實數(shù)知識點歸納及典型例題

1、三章實數(shù)-知識點總結(jié)、算術(shù)平方根1. 算術(shù)平方根的定義：一般地，如果 的等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做 規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.也就是，在等式X2a （x > 0）中，規(guī)定xja。理解：x2 a (x > 0)a是x的平方 x 的平方是a x是a的算術(shù)平方根a的算術(shù)平方根是x2.ja的結(jié)果有兩種情況：當(dāng) a是完全平方數(shù)時， va是一個有限數(shù);當(dāng)a不是一個完全平方數(shù)時，Ta是一個無限不循環(huán)小數(shù)。3.當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮小）時，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大 （或縮?。?；4.夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大?。ǚ椒?二、平方根1.平方根的

2、定義:如果的平方等于a,那么x叫做a的,那么這個數(shù)x就叫做a的.即：如果理解：x2 aa是x的平方x 的平方是 a x是a的平方根的平方根是x2.開平方的定義:求一個數(shù)的.開平方運算的被開方數(shù)必須是有意義。3.平方與開平方3的平方等于9，9的平方根是 34.一個正數(shù)有平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運算有兩個結(jié)果;一個負(fù)數(shù)平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運算5.符號：正數(shù)a的正的平方根可用 Ta表示，ja也是a的算術(shù)平方根;正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-ja表示.6.平方根和算術(shù)平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系:區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個;聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)

3、平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。三、立方根1.立方根的定義：如果），即如果等于a，這個數(shù)叫做a的，那么x叫做a的立方根。（也叫2. 一個數(shù)a的立方根，記作 Va，讀作：“三次根號a ”,其中a叫被開方數(shù),3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。理解：x3 a <> xVaa是x的立方 x的立方是a x 是a的立方根的立方根是x3. 一個正數(shù)有一個正的立方根；0有一個立方根，是它本身;一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；任何數(shù)都有唯一的立方根。4.利用開立方和立方互為逆運算關(guān)系，求一個數(shù)的立方根，就可以利用這種互逆關(guān)系，檢驗其正確性，求負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反

4、數(shù)，即Va a四、實數(shù)1.有理數(shù)的定義:任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。2.無理數(shù)的定義:無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)3. 實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)整數(shù)宀”有理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)4. 像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負(fù)之分。例如罷,運,是正無理數(shù)，72 , 近, 是 負(fù)無理數(shù)。由于非 0有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，實數(shù)也可以這樣分類:T宀來存正有理數(shù) 頭數(shù)正無理數(shù)實數(shù)0存宀舷負(fù)有理數(shù)負(fù)頭數(shù)負(fù)無理數(shù)5.實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系:每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來,數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù),實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都

5、可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來, 數(shù)軸上的每一個點都是表示一個實數(shù)。與有理數(shù)一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大6.數(shù)a的相反數(shù)是 a，這里a表示任意一個實數(shù)。7.實數(shù)的絕對值：一個正實數(shù)的絕對值是本身;例2.設(shè)J26 a，則下列結(jié)論正確的是（）一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是8.無限小數(shù)是有理數(shù)(無限小數(shù)是無理數(shù)(有理數(shù)是無限小數(shù)(無理數(shù)是無限小數(shù)(數(shù)軸上的點都可以用有理數(shù)表示(有理數(shù)都可以由數(shù)軸上的點表示(數(shù)軸上的點都可以用無理數(shù)表示(無理數(shù)都可以由數(shù)軸上的點表示(數(shù)軸上的點都可以用實數(shù)表示（實數(shù)都可以由數(shù)軸上的點表示（五、考點分析類型

6、一、有關(guān)概念的識別例1.下面幾個數(shù)：0.1237,1.010010001, 3/0.064,3 , ,J5 ,其中，無理數(shù)的個數(shù)有【變式1】下列說法中正確的是（）45是5的平方根的相反數(shù)A、J8T的平方根是± 3 B、1的立方根是± 1 C、J1【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長 為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點 A,則點A表示的數(shù)是（）A、C、僥類型二、計算類型題A.B.C.D.舉一反三：變式 1】1)的算 術(shù)平方 根是；平 方根是 ) -27 立方 根是變式 2】 求下列各式中的1) x2 2522) x 1 93) x3

7、64類型三、數(shù)形結(jié)合例3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為 345，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為 2,則A, B兩點的距離為舉一反三:【變式11如圖,數(shù)軸上表示1,J2的對應(yīng)點分別為A B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點C表示的數(shù)是（).類型四、實數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用例 4已知 x 6 2 J2x 6yy 2Z 0 求 xy 3 z3的值?！咀兪?】已知Ja 2 bb c的值。類型五、易錯題例5.判斷下列說法是否正確2(1)3的算術(shù)平方根是-3(2) J225的平方根是± 15(3)當(dāng) x=0 或 2 時，xjx 2(4)亟是分?jǐn)?shù)2類型六、實數(shù)應(yīng)用題13cm,寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖例6.

8、有一個邊長為11cm的正方形和一個長為 形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少。類型七、引申提高例7.把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：0.6 0.23 0.107一、填空題1、() 的平方根是2、若 a2 =25, lb =3,則a+b=3、已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a- 2和a- 4,貝U a的值是4、5、若m n互為相反數(shù)，則m 456、大于-72,小于 伍 的整數(shù)有個。7、一個正數(shù)x的兩個平方根分別是 a+2和a-4，則a=x=二、選擇題1、以下語句及寫成式子正確的是()A 7是49的算術(shù)平方根，即J497 B 、7是（7）2的平方根，即JTV 7C7是49的平方根，即/4977是49的平方根，即74972、下列語句中正確的是（A、9的平方根是3、9的平方根是3C、9的算術(shù)平方根是、9的算術(shù)平方根是33、下列語句中正確的是（A任意算術(shù)平方根是正數(shù)、只有正數(shù)才有算術(shù)平方根CT