數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)打印

1、等差數(shù)列前n項和的最值問題:1、假設(shè)等差數(shù)列an的首項ai >0,公差d <0 ,那么前n項和&有最大值.(i)假設(shè)通項a.,那么Sn最大=!''0 ;an 1 < 0(ii)假設(shè)Sn=pn2+qn,那么當n取最靠近一&的非零自然數(shù)時&最大；2p2、假設(shè)等差數(shù)列an的首項仇<0,公差d>0,那么前n項和S有最小值；一(i)假設(shè)通項an,那么&最小之Ian-0 ;ani -0口 二一(ii)假設(shè)Sn =pn2+qn ,那么當n取最靠近的非零自然數(shù)時&最??；2p數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通

2、項公式. Sn (即 a+a2+|1|+an = f (n)求 an ,用作差法：an =埠“ 二1).Sn - Sn(n - 2)f(1),(n =1) aLa2 J,=an = f (n)求 an ,用作商法：an = « f (n).,(n - 2)f(n-1)條件中既有Sn還有an,有時先求再求烝；有時也可直接求工.假設(shè) an+-an = f (n)求 an 用累加法：an =(an -anj) +(anj -an) +IH +(a2 a1)a1 (n -2) oa土=f(n)求an,用累乘法：an =兒,包二川,& a(n之2). anananqa1遞推關(guān)系求an,

3、用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).特別地,(1)形如an=kan+b、a0= ka0+bn ( k, b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an ;形如an = k%+kn的遞推數(shù)列都可以除以kn 得到一個等差數(shù)列后,再求為.(2)形如an = % 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項.kan4 b(3)形如an=ank的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項.(7)(理科)數(shù)學歸納法.(8)當遇到工書-a»=d或生土 = q時,分奇數(shù)項偶數(shù)項討論,結(jié)果可能是分段 an 1、典型題的技巧解法1、求通項公式(1)觀察法.(2)由遞推公式求通項.對于由遞推公式所確定的數(shù)列的

4、求解,通常可通過對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列 問題.(1)遞推式為 an+i=an+d 及 an+i=qan (d, q 為常數(shù)) 例 1、an?兩Ji! an+i=an+2,而'J=L ai=1.求 ano例1、解二力口+9口二為常數(shù)an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列 .an=1+2 (n-1 )即 an=2n-11 例 2、an ?兩足 an+ = an,而 a1=2,求 an = ?2 遜ft式為-an+T=an+f愚簾數(shù)丁 1例 3、an中 a1.二an 書=an f? ?求 an.,一自2-： 一 4n：T- 一 ,一,一,1111解：由可卻.an 1 -匈1J(

5、-1 )(an-a n-1(2n 1)(2n-1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2,(n-1),代入得(n-1)個等式累加,即(a2-a0 + (a3-a2)+ + 說明只要和f (1) +f (2)+f (n-1 )是可求的,就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2, (n-1)代入,可得n-1個等式累加而求an0 遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))例 4、an中,a1 =1 ,對于 n>1 (n C N)有 an =3an,+ 2 ,求 an.解法一:由遞推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2o 兩式相減：an+1-a n=3 (an-an

6、-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列,其首項為a2-a1= (3X1+2) -1=4an+1-an=4 3n-1 = an+1=3an+2?； 3an+2-an=4 - 3n-1 即 an=2 - 3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列,于是有：a2-a1=4, a3-a2=4 3, a4-a3=4 - 32, an-a n-1 =4 - 3n-2,把n-1個等式累加得：；an=2 - 3n-1-1遞推式為an+1=pan+qn (p, q為常數(shù))bn+ bn =2(bn bn)由上題的解法,得：bn = 3-2(-)na0=與=3(1)n -2(-)n332

7、n 23(5)遞推式為ant=pan+qan思路：設(shè)ant =pan+qan,可以變形為：an七aan由=P(an+aan),CL 4- p - r>就是y=(a + 3)-a B %那么可從?解得Q, P,CL * p = -qk于是an+1- a an是公比為B的等比數(shù)列,就轉(zhuǎn)化為前面的類型.21【例6】數(shù)列區(qū)中,曠1,藥=2, an+3=-ail+1+-an,53求 an.(6)遞推式為S與an的關(guān)系式關(guān)系；(2)試用n表小an 0Sn 1 -'Sn = (an an i =an1+2n1.1-a n 1 ' 2nl a n 1 = 2 a n上式兩邊同乘以2n+1

8、得2n+1an+1=2nan+2那么2nan是公差為2的等差數(shù)列 .2nan=2+ (n-1) 2=2n 二 口2.數(shù)列求和問題的方法1:(1)、應用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和,另外記住以下公式對求和來說是有益的.21+3+5 + + (2n-1)=n【例 8求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+1.,(13+15+17+19,前 n 項的和.1解此題實際是求各奇數(shù)的和,在數(shù)列的前n項中,共有1+2+=n(n+1)個奇數(shù),2 最后一個奇數(shù)為：1+1口(口+1)-1 X2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項進行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等

9、差數(shù)列或等比數(shù)列求和.例 9求和 S=1 (n2-1 ) +2 - (n2-22) +3 - (n2-32) + +n (n2-n2)解S=R (1+2+3+ Tn) - ( 13 +23+33+n3)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列,采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,然后求和.例 10、求和：Sn =3C： +6C：j+| +3nC： I |例 10、解 Sn =0 C0 +3C： +6C； +| + 3nCn . S_3_4 2(4)、錯位相廨如且運用C： = C產(chǎn)可得如果一個數(shù)潴儂苜3ir縊物|刻與貸d比麴利時及項相乘構(gòu)成的,可把和式的兩端同乘以上

10、面的等比數(shù)列的公上匕,然后錯位和減求和.一例11、求數(shù)列1, 3x, 5x2,(2n-1)x n-1前n項的和.解設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 時,Sn=1.(3)當xw0且xw1時,在式兩邊同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-,得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式,然后前后相消.常見裂項方法：一 一11131例 12、求和 - m1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)E1111注：在消項時定注意消去亍哪些項e剩下哪些

11、項,一般地剩下的正項與負項一樣多.=(-)o (2n-l)(2a + 3) 4%T 2n+3數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)在掌握常見題型的解法的同時,也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題時的應用.二、常用數(shù)學思想方法1 .函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.【例13】等差數(shù)列an的首項ai>0,前n項的和為S,假設(shè)S=S (l wk)問n為何值時與最大此函數(shù)以n為自變量的二次甲森ai>0?Si=Q (lwk) ,dv 0故此二次函數(shù)的圖像開口向下f (l) =f (k),當區(qū)時f (又)最大,f (n)中,nE Nc2 .方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列當a4觸僮數(shù)詼ta也假設(shè)u3+S品2甌 最默到的公比q.?此題考查等比數(shù)列的根底知識及推理水平.：解:依題意可西強為奇數(shù)時,n =里至明最大.;如果q=1,那么S3=3ai, S6=6ai, So=9ai.由此應推出 ai=0與等比數(shù)列不符.- qw1整理得q3 (2q6-q3-1 ) =0?,qw0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3&= (1+q3)S9=S3+q3&=S (1+q3+q6),二.由 S3+S5=