平面并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)研究

1、平面2自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)研究林協(xié)源1 劉冠峰1（1.廣東工業(yè)大學(xué) 廣州 ）摘要：本文面向高速高精LED電子封裝設(shè)備設(shè)計(jì)了一種高速高精2自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)（2-PPa并聯(lián)機(jī)器人）。該機(jī)構(gòu)由一個(gè)動(dòng)平臺(tái)和兩個(gè)對(duì)稱分布的完全相同的支鏈組成，每個(gè)支鏈中都有一個(gè)移動(dòng)副(驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié))和一個(gè)由平面平行四邊形組成的特殊轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)副。首先推導(dǎo)出該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型包括正反解；其次結(jié)合焊線機(jī)實(shí)際工藝要求提出多項(xiàng)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)對(duì)該機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化；然后基于Euler-Lagrange方程建立該機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，最后通過(guò)算例分析兩個(gè)移動(dòng)副在動(dòng)平臺(tái)按照一定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)其速度、加速度和驅(qū)動(dòng)力的變化規(guī)律。這

2、些為接下來(lái)研究該機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能和系統(tǒng)解耦控制等都具有重要意義。 關(guān)鍵詞：2自由度 平面并聯(lián)機(jī)器人 運(yùn)動(dòng)學(xué) 動(dòng)力學(xué)Kinematic and Dynamic Analysis of a Planar Two-degree-freedom Parallel ManipulatorLIN Xieyuan1 LIU Guanfeng1（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）Abstract：In this paper，a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for use

3、s in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the mani

4、pulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving

5、torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.Key words: 2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics0 前言在電子、包裝和食品等輕工業(yè)場(chǎng)合中，機(jī)器人只需要3到4個(gè)自由度即可滿足使用要求。串聯(lián)機(jī)器人由于自身具有較大的質(zhì)量和慣性，很難應(yīng)用到需要高速高負(fù)載能力的場(chǎng)合。并聯(lián)機(jī)器人很好的彌補(bǔ)

6、了串聯(lián)機(jī)器人這方面的不足。所以，近年來(lái)少自由度并聯(lián)機(jī)器人的研究相當(dāng)熱門(mén)。其中3自由度并聯(lián)機(jī)器人的研究已是相當(dāng)深入1-4。在Z方向只需要較小的操作位移時(shí)，末端搭載一個(gè)1或2自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)的2自由度并聯(lián)機(jī)器人相對(duì)應(yīng)3或4自由度的并聯(lián)機(jī)器人會(huì)顯得更加經(jīng)濟(jì)適用。清華大學(xué)曽提出過(guò)兩種平面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人：一種是PRRRP（P表示移動(dòng)副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副）并聯(lián)機(jī)器人，其中兩移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)方向平行，且機(jī)器人的末端姿態(tài)是可變的5；一種是2-PPa（Pa表示平行四邊形機(jī)構(gòu)）并聯(lián)機(jī)器人，同樣，該機(jī)器人的移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)方向也平行，不過(guò)其末端姿態(tài)不可變6。文章6中的并聯(lián)機(jī)器人最后應(yīng)用在了立式機(jī)床上。同樣的2-PPa并聯(lián)機(jī)器

7、人，上海交通大學(xué)將其應(yīng)用在高速高精度的場(chǎng)合#。移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)方向平行的機(jī)器人在移動(dòng)副移動(dòng)的方向上有很好的運(yùn)動(dòng)性能，但在平面內(nèi)的垂直移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)方向的方向上其運(yùn)動(dòng)性能便差了些，通常是通過(guò)增加兩移動(dòng)副間的距離來(lái)改善。為了彌補(bǔ)兩移動(dòng)副平行的2-PPa并聯(lián)機(jī)器人在某一方向上相對(duì)較差的運(yùn)動(dòng)性能的不足，本文提出了一種兩移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)方向正交的2-PPa并聯(lián)機(jī)器人，如圖1所示。圖中的正方形表示末端動(dòng)平臺(tái)，邊長(zhǎng)為2a；兩個(gè)長(zhǎng)方形表示移動(dòng)副（即滑塊），分別用q1和q2表示；圓圈表示轉(zhuǎn)動(dòng)副；連接滑塊和動(dòng)平臺(tái)的是兩平行連桿，長(zhǎng)為l。圖中的i ,i分別為連桿和電機(jī)驅(qū)動(dòng)的單位方向矢量。圖1 平面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人實(shí)際構(gòu)型本文將

8、從以下幾方面展開(kāi)：推導(dǎo)出該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并確定機(jī)器人的結(jié)構(gòu)尺寸；基于Euler-Lagrange方程建立該機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程；最后通過(guò)仿真觀察動(dòng)平臺(tái)按照一定軌跡和速度曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)滑塊的速度、加速度和受到的作用的變化情況。1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與參數(shù)確定1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析（1）求機(jī)器人的反解。根據(jù)圖1，可得封閉矢量關(guān)系:r=qiui+lwi-aui等式兩邊取摸，可得：r-qi+-aui=l由上式，可得其位置逆解方程如下： Q±2-y21=x （1）Q2x2=y±l-其中Qi=qi-a，對(duì)于圖1中，“±”號(hào)取“+”號(hào)。（2）求機(jī)器人的正解。根據(jù)（1）式，可解得其運(yùn)動(dòng)

9、學(xué)正解如下：x=12 4l2 Q1-Q2-1Q221+Q2（2） 21 4ly=-12 Q2-Q1Q221+Q212 2x= Q1+Q4l2Q22-11+Q2（3）214y=2 Q2+Ql1-1Q221+Q2由于壓力角和實(shí)際工作的原因，取式（3）為其正解。（3）求機(jī)器人的Jacobian矩陣。根據(jù)式（3）分別對(duì)Q1和Q2求偏導(dǎo)，可得其Jacobian矩陣： J=11+MQ1Q2-N+MQ222-N+MQ2Q （4） 11+MQ122式中N=4·lQ2-1，1+Q2M=（N2+1）4l24l2N=N(Q222。 1+Q2)1.2 機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì) （1）機(jī)構(gòu)性能指標(biāo) 首先是局部條件系數(shù)

10、（local conditioning index LCI），其取值范圍為0,1。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在某位置LCI為1時(shí)表示機(jī)器人在該位置的位形各向同性，靈巧性最好和控制精度最高7, 8。根據(jù)LCI的定義1/=min/max，其中min和max分別表示J的最小和最大奇異值。圖2 l=121、a=80和工作空間為100*100關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí)時(shí)，工作空間內(nèi)各點(diǎn)靈巧度分布圖由上圖可知，動(dòng)平臺(tái)在規(guī)定的工作空間里，在越靠近y=-x的直線的區(qū)域，機(jī)器人的靈巧性和控制精度等越好；反之，越差。 其次是全局條件系數(shù)（global conditioning index GCI），是將LCI推廣到整個(gè)工作空間內(nèi)，可衡量機(jī)

11、器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的靈巧性和控制精度等9, 10?？筛鶕?jù)下式：=1WdW/WdW其中W表示機(jī)器人的工作空間；1/=min/max。最后是全局速度系數(shù)(global velocity index GVI)，其值越大越好。由機(jī)器人的速度模型可得：TTrr=pJTJp其中p為單位輸入速度。故，由上式可得：Vmax=maxi和Vmin=mini，其中Ti為矩陣JJ的特征值。將最大和最小輸出速度定義為局部速度系數(shù)（local velocity index LVI），在這基礎(chǔ)上，通過(guò)下式定義全局速度指數(shù)（global velocity index GVI）Vmax=WVmaxdW/WdW Vmin=WV

12、mindW/WdW其中W為機(jī)器人的工作空間。（2）根據(jù)動(dòng)平臺(tái)的需求確定機(jī)構(gòu)參數(shù)范圍。根據(jù)動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)需求，給定動(dòng)平臺(tái)的工作空間為關(guān)于圖1中原點(diǎn)中心對(duì)稱的邊長(zhǎng)2a的正方形所圍面積，即X和Y方向的范圍都是-a,a。取工作空間為正方形，可由局部條件系數(shù)的說(shuō)明中看出。由式（3）可得：4l2Q21+Q2-12根據(jù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可得：Qimax2l （5）將式（7）代入式（1），再結(jié)合機(jī)器人機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性，可得：-2-1）lx2-1）l -2-1）ly2-1）l（3）優(yōu)化機(jī)器人機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方程與約束條件如下所示：minf=1l/a-2log(100-a)-3log(a-60)s.t.60a100x

13、max/(2-1)l2000.8Vmin0.91+2+3=1目標(biāo)函數(shù)中，第一項(xiàng)是為了得到機(jī)器人較好的結(jié)構(gòu)比例，而后兩項(xiàng)是為了避免動(dòng)平臺(tái)的取值太過(guò)接近邊界。有關(guān)l的約束是為了確保機(jī)器人的工作空間在x和y方向上都包含-50,50，同時(shí)避免桿長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)。0.8和Vmin0.9是為了讓機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)盡可能滿足高速高精的性能要求。1、2和3為加權(quán)系數(shù)，在此分別去解上述方程可知其取整后的最優(yōu)解為：f=-1.0251，此時(shí)l=160mm，a=85mm。如下圖所示。圖3 a、l與f的關(guān)系圖1.3 機(jī)器人模型根據(jù)給定的尺寸，設(shè)計(jì)機(jī)器人如下圖所示。圖4 機(jī)器人示意圖2 動(dòng)力學(xué)由于該機(jī)器人是在平面內(nèi)工作，可以不

14、考慮重力因素，故其關(guān)節(jié)空間Euler-Lagrange動(dòng)力學(xué)方程為：D(q)q+C(q,q)q=其中矩陣D(q)= dd1112d21d22表示機(jī)器人的慣性矩陣，可通過(guò)計(jì)算整個(gè)機(jī)器人的動(dòng)能獲得；矩陣C(q,q)表示離心力和哥氏力矩陣cccq111q1+211q2121 cq+c1+c221q2，其1121212q2c122q1+c222q2中cijk（i，j，k=1,2）是第一類Christoffelsymbols11，可通過(guò)下式計(jì)算得到，c1dkjdkidijijk=2 q+q-； ijqk向量= 12表示滑塊受到的作用力。3 PD與解耦控制 4 總結(jié)（1）2-PPa并聯(lián)機(jī)器人的末端運(yùn)動(dòng)空間

15、為100mm*100mm，連桿長(zhǎng)度l=160mm，量滑塊的有效行程為108mm，兩滑塊X和Y軸上的起點(diǎn)都為距離原點(diǎn)182mm處。（2）該機(jī)器人末端平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)需要兩個(gè)移動(dòng)副的耦合生成。（3）移動(dòng)副所受作用的仿真為直線電機(jī)的選型提供了理論依據(jù)。在本文中，通過(guò)實(shí)際設(shè)計(jì)要求和運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)，確定了機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，并完成了機(jī)器人的設(shè)計(jì)；完成了機(jī)器人的Euler-Lagrange動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)；最后給定機(jī)器人一定的結(jié)構(gòu)參數(shù)和設(shè)定動(dòng)平臺(tái)速度曲線，觀察兩個(gè)滑塊的速度、加速度和受力曲線。以上這些為接下來(lái)研究該機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能和系統(tǒng)解耦控制等都具有重要意義。接下來(lái)的研究主要是對(duì)整個(gè)機(jī)器人進(jìn)行CAE分析，分析其模態(tài)

16、及在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的形變等，進(jìn)而優(yōu)化機(jī)器人參數(shù)，然后加工制造出樣機(jī)，并在樣機(jī)上進(jìn)行解耦控制等研究。參考文獻(xiàn):1. Chablat, D. and P. Wenger. Architectureoptimization of a 3-DOF translational parallelmechanismformachiningapplications, the orthoglide. 2003. 2. LOU Yunjiang, and LI Zexiang. A Novel3-DoFPurelyTranslationalParallelMechanism. in Intelligent Robot

17、s and Systems, 2006 IEEE/RSJ International Conference on. 2006. Beijing.3. Stamper, R.E., L.W. Tsai and G.C. Walsh.Optimization of a three DOF translational platform for well-conditioned workspace. in RoboticsandAutomation,1997.Proceedings., 1997 IEEE International Conference on. 1997. Albuquerque,

18、NM. 4. Limin, Z. and S. Yimin. Optimal design ofthe Delta robot based on dynamics. in Robotics and Automation (ICRA), 2011 IEEE International Conference on. 2011. Shanghai.5. LIU, Xinjun., Wang Jinsong and G.Pritschow, On the optimal kinematic design of the PRRRP 2-DoF parallel mechanism. Mechanism and Machine Theory, 2006. 41(9): p. 1111-1130.6.LIU, Xinjun and Wang Qiming, Kinematics,dynamics and dimensional synthesis of a novel 2-DoF translational manipulator. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2005. 41(4):