導(dǎo)數(shù)壓軸題題型學(xué)生版

1、實用文檔導(dǎo)數(shù)壓軸題題型引例【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知 f (x)二 a x 一1 n x 2x2 1 ,a R .x(I )討論f (x)的單調(diào)性；(II )當a=1時，證明f(x)> f' x |對于任意的x 11,21成立.1.高考命題回顧例1.已知函數(shù)2x（X）=ae +（a- 2） ex-x.(1)討論f (x)的單調(diào)性;(2)若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍2a x -1 有兩個零點例2. (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f xi=x-2 ex(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)xi, X2是f x的兩個零點,證明：x1x： 2.例3.(本小

2、題滿分12分)3 1已知函數(shù) f (x) =x3 - ax "，g(x)二-In x4(I )當a為何值時，x軸為曲線y = f (x)的切線；(n)用min ：m, nf表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x) = mi n f (x),g(x) f(x 0),討論h (x)零點的個數(shù)例4.(本小題滿分13分)已知常數(shù)，函數(shù) )1：.-' + 2 (I )討論門“在區(qū)間(C. / I上的單調(diào)性；(n )若八I門存在兩個極值點且求 的取值范圍例 5 已知函數(shù) f(x) = ex ln(x + m). 設(shè)x = 0是f(x)的極值點，求 m并討論f(x)的單調(diào)性;(2)當 m<

3、; 2 時，證明 f(x)>0.1 例 6 已知函數(shù) f(x)滿足 f (x) = f'(1)ex，- f (0)xx22(1) 求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；1 2(2) 若 f (X) X ax b，求(a 1)b 的最大值。2例7已知函數(shù)f(x)二旦蟲 b，曲線y = f(x)在點(1,f (1)處的切線方程為 X +1 xx 2y -3 = 0。(I) 求a、b的值；In x k(n)如果當x 0，且x = 1時，f (x)，求k的取值范圍。x1 x例 8 已知函數(shù) f(x) = (x 3+3x2+ax+b)e _x.若a = b=- 3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若

4、f(x)在(g , a ),(2,3 )單調(diào)增加，在(a ,2),(3，+ m)單調(diào)減少，證明B a> 6.2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(1) 曲線y = f(x)在X = X°處的切線的斜率等于f"(X°)，且切線方程為yf (xo)(x-x°)+ f(X。)。(2) 若可導(dǎo)函數(shù)y_=_f(x)在x二xo處取得極值，則 (X。)二0。反之，不成立。對于可導(dǎo)函數(shù)f (x),不等式f "(X)匚0 (G0)的解集決定函數(shù) f(x)的遞增(減)區(qū) 間。(4)函數(shù)f (x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：I f "(x)蘭0 (蘭0

5、)恒成立(f (x)不恒為0). 函數(shù)f(x)(非常量函數(shù))在區(qū)間_I上不單調(diào)等價于 f(x)在區(qū)間I上有極值，則可 等價轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。(若f"(x)為二次函數(shù)且I=R，則有人0)。(6) f(x)在區(qū)間1上無極值等價于f (x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到f'(X)AO或f "(X)蘭0在1上恒成立若 Xfx I ， f(x) a 0 恒成立，則 f(X)min>0；若丁 f ( X)max U 0,f(x)c0恒成立，則(8)若三 X。壬 1，使得 f(X0)a0，則 f(X)max a0 ；若三 X I，使得 f(

6、X。)<0 , 則 f (X)min <0 .(9)設(shè)f (x)與g(x)的定義域的交集為 d,若N XD f(x) = g(x)恒成立，則有 f(X)-g(X)】min >°.(10)若對 P Xi"i、X2EI2 , f(Xi)ng(X2)恒成立，則 f (X)min >g(X)max 若對于 Xi Ii , 3 x I2，使得 f(Xi)g(X2),則 f(x)ming(x)min 若對于 Xi 引1 , 3 X2 乏丨2，使得 f (Xi) v g(X2)，則 f (X)max vg(x)max(11)已知f (X)在區(qū)間I1上的值域為A,

7、g(x)在區(qū)間I2上值域為B, 若對 F x I1x2 I2，使得 f(xj=g(x2)成立，則 A匸 B。(12)若二次函數(shù)f(x)有二個零點，則方程 f (x)=0有兩個不等實根 X|、X2，且極大 值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式：X In x 蘭 x 1(xa0) X+1 w in (x+1 蘭 x(x>1)ex色1 + xe _x蘭1 - xinx川-1叮j 一 Jx+12x22 2x23. 題型歸納 導(dǎo)數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應(yīng)用(構(gòu)造函數(shù)，最值定位)(分類討論，區(qū)間劃分)(極值比較)(零點存在性定理應(yīng)用)(二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換) 例1 (切線)設(shè)函數(shù)

8、f(X)以2 -a.(1 )當ah時，求函數(shù)g(x)二xf(x)在區(qū)間0,1上的最小值；(2)當a 0時，曲線y=f(x)在點P(xi,f(xi)(x a)處的切線為I , I與x軸交于 點 A(x2,0)求證：x1 x2 a .例2 (最值問題，兩邊分求)1 - a已知函數(shù) f (x) = 1 nx-ax1 (a R).x1當a w 時，討論2f(x)的單調(diào)性；1設(shè)g(x) =x2-2bx 4.當a時，若對任意x(0,2)，存在x2 1,21，使4f (xj > g(x2)，求實數(shù)b取值范圍. 交點與根的分布例3 (切線交點)已知函數(shù)f x = ax3 bx3x a,b R在點1, f

9、 1處的切線方程 為 y 2 =0 .求函數(shù)f x的解析式；若對于區(qū)間-2,2】上任意兩個自變量的值 xi, x2都有f(Xif(X2 j蘭c ,求實數(shù)c的最小值；若過點M 2,m m嚴2可作曲線y = f x的三條切線，求實數(shù)3 2 f (x) = In(2 + 3x) -一x .例4 (綜合應(yīng)用)已知函數(shù)求f(x)在0,1上的極值；1 1x ,一,不等式 | a -1 n x| +1 n f "(x) +3x > 0若對任意6 3成立，范圍；若關(guān)于x的方程f(x) =-2x F在0，1上恰有兩個不同的實根，范圍m的取值范圍.求實數(shù)a的取值求實數(shù)b的取值 不等式證明®

10、;(x) = ?例5 (變形構(gòu)造法)已知函數(shù)x 1，a為正常數(shù).9若f(x) =1nx (x)，且a 2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；在中當a =0時，函數(shù)y = f(x)的圖象上任意不同的兩點人 y*i，2 y?，線段AB的中點為C(X0，y0)，記直線AB的斜率為k，試證明：k f (冷).若g(x)=lnxp :(x)，且對任意的 求a的取值范圍.X“X2 三 10,2 丨 x1g(X2) g(xi)dI“2，都有2-論,2例6 (高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)已知函數(shù)f(x)=x ln(ax)(a：>0)2(1 )若f'(x) -X對任意的X 0恒成立，求實數(shù)a的取值范

11、圍；g(Xf(X)XX2 E(1,1),Xi +X2 C1(2 )當a =1時，設(shè)函數(shù)x ，若e，求證X1 X2 < ( X1 x2)4例7 (絕對值處理)已知函數(shù)f (x) =x3 - ax2 bx c的圖象經(jīng)過坐標原點， 且在x = 1處取得極大值.(I )求實數(shù)a的取值范圍;(II )若方程f (x)=(2a 3)29恰好有兩個不同的根，求f (x)的解析式;(III )對于(II )中的函數(shù) f (x)，對任意：、I行 R，求證：| f(2si n)-f(2si n J|_81.例8 (等價變形) 已知函數(shù)f(x)二ax-1-ln x (a R).(I)討論函數(shù)f (x)在定義域

12、內(nèi)的極值點的個數(shù)；(n)若函數(shù)f (x)在x =1處取得極值，對-x ( 0 , ：), f (x) 一 bx -2恒成立, 求實數(shù)b的取值范圍；(川)當0 ： x ： y : e2且x = e時，試比較 -與1旦上的大小.x 1 -ln x1 27f(x)=l nx, g(x)=_x +mx + _(mcO)例9 (前后問聯(lián)系法證明不等式)已知22，直線1與函數(shù)f(x), g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點的橫坐標為1。(I)求直線1的方程及m的值；(|)若 h(x)= f(x+1)-g'(x)(其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù) h(x)的最大值。b

13、 af (a + b) - f (2a) v 匚一.(III )當 0 b : a 時，求證：2a例10(整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)f(x)如 _1(1) 試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 設(shè)m 0，求f (x)在m,2m上的最大值;(3)試證明:對任意n N *，不等式ln(二)e :口 都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))nn(川)證明:例11 (數(shù)學(xué)歸納法)已知函數(shù)f (x) = In( x 1) mx，當x = 0時，函數(shù)f (x)取得極大值.(1) 求實數(shù)m的值；(2) 已知結(jié)論：若函數(shù)f (x) = I n(x，1)，mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a占-1 ,則存在x0 (a

14、,b)，使得f (心)=f(b) 一 f試用這個結(jié)論證明：若 b-a1 ：為：x2 ,函數(shù) g(x)二丄 xj f (為),則對任意% _x2X (為必)，都有 f(x) g(x);(3) 已知正數(shù) 2丄，n，滿足-< '2 'n =1 ,求證：當n 一2 , nN時，對任意大于-1 ,且互不相等的實數(shù)x,x2丄，人,都有f(1X12X2LnXn)f(X1)qf (X2)L'nf(Xn) 恒成立、存在性問題求參數(shù)范圍2例12 （分離變量）已知函數(shù)f（x）二x aln x（a為實常數(shù)）. 若a - -2，求證：函數(shù)f（x）在（i,+ m）上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)f（

15、x）在1, e上的最小值及相應(yīng)的 x值；若存在x 1，e，使得f （x）豈（a - 2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍例13 （先猜后證技巧） 已知函數(shù)f（x）1n（x 1）x（I）求函數(shù)f （ x）的定義域（n）確定函數(shù)f（ x）在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論 k（川）若x>0時f（X）恒成立，求正整數(shù)k的最大值.x +1例 14 (創(chuàng)新題型)設(shè)函數(shù) f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的極值點，求a的值；(n )當 a=1 時,設(shè) P(xi,f(x 1), Q(X2, g(x 2)(x i>0,X2>0),且

16、 PQx 軸,求 P、Q兩點 間的最短距離；(川)若x > 0時，函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F( x)的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍.22 3 2,3上有最大值4，最小值(I)求a,b的值；(n)不等式 f(2xk2x例15(圖像分析，綜合應(yīng)用)已知函數(shù)g(x) = ax - 2ax 1 b(a = 0,b ：1)，在區(qū)間 f(x)=型1，設(shè)X .-0在x -1,1上恒成立，求實數(shù)k的范圍；f(| 2x -1|) k( x (川)方程12 一112- 3) = 0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的范圍. 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列例16 (創(chuàng)新型問題) 設(shè)函數(shù)f (x) = (x - a)2(x b)

17、ex, a、b三R , x = a是f (x)的一個 極大值點.若a = 0，求b的取值范圍；當a是給定的實常數(shù)，設(shè) 為，x2, x3是f (x)的3個極值點，問是否存在實數(shù) b，可 找到 e R，使得, x2, x3, x4的某種排列 吿，亦 兀，程(其中h, i2, i3, i4 = ,2,3,4?)依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的x4 ；若不存在，說明理由. 導(dǎo)數(shù)與曲線新題型1 2例 17 (形數(shù)轉(zhuǎn)換)已知函數(shù) f (x) = In X , g(x)ax2 bx (a = 0).(1) 若a = _2 ,函數(shù)h(x) = f (x) - g(x)在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范

18、圍；(2) 在(1)的結(jié)論下，設(shè)函數(shù) (x)=e 2x+bex,x 0,In2,求函數(shù) (x)的最小值；(3) 設(shè)函數(shù)f(x)的圖象G與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作x 軸的垂線分別交 G、C2于點M、N ,問是否存在點R,使G在M處的切線與 C在N 處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.x例18 (全綜合應(yīng)用)已知函數(shù)f (x) =1 ln (0 ： x ： 2).2-x(1)是否存在點M(a,b),使得函數(shù)y二f (x)的圖像上任意一點 P關(guān)于點M對稱的點Q 也在函數(shù)y = f (x)的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；2n ° i 122n T*定義 Sn 八.f()二 f( ) f() f( )，其中 L N ,求 S2013；i#n n nn(3)在的條件下，令Sn 2an ,若不等式2an (an)m 1對_n N*且n _ 2恒成 立,求實數(shù)m的取值范圍. 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合2例19 （換元替代，消除三角）設(shè)函數(shù)