求解機械波的基本情況一例

1、求解機械波的基本情況一例一橫波沿繩子傳播時的波動表達式為式中各量的單位為SI單位。（1） 求此波的振幅、波速、頻率和波長；（2） 求繩上各單元振動時的最大速度和最大加速度；（3） 求處的質(zhì)元在t=1S時的相位，它是原點處的質(zhì)元在哪一時刻的相位？這一位相所代表的運動狀態(tài)在t=1.25S時刻到達哪一點？在t=1.5S時刻到達哪一點？（4）解：（1）已知波動表達式為與波動標準表達式比較，可得到振幅頻率，波長，波速（2）繩上各質(zhì)元振動時的最大速度最大加速度（3）處質(zhì)元的振動比原點處質(zhì)元的振動落后時間故x=0.2m,t=1S時質(zhì)元的振動位相相當于原點處質(zhì)元在時的振動位相。設(shè)這一位相所代表運動狀態(tài)在時到達

2、點，在時到達點，則。（4）以及1.5S各時刻的波形如圖一所示。求解原點的振動表達式和機械波的波動表達式一平面簡諧波以波速沿x軸負向傳播，時刻的波形如圖一所示。求：原點的振動表達式以及此簡諧波的波動表達式。解：由圖可知，因而設(shè)原點的振動表達式為：由圖可知，t=2S時，y=0,由此可得所以，原點的振動表達式為簡諧波的波動表達式為求解振動表達式和波動表達式一例一沿x正方向傳播的平面余弦波，已知時的波形如圖一所示，其頻率為。（1） 寫出原點O質(zhì)元的振動表達式；（2） 寫出該波的波動表達式；（3） 寫出A點處質(zhì)元的振動表達式；（4） 求A點離原點的距離。解：（1）由波形圖可知振幅A=10cm=0.1m,

3、波長波速角頻率當時，O點的振動相位即所以原點O質(zhì)元的振動表達式為（2）波動表達式為 （3）時A點的振動相位即所以A點處質(zhì)元的振動表達式為（4）利用振動表達式求解波動表達式一平面簡諧波以速度沿直線傳播。已知在傳播路徑上某點A,如圖一，的簡諧振動的表達式為（1） 以點A為坐標原點，寫出波動表達式；（2） 以距離點A為5m處的點B為坐標原點，寫出波動表達式；（3） 寫出傳播方向上點C和點D的簡諧振動的表達式（各點間距見圖）；（4） 分別求出點B與點C間、點C與點D間的相位差。解： 由A點的簡諧振動的表達式，可以得知（1） 以A點為原點的波動表達式為（2）由于波由左向右傳播，故點B的相位比點A超前，其

4、簡諧振動的表達式為故以點B為原點的波動表達式為（3）由于點C的相位比點A超前，故點C的振動的表達式為而點D的相位落后于點A，故點D的振動表達式為（4）由于BC間的距離根據(jù)波形求解振動的表達式和波動表達式 一列沿x正向傳播的簡諧波，在和時刻的波形如圖一所示。試求：（1） P點的振動表達式；（2） 波動表達式；（3） 畫出O點的振動曲線。解：（1）由圖可知，P點的振動表達式為由于在t=0時，故或者（），于是（2）在t=0時，O點的振動位置，故初相位，于是，O點的振動表達式為（3）O點的振動曲線如圖二所示。求解波的能量密度和聲強大小一平面簡諧波在空氣中傳播，波速頻率為500。到達人耳時，振幅試求人耳

5、接收到聲波的平均能量密度和聲強的大小，聲壓幅為多大？此聲強相當于多少分貝？已知空氣的密度為解：聲波的平均能量密度為聲強為聲壓幅 或者聲強級 求解因干涉而靜止的點的位置一媒質(zhì)中有兩個波源位于A、B兩點，如圖一，其振幅相同，頻率均為100，相位差為。若A、B兩點相距30m，波在媒質(zhì)中的傳播速度為400m/S,試求：A、 B連線上因干涉而靜止的各點的位置。解：取AB的中點為坐標原點，如圖一。設(shè)波源B的初相為，則波源A的初相為。于是波源A、B所發(fā)出的波引起的P點的質(zhì)元振動的相位分別為.其相位差為由干涉的減弱條件，有得到或者 依據(jù)已知條件，所以得到在A、B間因干涉而靜止的點的位置為（m）,共15個靜止點

6、。運用干涉條件求解幾個關(guān)系如圖一所示，地面上的一波源S與一探測器D之間的距離為d。在D處測得從S直接發(fā)出的波與從S出發(fā)又經(jīng)高度為H的水平層B反射后的波的合成信號強度最大。當水平層逐漸升高h距離時，在D處測到的信號消失。設(shè)波在水平層的反射角等于入射角，不考慮大氣的吸收，求波長與，h，H的關(guān)系。解：由于在B、C處反射的情況相同，所以兩次測量不會由于反射引起不同效果，故可設(shè)波在B、C處反射時都有半波損失。這樣，在B點反射的波與直射波在D處加強的條件為即。在C點反射的波與直射波在D處相消的條件為即所以，求解駐波中反射波的表達式和合成波的表達式設(shè)入射波的表達式為在x=0處發(fā)生反射，反射點為一固定端，求：

7、（1） 反射波的表達式；（2） 合成波的表達式；（3） 波腹和波節(jié)的位置。解：（1）由于反射點為固定端，所以這點必是波節(jié)。入射波和反射波在此點引起的振動是反相的，所以反射波的表達式應為（2）入射波和反射波相遇，疊加成駐波，其表達式為（3）波腹的位置：波節(jié)位置：求解駐波的波腹和波速一弦上駐波的表達式為式中各量單位為SI單位。（1） 組成此駐波的各行波的波腹和波速為多少？（2） 節(jié)點間的距離為多大？（3） 時，位于處的質(zhì)點的速度為多少？解：（1）與駐波的標準式比較得到各行波的波腹、波長和周期為所以波速（2）波節(jié)的位置滿足關(guān)系式：所以波節(jié)間的距離為（3）質(zhì)點的振動速度為將x=0.05m,代入，得到求

8、解駐波中入射波和反射波以及合成波的特點在一根線密度和張力的弦線上，有一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，其頻率為，振幅已知弦線上離坐標原點處的質(zhì)元在t=0時刻的位移為，且沿y軸方向運動。當波傳播到處的固定端時，被全部反射。（1） 試寫出入射波和反射波的波動表達式；（2） 求入射波和反射波疊加的合成波在區(qū)間內(nèi)波腹和波節(jié)處各點的坐標。解：（1）由題給數(shù)據(jù)，可得到波長為在處質(zhì)元振動的初相為設(shè)原點處的初相為，則所以，入射波的波動表達式為因為在處反射有半波損失，所以，反射波在處的振動表達式為反射波的波動表達式為（2）因波節(jié)間的間距離為，而處為波節(jié)，所以波節(jié)點的坐標為波節(jié)與波腹間的間距為所以波節(jié)點的坐標為x=

9、0.5,1.59.5m.描寫合成駐波兩人各執(zhí)長為的繩的兩端，以相同的角頻率和振幅在繩上激起波動，右端的人的振動比左端的人的振動相位超前，試以中點為坐標原點描寫合成駐波。由于繩很長，不必考慮反射，并設(shè)繩上的波速為u.解：設(shè)左端的振動表達式為，則右端的振動表達式為設(shè)右行波的波動表達式為左行波的波動表達式為由題意，當時，即故當時，即 故于是兩波的波動表達式為合成波當時，處為波腹；當時，x=0處為波節(jié)。求解駐波的有關(guān)參量一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，在t=0時，原點O處質(zhì)元的振動是經(jīng)過平衡位置向負方向運動。在距離原點O為處有一波密介質(zhì)的反射面，波被垂直界面反射，如圖一。設(shè)入射波和反射波的振幅都為A，頻

10、率都為。試求：（1） 入射波和反射波的波動表達式；（2） 合成波的波動表達式；（3） 在原點到反射面間各個波節(jié)和波腹點的坐標；（4） 距反射面為的Q點處質(zhì)元的合振動的表達式。解：（1）設(shè)入射波在原點O的振動表達式為由于在t=0時，原點處質(zhì)元的位移，可得到因而入射波的波動表達式為反射波在O點的振動是入射波傳到反射面在傳到O點的，所以反射波在O點的振動相位比入射波落后左式中后一項是考慮到波在波密媒質(zhì)面上反射發(fā)生相位突變而加上反射波的波動表達式為（2）合成波（駐波）的波動表達式為（3）波腹點坐標滿足的條件為即波節(jié)點坐標滿足的條件為即由上可知，原點O為波腹，反射點為波節(jié)。（4）Q點的坐標為因而，點處質(zhì)

11、元的合振動的表達式為求解潛艇的速度一固定的超聲探測儀，在海水中發(fā)出一束頻率的超聲波，被一向著探測儀駛來的潛艇反射回來。探測儀測得反射波和入射波的頻率相差為220.求：該潛艇的速度。已知超聲波在海水中的波速為1500m/S.解：聲源不動，潛艇向著聲源運動，潛艇接收到的頻率（潛艇相當于觀察者），潛艇反射超聲波，此時潛艇相當于聲源，發(fā)射頻率為的超聲波，聲源在運動，而接收器不動，故探測儀接收到的頻率為根據(jù)題意，得到代入數(shù)據(jù)，得到求解波源的頻率（1） 一波源振動頻率為2040，以速度向波源接近，如圖一，觀測者在A點所得的拍頻為，設(shè)聲速為340m/S,求波源移動的速度.（2） 如果（1）中的波源沒有運動，

12、而以一反射面代替墻壁，以速度向觀測者A接近，所得到的拍頻為，求解波源的頻率。解：（1）觀測者從波源直接聽到的聲波頻率為由墻壁反射的聲波頻率為觀察者測得的拍頻為以上兩者之差，即化簡，可得解方程，得到因為所以（2）觀測者從波源直接聽到的聲波頻率為反射面接收到的聲波頻率（反射面相當于觀察者，向著聲源運動）由于反射面在運動，此時反射面相當于聲源，故觀測者所測得的反射面反射的聲波頻率為拍頻得到運用多普勒效應求解飛機的飛行高度飛機在上空以速度作水平飛行，發(fā)出頻率的聲波。靜止在地面上的觀察者測定飛機發(fā)出的聲波的頻率。當飛機越過觀察者上空時，觀察者在4S內(nèi)測出的頻率從降為。已知聲波在空氣中的速度。試求：飛機的

13、飛行高度h. 解：設(shè)飛機在4S內(nèi)從A點水平飛行到B點，飛行高度為h，M為觀察者，如圖一所示。聲源在AM方向的分速度，聲波在BM方向的分速度。由多普勒效應的公式解，得到又解，得到由幾何關(guān)系，得到可以得到，求解觀察者聽到的聲音的頻率一聲源的頻率為，若聲源與觀察者分別以和在聲音的傳播方向上作同方向的運動，則觀察者聽到聲音的頻率為多少？若空氣在流動，風速為，且風速方向與和的方向也相同，試問：此時觀察者聽到聲音的頻率為多少？解：（1）聲源相對媒質(zhì)與聲波同向運動時，聲音的波長變短。設(shè)T為聲源的發(fā)聲周期，此時聲波波長觀察者相對媒質(zhì)與聲波同向運動，聲波相對觀察者的傳播速度因此，觀察者在單位時間內(nèi)接收到的波的個

14、數(shù)，即聽到的聲音的頻率為（2）當空氣在流動，即媒質(zhì)也沿波的傳播方向運動，波相對媒質(zhì)的傳播速度為，媒質(zhì)相對地面的速度為。因此，波相對地面的傳播速度為。考慮到聲源也作同向運動，此時聲音的波長為聲源相對觀察者的傳播速度為此時，觀察者在單位時間內(nèi)接收到波的個數(shù)，即聽到聲音的頻率為求解觀測頻率的極值如圖一，音叉P沿著半徑的圓以角速度作勻速圓周運動。音叉發(fā)出頻率的聲波，聲波的速度為觀測者M與圓周共面，與圓心O的距離d=2r。試問：當角為多大時，觀測到聲波的頻率為最高或者最低，并求其數(shù)值。解：當音叉位于中心角為的位置時，聲源在觀測者方向上的分速度為。根據(jù)多普勒效應的公式，觀測到聲波的頻率與角的關(guān)系為 （1）利用正弦定理以及余弦定理，把表示成的函數(shù)，由可得到，代入（1），得到為極值時滿足代入，得到或者可以解得或者2（舍去），當時，當時，可見，當時，觀測到聲波的最低頻率和最高頻率。運用多普勒效應求解聲音的頻率聲波