普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一測試(浙江卷)數(shù)學(xué)參考答案、選擇題1.C2. B解析 由于a2 =3, b2 =1,所以c2 =a2+b2=4, c =2,且焦點(diǎn)在x軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)(0 )(2,0 ).應(yīng)選B.13. C解析此幾何體是一個(gè)底面是直角梯形的直四棱柱,體積V =sh=3(1+2y2M2 = 6.應(yīng)選C.4. B解析2=白=井)=1+1'所以2=1.應(yīng)選B.5. D解析由于f (T )=2卜sin2 (x )=-2xsin2 x=f (x ),所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項(xiàng)A、選項(xiàng)B;Firl幾又f .二=22sinn = 0,排除選項(xiàng)C.應(yīng)選D.26. A解析m/ n,

2、m<Za,nCo(z m/a (線面平行的判定定理)；m/ ot,nUot,那么 m,能平行,可能異面.應(yīng)選A.7. D 解析 E() = 0kL|衛(wèi)十 11十2費(fèi)=p+g , D(t)=1pT+21-p p 4 二1 2 一 P 一.11十1,是關(guān)于p的二次函數(shù),對稱軸為p=.當(dāng)22(0,1比增大時(shí),D?)先增大再減小.應(yīng)選D.8. D解析 如下列圖,設(shè)點(diǎn)P是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn).是底面正方形 ABCD的中央,過點(diǎn)E作EF / BC ,交CD于F ,那么NSBF =2是SE與BC所成的角.聯(lián)結(jié)SO , OE ,那么/SEO =仇是SE與底面ABCD所成的角.聯(lián)結(jié)SP , OP ,那么/SP

3、O=e3是二面角S-AB-C的平面角.1BC 1BC1 BC一. 一, 一.cosq ="2< =cos63' cos62 =>=cose1,所以 C0S 1 取小,1 取大.SE SPSE SE1BC cos %-2SP0 P, cos a = SPOE . OP2 PE2SESP2 PE2一OP2 PE2 OP,由于 OP MSP ,所以 10P PE >OP , .SP2 PE2 SP即 cos® Acos® ,所以.<2.綜上,02< 03< a 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),有 日2 =日3 =8 .應(yīng)選D.9. A

4、解析 b2 -4e b +3=0 ,即 b2 -4e b + 3e2 =0 ,那么beb 3e=0 ,所 以 b-e_L b3 e那么b的終點(diǎn)落在如下列圖的單位圓上設(shè)點(diǎn) O為其圓心.假設(shè)使a-b 最小,即使圓上的點(diǎn)到a的距離最小.作oA_La于點(diǎn) A ,那么 a -bm i nQ A -r2 ：s -3 n -1 =.W-A.1 .10. B 解析 令 a +a2 +a3 =t(t >0 ),那么有 t +a4 =lnt ,即 a4=lnt t,設(shè) y = Int -t, y' -1 , 令y, A0 ,得0 cx <1 ,令y< 0,得XA1.所以y = lnt t

5、在(0,1 )上單調(diào)遞增,在(1,8) 上單調(diào)遞減,ymin =f (1) = 1 ,即a4< 1 ,所以q<0.a1a2a3a4 =a1 1 qq2 q3=a11 q 1q2.假設(shè) 1+q<0,那么 q <T ,此時(shí) a1+a?+% +a4<0.而a +a? +a?=a(1 +q +q2)中,y=1 +q+q2在 qW(-°0, 1)時(shí),y >1 ,所以a1 +a?十a(chǎn)/1,ln(a+22+23)=a1+a3 +a4>0與前面矛盾,所以 q <T不成立；假設(shè) 1 +q >0 ,貝U T <q <0 , ln(a +a

6、2 +a3 )= a +az+a3+a4 有可能成立,此時(shí) 22徭二 a1 q ： a a4二 a2q , a2.應(yīng)選B.、填空題x,y =198, 11解析將z=81代入原方程組,得卜十3丫=73,解得 x=8, y=11.x z12. -2,8解析 作出可行域如圖所本.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y = -+-即z = x+3y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),3 3z取得最大值；經(jīng)過點(diǎn)一 ,x - y=0B時(shí),z取得最小值.由I2x y = 6x y = 2 '得 A2,2 1由 j2x：y=6得 B(4, -2).故 zmin =4+3父(1 )=2； zmax =2+3M2 =8.21 a b2 13. , 3解析

7、由正弦te理= ,那么. 口 bsinA 27sin A sinB ' sin Ba . 7= J21 ;由余弦定一 7222b c -a 理 cos A =2bc12一,得 c -2c -3 =0 ,解得 c =3 或 c = 1 (舍) 2r 114. 7解析展開式的一般項(xiàng)為Tr+=C8.2x8L 二 Ir28 _4rx 3 ,令 8/r0 ,那么r=2,15.所以常數(shù)項(xiàng)為口 |c8=7.2(1,4 ), (1,3U(4,收)解析 當(dāng) £=2 時(shí),f(x)=4x 4,x> 2x2 -4x 3,x :二 2,假設(shè) f (x)<0 ,那么當(dāng) x> 2時(shí),x

8、口 <0 ,解得 2Vx <4；當(dāng) x<2 時(shí),x2 4x+3<0 ,解得 1 <x<2 .綜上,f (x)<0的解集為1,4 .在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出y =x 4 和 y =x2-4x + 3的圖像,觀察可得出 九的取值范圍是1,34,二16. 1260解析 假設(shè)不取數(shù)字0 ,那么組成C5C；FA： =720個(gè)數(shù)字；假設(shè)取數(shù)字0,那么組成C；C；C13產(chǎn)A3 =540個(gè)數(shù)字.所以共有720+540=1260個(gè)數(shù)字.17. 5 解析 設(shè)八,%), B(X2,y2 卜由 AP=2PB,得 x1 =-2% , W=32y?,由 a, B 均-2x2 2243

9、-y2 =m, cm3在橢圓上可知,2 2,先消去x2得,m 4y2 3, y2 = ,再X2224 'V2 =m422總?cè)胄?2 /4 2 -m 10m-9 - m-5 1 -16代入信 x2 =4m 4 y2 =.44當(dāng)m=5時(shí),/有最大值4,即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對值的最大值為2.三、解做題18 .此題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等根底知識,同時(shí)考查運(yùn)算求解水平3 4、-4解析I 由角口的終邊過點(diǎn)P一一,得5口口=一一 , 5 55 4所以 sin(a +時(shí)=-sin a =- 5 343(n )由角 a的終邊過點(diǎn) P(,)信coset =5555.12由 sin(:上 - I 1)

10、二痛得 cos(" T1)= .由 B = (ot + P) 一口 得 cos P = cos(a + P )cos a +sin(a + P )sin 8 ,*:56 T ：166565所以cos P = 或cosP =一19 .此題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,直線與平面所成的角等根底知識,同時(shí)考查空間想象水平和運(yùn)算求解水平.解析 解法一：I 由 AB=2,AA =4,BB1=2,AA J- AB,BB1 1 AB ,得AB =AB1 =2a ,所以 AB2 + AB2 =AA2,故 AB _L AB1.由 BC =2 , BBi =2,CG =1, BBi 1 BC,CCi

11、_L BC 得 B1G ;指,由 AB =BC =2,NABC =120 口得 AC = 2J3,由 CCi _L AC ,得 AC1 =而,所以 AB2 + BC12 = AC；,故 AB _L BG .又 A1B1 riBiCi =Bi,所以 AR _L 平面 ABG .(n )如圖,過點(diǎn) C1作C1D 1 AB1 ,交直線AB1于點(diǎn)D ,聯(lián)結(jié)AD .ff由AB,平面ABiCi ,得平面AiBiCi _L平面ABBi ,且平面ABG 1平面ABBi =AB ,由 C1D_L AB ,得 CD_L 平面 ABB一所以NGAD是ACi與平面ABB所成的角.6i由 BCi =石,ABi =272

12、, AiCi =歷, 得 cos- C1ABi =,sin / C1ABi =,CD 39所以 CD =AC1sin/C1ABi = J3 ,故 sinAD = =AC113因此,直線AG與平面ABB1所成的角的正弦值是 質(zhì)13解法二：(I )如圖,以 AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線 OB, OC為x, y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0,-73.0), B(1,0,0), A(0,-3,4), B(1,0,2), G(0,石1),uuuuuuuuu因此 ABi =(1,、.3,2), AB =(1,',3,2),ACi =(0,2.3, -3),

13、uuu uuiu由 AB AB =0,得 AB,AB .uuu uuu由 AB AC1 =0,得 A4 1 AC1.又由于2幣人.=人,所以AB,平面AB1C1.(n )設(shè)直線 AG與平面ABB1所成的角為6 .uuuuuruuu由(I)可知 AC1 =(0,2 .3,1),AB = (1,、3,0), B4 =(0,0,2),設(shè)平面ABB1的法向量n = (x, y, z).uuu_可取 n =(-、3,1,0).n AB =0,日口 X 、.3y =0,u uuu 即n BB1 -0, 2z=0,uum-3913一 . uuul lACnl所以 sin 二-|cos: AC1, n | =

14、 Luu,|AG|n|因此,直線 AG與平面ABB1所成的角的正弦值是 y跑1320 .此題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等根底知識,同時(shí)考查運(yùn)算求解水平和綜 合應(yīng)用水平.解析(I)由“+2是a3,a5的等差中項(xiàng)得a3+%=2a4+4,所以 a3 a4 a5 =3a4 4-28,解得a4 = 8.由 a3 a5 =20 得 8(q 一 q1=20 ,化間得 2q -5q+2=0,解得 q= 3 或 q=2.由于q >1 ,所以q =2.(n)設(shè)0n =(bn中-bn)an ,數(shù)列cj前n項(xiàng)和為8H.S1,n =1,由 Cn =4解得 cn =4n1 (nW n" ).Sn

15、 -Sn1,n _2. n由i可知a =2n,所以 bn-nE4n -1)("12故bn bn=(4n5) <-) / n 之2,bn -b =(b -bn.(bni-bn/)(b3 也)(b2 -h)1 n _21 n _31= (4n -5) (-)(4n -9) (1)7 3.11 21 n 2設(shè)Tn = 3 7 a 11 -)2(4n -5) (-)n n -2 ,1T =3 1 7 (1)24n-9)(11(4n-5) (：)n22222111o11一所以一Tn =3 44( )2+-+4 ()n (4n5) ( )n ,222221因此 Tn =14-(4n+3)

16、(-)n,n>2, 2,/1又 h =1 ,所以 bn =15 (4n +3)(2)21 .此題主要考查橢圓、 拋物線的幾何性質(zhì), 直線與拋物線的位置關(guān)系等根底知識,同時(shí)考查運(yùn)算求解水平和綜合應(yīng)用水平.總分值15分.1212、解析I設(shè) P(xo,yo),七,BN2*).由于PA ,pb的中點(diǎn)在拋物線上,所以 yi , V2為方程(Y yo)2 '212/ 4 y %即y2 2yoy+8xo y；=o的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根. 二 4 2所以 y1 +y2 =2y0 ,即y +y2 =y°,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)等于點(diǎn) p的縱坐標(biāo).2因此,PM垂直于y軸.n由i可知y1 y2 =2y0,

17、 2小 y2 = 8xo - yo,12所以 | PM |=(y；8y2) -Xo =yo -3xo , 1 y1 - y2 1= 2J2(yo -4xo) -13、2 c 3因此,fB 的面積 & PAB=21PM1"y21=7(yo-4xo)2-2由于 Xo2 +/=1(1WX° <o),所以 y2 4Xo = Yx： 4Xo+4W4,5.因此,4PAB面積的取值范圍是15 1.22 .此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用,同時(shí)考查邏輯思維水平和綜合應(yīng)用11解析I函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)f x= 一方, 2. x X1111由mf得乖一工二旅一工,111

18、由于Xf,所以衣笠=2由根本不等式得；、；X1X2 = JX? +Jx2 ±24/X1X2 .17X1X2 -ln(X1X2).由于 X #X2 ,所以 X1X2 >256 .由題意得 f(Xi) f(X2)= ,XiTnXiX2-lnX21 -1-令 X1X2 =t >256 , g(t )=3dt Tnt ,那么 g'(t )=7(Wt -4).所以t(0, 16)16(16, +8)g'(t)0+g(t)2-41n2所以g(t應(yīng)256, +8)上單調(diào)遞增,故 g(t 尸 g(x1X2)>g(256) =8-8ln 2 ,即 f (Xi) +f(X2)>8-8ln 2 .(n)令 m=e明*), n=(且11)2 +1 ,那么 kf(m) -km-a>|a|+k -k-a>0,f (n) *n-a<n(焉-k) wn(弓k) <0 ,所以,存在 xoC ( m, n)使 f (xo) =kxo+a,所以,對于任意的 aCR及kC (0, +°°),直線y=kx+a與曲線y=f (x)有公共點(diǎn).由 f (x) =