at2aaat解解 上圖為擺線形成的過程上圖為擺線形成的過程, 所求面積為所求面積為:20daAy x22201cosdatt222012coscosdatttsin,xa tt00,2 2a d1 cosd ,xatt1 cos,yat2201cos212cosd2tatt23.a 2.極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形

10、面積公式面積公式. D ,C 設(shè)平面區(qū)域設(shè)平面區(qū)域 由曲線由曲線 與射與射, 線線 確定（稱為曲邊扇形）確定（稱為曲邊扇形）, 今推導(dǎo)相應(yīng)的今推導(dǎo)相應(yīng)的Ox 取極角取極角 為積分變量為積分變量, 在在 上任取上任取, , 取一個(gè)小區(qū)間取一個(gè)小區(qū)間的近似等于半徑為的近似等于半徑為對(duì)應(yīng)的窄曲邊扇形的面積對(duì)應(yīng)的窄曲邊扇形的面積,d, 得到曲邊扇形的面積元素為得到曲邊扇形的面積元素為 中心角為中心角為 的扇形面積的扇形面積, 從而從而d OxddAd 21dd .2A 以以 被積表達(dá)式被積表達(dá)式, 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上做定積上做定積 21d2 , 21d .2A 積分積分, 從而得到曲邊扇形的面積為從

11、而得到曲邊扇形的面積為 OxdddA例例6 計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線 所圍成的所圍成的22sin ,cos2 解解 所圍成的圖形關(guān)于所圍成的圖形關(guān)于 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, y22sin ,cos2 ,得得.6公共部分的面積公共部分的面積.兩曲線的交點(diǎn)的極角兩曲線的交點(diǎn)的極角故面積為故面積為2cos2Oxy2sin6426410611222sindcos2 d22AA 64061cos2dcos2 d 640611sin2sin222133 3 .6二、體二、體 積積 1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 平面圖形繞著它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成平面圖形繞著它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成 0,yf x的

12、立體稱為旋轉(zhuǎn)體（見下圖）的立體稱為旋轉(zhuǎn)體（見下圖）. axb（其中（其中 ）,fC a b繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體x體積體積.求曲邊梯形求曲邊梯形xyo yf xba 取取 為積分變量為積分變量, 在在 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間x, a b,d,x xx 2dd .Vfxx在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上做積分上做積分, 即得即得, a b 2d .baVfxx相應(yīng)的小旋轉(zhuǎn)體體積近似等于以相應(yīng)的小旋轉(zhuǎn)體體積近似等于以 為底半徑為底半徑, 為為 f xdx高的扁圓柱體的體積高的扁圓柱體的體積, 從而得到體積元素從而得到體積元素到所求的體積到所求的體積xyo yf xbadx例例

13、7 求橢圓求橢圓 所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一軸旋轉(zhuǎn)一22221xyabx周所得的體積周所得的體積.解解 由公式由公式得得222daabVaxxa222224d.3aabaxxaba特殊地特殊地, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 得到球體體積為得到球體體積為ab34.3Va例例8 求由圓面求由圓面 繞繞 軸旋軸旋2220 xybaabxxyOba222xybaa解解 圓的邊界曲線可以分解成圓的邊界曲線可以分解成 其中其中22.ybax在在 上方的取正上方的取正, 下方取負(fù)下方取負(fù), 因而旋轉(zhuǎn)體體積為因而旋轉(zhuǎn)體體積為yb轉(zhuǎn)所得的物體的體積轉(zhuǎn)所得的物體的體積.22222202daVbaxbaxx2208d

14、abaxxsinxat222201cos28d2 .2ta bta b22208cos dbat t例例9 求正弦曲線求正弦曲線 與與 圍成的圖形圍成的圖形sin0yxxxxyOsinyx1arcsin y解解 由旋轉(zhuǎn)體體積公式由旋轉(zhuǎn)體體積公式, 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)的體積為軸旋轉(zhuǎn)的體積為 x22001cos2sindd,22xxVx xx繞繞 軸旋轉(zhuǎn)的體積為軸旋轉(zhuǎn)的體積為yx y分別繞分別繞 與與 旋轉(zhuǎn)所得到的體積旋轉(zhuǎn)所得到的體積.1220arcsinarcsindyVyyy12202arcsind2 .yy例例10 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 由由 圍成的圍成的22,21,0yxyxxDyxO22yx21yx1

15、解解 120221 dSxxx1230153.33xxx設(shè)設(shè) 是由是由 1D22,1,00,yxxyx所圍成所圍成, 則旋轉(zhuǎn)體的體積可以看作是則旋轉(zhuǎn)體的體積可以看作是 繞繞1D 軸旋轉(zhuǎn)所得到的體積再減去三角形軸旋轉(zhuǎn)所得到的體積再減去三角形xyx在在 軸的右側(cè)的部分軸的右側(cè)的部分, 求面積及繞求面積及繞 軸旋轉(zhuǎn)所得到的體軸旋轉(zhuǎn)所得到的體積積.x區(qū)域繞區(qū)域繞 軸旋轉(zhuǎn)所得到的體積軸旋轉(zhuǎn)所得到的體積, 即即11222102d22d1xVxxxx41127 4.35610例例11 設(shè)拋物線設(shè)拋物線 過原點(diǎn)過原點(diǎn), 且當(dāng)且當(dāng)2yaxbxc解解 因曲線過原點(diǎn)因曲線過原點(diǎn), 故故 該圖形的面積為該圖形的面積為

16、0.c 120111d.323AaxbxxabxyO12yaxbx即有即有: 所以相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體所以相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體21.3ba01x0.y 1x x時(shí)時(shí), 又已知該曲線與直線又已知該曲線與直線 及及 軸軸1/3, ,a b cx所圖形的面積為所圖形的面積為 求求 使該圖形繞使該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一軸旋轉(zhuǎn)一周所成的體積達(dá)到最小周所成的體積達(dá)到最小.體積為體積為:22122011d,523aVaxbxxabb代入代入 得得21,3ba2211 411,533 9aVaaa上式對(duì)上式對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 并令其為零并令其為零, 得得a212810.53327aVaaa得得53,.42ab 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)旋轉(zhuǎn)體的

17、體積為最小時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積為最小.53,42ab 2.平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積 問題的提出問題的提出 設(shè)一立體設(shè)一立體, 該立體上垂直于一定軸的各該立體上垂直于一定軸的各xxdxxdx A xab 分析分析 取定軸為取定軸為 軸軸, 并設(shè)該立體在過點(diǎn)并設(shè)該立體在過點(diǎn)x,xa xb且垂直于且垂直于 軸的截面面積為軸的截面面積為xxx ,.A xC a b個(gè)截面的面積為已知個(gè)截面的面積為已知, 求相應(yīng)的體積求相應(yīng)的體積.x且垂直于且垂直于 軸的平面之間軸的平面之間, 設(shè)過點(diǎn)設(shè)過點(diǎn) ,A x的已知面積函數(shù)的已知面積函數(shù) 并設(shè)并設(shè) 取取 為積分變量為積分變量, 在在 區(qū)間

18、中任取一個(gè)小區(qū)間區(qū)間中任取一個(gè)小區(qū)間x, a b,d,x xx dd .VA xx以以 為被積表達(dá)式為被積表達(dá)式, 在閉區(qū)間上做積分在閉區(qū)間上做積分, 得到體得到體 dA xx d .baVA xx相應(yīng)小薄片的體元素為相應(yīng)小薄片的體元素為積為積為dxxdxxx A xab例例12 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為 的圓柱面的底圓中心的圓柱面的底圓中心, 并且并且R解解 取這個(gè)平面與底面的交線為取這個(gè)平面與底面的交線為 軸軸, 底面上過圓心底面上過圓心, 且且x垂直于垂直于 軸的直線為軸的直線為 軸軸, 則底圓的方程為則底圓的方程為x y222.xyR 立體中過點(diǎn)立體中過點(diǎn) 且垂直于且垂直于 軸

19、的軸的xx2222,tan,RxRx,與底面交成角與底面交成角 求這個(gè)平面截圓柱面所得的體積求這個(gè)平面截圓柱面所得的體積.截面是一個(gè)直角三角形截面是一個(gè)直角三角形, 兩條直兩條直,tan,y y角邊的長(zhǎng)度分別為角邊的長(zhǎng)度分別為即即 RoxyxR于是平行截面面積為于是平行截面面積為 221tan,2A xRx從而所求的體積為從而所求的體積為221tand2RRVRxx233112tantan .233RRR xxR例例13 計(jì)算底面是半徑為計(jì)算底面是半徑為 的圓的圓, 而垂直于底面上一條而垂直于底面上一條R解解 以底面中心為原點(diǎn)以底面中心為原點(diǎn), 固定直徑為固定直徑為 軸軸, 并建立坐標(biāo)并建立坐

20、標(biāo)x系系. 設(shè)過點(diǎn)設(shè)過點(diǎn) 且垂直于且垂直于 軸的截面為軸的截面為 已知截面已知截面xx ,A x222,Rx高為高為 所以所以223,Rx 223.A xRx因而因而固定直徑的所有截面是等邊三角形的立體體積固定直徑的所有截面是等邊三角形的立體體積.面積為等邊三角形面積為等邊三角形, 故三角形的底邊長(zhǎng)為故三角形的底邊長(zhǎng)為xRRxO22023dRVRxx233014 32 3.33RR xxR例例14 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 高高 的球冠的體積。的球冠的體積。,Rh解解 球冠是由平面圓弧球冠是由平面圓弧 22yRxRhxR繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得軸旋轉(zhuǎn)一周所得,x 222A xyRxxRO22, xRx

21、y垂直于垂直于 軸的截面面積為軸的截面面積為x由體積公式得由體積公式得 22ddRRR hR hVA xxRxx23211333RR hR xxhRh三、平面曲線的弧長(zhǎng)三、平面曲線的弧長(zhǎng) 1.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程為 ,yf xaxb其中其中 即函數(shù)即函數(shù)1,fCa b f x在在 上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù), a b現(xiàn)用元素法來求曲線的弧長(zhǎng)現(xiàn)用元素法來求曲線的弧長(zhǎng).xyo ab yf x對(duì)應(yīng)于小區(qū)間對(duì)應(yīng)于小區(qū)間 的一段弧的長(zhǎng)度的一段弧的長(zhǎng)度 可用該曲線可用該曲線,dx xxs 取取 為積分變量為積分變量, 變化區(qū)間為變化區(qū)間為 曲線曲線 上上x,a b yf x在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線上的一小段的長(zhǎng)度來近似代替處的切線上的一小段的長(zhǎng)度來近似代替. , x f x222dd1d ,xyyx以此作為弧長(zhǎng)元素以此作為弧長(zhǎng)元素, 即即2d1d .syx而這相應(yīng)切線的長(zhǎng)度為而這相應(yīng)切線的長(zhǎng)度為xyOa