【高中數(shù)學(xué)題型歸納】3.3定積分和微積分基本定理

1、第三節(jié)定積分和微積分基本定理考綱解讀1 ,了解定積分的實際背景、基本思想及概念.2 ,了解微積分基本定理的含義.命題趨勢探究定積分的考查以計算為主，其應(yīng)用主要是求一個曲邊梯形的面積，題型主要為選擇題和填空題.知識點精講一、基本概念L定積分的極念一般地，設(shè)函效/（X）在區(qū)間a, b上連續(xù).用分點。=x）內(nèi)%2%一1 苒七二將區(qū)間 m/等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（*=也），在每個小區(qū)間上任取一點 n“ h 一 a4.（i = l,2,，作和式：S“=Z/©加=E fG 當(dāng)才無限接近于0 （亦即.”） 1-1r-l n時，上述和式s”無限趨近于常數(shù)S,那么稱該常數(shù)S為函數(shù)/（X）在區(qū)

2、間出,切上的定積分.記為：S = f（xlx, /（x）為被積函數(shù)“為積分變量口,切為積分區(qū)間'”為積分上限'”為積分下限. 需要注意以下幾點：（1）定積分J：/（xMx是一個常數(shù)，即S“無限趨近的常數(shù)S （ 時），稱為£,而不是S”.（2）用定義求定積分的一般方法."h - a分割：等分區(qū)間？萬；近似代替：取點。£卜21,七:求和：Z f&）；取極限： /- （3）曲邊圖形面積：S=£/（a/x：變速運(yùn)動路程S = '1（儀；變力做功s =尸（x）,a2.定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間a,5上函數(shù)FG）連續(xù)且恒有

3、/（X）之0,那么定積分，/（x/x表示由直線 工=0 =雙工力）,），=0和曲線了 = £j）所圍成的曲邊梯形（如圖3-13中的陰影部分所示）的面積，這就是定積分J： f （X”大的幾何意義.一般情況下，定積分£ fgb的值的幾何意義是介于x軸、函數(shù)fx的圖像以及直線x = a,x=bN 間各部分面積的代數(shù)和，在戈軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負(fù)號.二、基本性質(zhì)性質(zhì)11i”x=一性質(zhì)2，夕&)心=攵(丁。)公(其中女是不為0的常數(shù))(定積分的線性性質(zhì)).性質(zhì)3 £'/,(x)±人«卜伙=£/； Wdx

4、7;£ f2(x)dx (定積分的線性性質(zhì)).性質(zhì)4 /3公=£/(工)公+/(伏(其中“。加(定積分對積分區(qū)間的可加性)推廣 1 £ IZ (a) ± /2 (x) ± - - ± fin (x)dx = £ f (x)dx ± £ f2 (x)dx ± - - - ± £推廣 2 J f(x)dx = J ' f(x)dx + ' fxdx-F J f(x)dx .三、基本定理設(shè)函數(shù)/(X)是在區(qū)間,切上連續(xù)，且F(x)是/*)是在出,切上的任意一個原函數(shù)

5、，即bF(x) = f(x),則/(幻公=尸(見尸，或記為/(外公=爪)“=F(b)-F(a),稱為牛頓一 萊布尼茲公式，也稱為微積分基本定理.該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，只要求出被積函數(shù)/(工)的一個原函數(shù)尸(1).然后計 算原函數(shù)F(x)在區(qū)間力上的增量尸俗)-尸(幻即可，這一定理提示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián) 系.題型歸納及思路提示題型51定積分的計算思路提示對于定積分的計算問題，若該定積分具有明顯的幾何意義，如圓的面積等(例3.26及其變式)，則利 用圓而積計算，否則考慮用牛頓-萊布尼茨公式計算.例 3.25 (2012 江西 11)計算 J：(x2+sinx/x=.解

6、析£( x2 4-sinx)fA¥=x323A. B. C, D.變式 i j：La=() 一 XA.-2In 2 B. 2In 2C.-ln2 D. In 2變式 2 £ (ex + 2x)dx =()A.l Be! C.e D. e+變式 3 設(shè)函數(shù) f(x) = aF+c(awO),若 J：x)4x =/(x0) (0 W x° < 1),則 / 的值為.,、k, f(x)Wk變式4設(shè)函數(shù)> = /(x)的定義域為R.若對于給定的正數(shù)&，定義函數(shù)£(x) =，則J (x)> J x) > k當(dāng)函數(shù)/(力，攵

7、=1時，定積分J"(x)公的值為 X4( )A.21n2 + 2 B. 21n2-lC.21n2 D. 21n2+l例3.26根據(jù)定積分的幾何意義計算下列定積分(1) (2-(2) y-x2dx分析根據(jù)定積分的幾何意義，利用圖形的而積求解.解析根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是直線所圍成圖形(如圖3-14所示)的而積的代數(shù)和，很顯然這是兩個面積相等的等腰直角三角形，如圖3-14所示，其面積代數(shù)和是0,故J：(2-工卜僅=0.圖 3-16圖3T7（2）根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是曲線/ +產(chǎn)句什之。）和x軸圍成圖形（如圖3-15所示）的面積，顯然是半個單位圓，其而積是g,故&

8、#163;07了公=工.212評注定枳分，（x）dx的幾何意義是函數(shù)和直線x = 以及x軸所闈成的圖形面積的代數(shù)和，面積是正值，但積分值卻有正值和負(fù)值之分，當(dāng)函數(shù)時,/（工）0面積是正值，當(dāng)函數(shù)/（工）0時，積分值是負(fù) 值.變式1根據(jù)定枳分的幾何幾何意義計算下列定積分.(1) J：(x + 2)dx：(2) J，4-x” :(3) sin xdx ：Jo3開(4) J j sin xdx .題型52求曲邊梯形的面積思路提示函數(shù)y = f（X）,y = g（X）與直線x = a,x = bv/?）圍成曲邊梯形的面積為S=£lf（x）-g（A）ldx,具體思路是：先作出所涉及的函數(shù)圖象，

9、確定出它們所圍成圖形的上、下曲線 所對應(yīng)函數(shù)，被積函數(shù)左、右邊界分別是積分下、上限.例3.27由曲線），=/，），= /圍成的封閉圖形的面積為（）A.B.-C.-D.124312解析由/ = d得x = 0或丫 = 1,則由），=/和），=x3圍成的封閉圖形的面積為=故選A.4 12變式1 （2012湖北理3）已知二次函數(shù)y = /（x）的圖象如圖3-16所求，則它與x軸所圍成圖形的面積為()2乃 A,5變式2由曲線y = W和直線x = o,x = i,）, =產(chǎn)所圍成的圖形（如圖3-17中陰影部分所示）面積 的最小值為（）變式3求拋物線y2 = 4x與y = 2x 4圍成的平而圖形的面積.

10、變式4求由兩條曲線y = 4/,y = lx2和直線y = 4所圍成的面枳.最有效訓(xùn)練題16 （限時45分鐘）41.己知函數(shù)/(1)=/一21一3,則(A. -2B.-C.-4 D.332 ,定積分£“1-(17卜=(*2A.43 ,設(shè)/") =B.-12廠，xe乃一1C.47C-D.2°/2-x, xe (1,23 45A.-B.-C-D.不存在4 564 . a = £ xdx, b = J（）/"x, c = £ sin xdx ,則 的大小關(guān)系是（）羯.a<c<b B.a<b<c C.c<b<

11、;a D. c<a<b5 .曲線y = sinx, y = cosx與直線x = O,x = f所圍成的平面區(qū)域的而積為（）A. 1 B. 2C.V2-1 D. 2（>/2-l）6 .由直線工=三,% =工,），=0與曲線），= cos8所圍成的平面圖形的面積為（）A.- B. 1C. D. x/3227 .拋物線y2 = 2x與直線>，=4 x圍成的平面圖形的面積為.8 .已知工）是偶函數(shù)，且J：/（x”x = 6,貝ijJ：x）4x =.9 .JJ（2-I1-x ly/r =.（110 .已知函數(shù)），= /（x）的圖象是折線段ABC,其中A（0,0）,8 ,5 ,C（l,0）.函數(shù)（ 2 >y = .礦（x） （0 < x < 1）的圖象與x軸所圍成的圖形的而積為.11 .根據(jù)定積分的幾何意義計