【備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)】專題13與函數(shù)不等式證明有關(guān)的問題(解析版)

1、5 / 20【備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)】專題十三 與函數(shù)不等式證明有關(guān)的問題一、問題指引利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點題型.求解此類問題關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后以導(dǎo)數(shù)為工具來研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域)，從而達(dá)到證明不等式的目的.二、方法詳解(一)把證明f x k轉(zhuǎn)化為證明f x min k。2ax3【例】(2019 北京清華附中高三開學(xué)考試(理)已知函數(shù)f(x) ln(ax 1) 2ln2 -(a 0, a為常x 22數(shù)，x 0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；.3(2)當(dāng) 0 a,-時，求證：f (x)0 .【答案】(1)當(dāng) 0 a 1 時，x (0,),f(

2、x)在(0,)為增函數(shù)。當(dāng) a 1 時，x (0,4a 4) , f (x) 0,f (x)在(0,4a 4)為減函數(shù)，在(4a 4,)為增函數(shù)。(2)證明見解析【解析】【分析】(1)首先求出f (x) axx (4a 4)1,分別討論4a 4 0和4a 4 0時的單調(diào)區(qū)間即可. (ax 1)(x 2)3(2)分別求出0 a 1和1 a 3時，函數(shù)f (x)的最小值，從而確定 a的范圍，證明其結(jié)論即可【詳解】(1) f (x)ax x (4 a 4) (ax 1)(x 2)2a 2a(x 2) 2axax 1 (x 2)2當(dāng) 4a 4 0,即 0 a 1時，x (0,), f (x) 0, f

3、(x)為增函數(shù).當(dāng) 4a 4 0 ,即 a 1 時，令 f (x) 0 , x10 , x2 4a 4.x (0,4 a 4) , f (x) 0 , f(x)為減函數(shù)，x (4a 4,) , f (x) 0, f(x)為增函數(shù).3(2)當(dāng) 0 a 1 時，由(1)知，f (x)在(0,)為增函數(shù)，f(x) f (0) 2ln 2 0.即證 f(x) 2,3當(dāng)1 a 一時，f (x)在(0,4 a 4)為減函數(shù)，在(4 a 4,)為增函數(shù). 22a(4a 4)34a(a 1)3fmin(x) f (4a 4) lna(4a 4) 12ln 2 2ln(2a 1)2ln 2 -.4a 4 222

4、a 1213211o令 2a 1 t, t (1,2, g(t) 2ln t (t-)2ln 2, g (t)1-(-1)20.t2tt2t13所以 g(t)在(1,2為減函數(shù)，gmin(t) g(2) 2ln2 (2 -) 2ln2 一 0.所以 fmm(x) 0,即證 f(x) 0. 22綜上所述：f(x) 0.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決含參單調(diào)區(qū)間問題，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題【例】(2020 云南高三(理)設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有零點，證明： 【答案】(1)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2).【解析】【分析】(1)先確定函數(shù)的定義域，然后

5、求，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)采用分離參數(shù)法，得，根據(jù)在上存在零點，可知有解，構(gòu)造，求導(dǎo)，知在上存在唯一的零點，即零點k滿足，進(jìn)而求得，再根據(jù)有解，得證【詳解】(1)的定義域為，因為，所以.所以當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).(2)證明：由題意可得，當(dāng)時，有解，即有解.令，則. 設(shè)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上存在唯一的零點.故在上存在唯一的零點.設(shè)此零點為，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上的最小值為.又由，可得，所以，因為在上有解，所以，即.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，考查

6、了利用導(dǎo) 數(shù)研究函數(shù)的零點問題，涉及了求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用等知識；從哪里入手， 怎樣構(gòu)造，如何構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，是解決此類問題的關(guān)鍵一步.【類題展示】已知.(1)設(shè)是的極值點，求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：(2)時，求證：.【分析】(1)由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是函數(shù)的極值點，解得，又由，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1),進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性，即可作出證明.【解析】(1)由題意，函數(shù)的定義域為，又由，且是函數(shù)的極值點，所以，解得，又時，在上，是增函數(shù),且，所以，得，得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為 .(2)由(1)知因為，在上，是增函數(shù)

7、，又(且當(dāng)自變量逐漸趨向于時，趨向于)，所以，使得，所以，即，在上，是減函數(shù)，在上，是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即成立，【評注】有時當(dāng) f X的最小值無法直接確定時，可先構(gòu)造一個關(guān)于極值點的函數(shù)，再證明。(二)不證明f X g X轉(zhuǎn)化為證明f X g X 0【例】(2020 內(nèi)蒙古高三期末考試)設(shè)函數(shù) f(X)lnX.(1)求函數(shù)g(X) X 1 f(X)的極小值；(2)證明：當(dāng)X 1,)時，不等式(X 1)f(X)2(x 1)恒成立.【答案】(1)0; (2)見解析.【解析】【分析】(1)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，分析函數(shù) g(x)的單調(diào)性，即可

8、求出極小值;(2)方法In xx 12x 1 'In x x 1不等式(X 1)f(x)2(x 1)恒成立等價于 0恒成立.令h(x)2 X 1對函數(shù)h(x)求導(dǎo)，分析函數(shù)h(x)的單調(diào)性，即可證明.方法二：令h(x) (x 1)ln x 2(x 1),(x-1).通過對函數(shù)h(x)二次求導(dǎo)，分析函數(shù) h(x)的單調(diào)性，即可證明.1 X 1一【詳解】(1) g(x) X 1 f(x) x 1 lnx(x 0),則 g(x) 1 ，令 g (X) 0,則 x 1. X X當(dāng)X (0,1)時，g (x) 0, g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)X (1,)時，g (X) 0,g(x)為單調(diào)增函數(shù)；

9、所以當(dāng) X 1時，函數(shù)g(x)取得極小值g(1) 0.In x x 1(2)萬法一：當(dāng)X 1, 時，不等式(X 1)f(x)2(X 1)恒成立，等價于 0恒成立.令 h(x)In x x 1122x (x 1)2(x 1)22x(x 1)2.所以，當(dāng)x1 時,h(x)-0,In xx 1所以，h(x)在1,)上單調(diào)遞增.h(x)h(1) 0,所以 0.2x 1即當(dāng)x 1,)時，(x 1)f(x)2(x 1)恒成立.方法二：當(dāng)x 1,)時，不等式(x 1)f(x)2(x 1)恒成立，等價于(x 1)f (x) 2(x 1卜0恒成立,2(x 1),(x 1),則 h (x) In x .xx 1(

10、x) -0 ,所以(x) h (x)在1, x)上即(x 1)ln x 2(x 1) 0 恒成立，令 h(x) (x 1)ln x.1 xx 1令(x) In x ，則 (x)2-.因為x 1 ,所以xx單調(diào)遞增，所以h (x) -h (1) 0,故h(x)在1,)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(1) 0,即(x 1)ln x 2(x 1>0.所以，當(dāng) x 1,)時，不等式(x 1)f (x) -2(x 1)成立.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，屬于較難的題目.【類題展示】【黑龍江省哈爾濱市 2020屆高三期中】已知(I )列表求在的所有極

11、值；(n)當(dāng)時，(i)求證：；(ii)若恒成立，求的取值范圍【分析】(I )求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于求其增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于求其減區(qū)間；(n) (i)構(gòu)造輔助函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求時，(ii)構(gòu)造輔助函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求時，然后對的值進(jìn)行分類討論，求在不同取值范圍內(nèi)時的的最小值,由最小值大于等于得到的取值范圍；【解析】(I )因為，所以 ，的變化關(guān)系如下表：遞增極大值遞減遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為(n )令,令，則對恒成立，在上是增函數(shù)，則，恒成立，在上為增函數(shù)，；（ ii ）令，要使恒成立，只需當(dāng)時，令，由（i）得，當(dāng)時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，上有實根，在上是增函數(shù)，

12、則當(dāng)時， ，不符合題意；當(dāng)時，恒成立，在上為減函數(shù)，不符合題意，即【評注】此種方法一般適用于f x g x 可以確定或用某一個量表示?！绢愵}展示】已知函數(shù).（ 1 ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）當(dāng)時，證明: （其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.【分析】（ 1 ）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案（ 2）由,轉(zhuǎn)化為只需證明，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值證明.【解析】（ 1 ）由題意，函數(shù)的定義域為,當(dāng)時， ， 則 .由解得或；由解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是.（ 2）當(dāng)時，由,只需證明.令 ， . 設(shè)，則 .當(dāng)時， ，單調(diào)遞減;當(dāng)時， ，單調(diào)遞增,，當(dāng)時

13、，取得唯一的極小值，也是最小值 .的最小值是 成立.故成立.（三 ）把證明f x g x 轉(zhuǎn)化為證明f x min g x max【例 3】 【河北省2020 屆高三期末】已知曲線在點處的切線與直線垂直.2）若，證明：【分析】 （ 1 ） 先對求導(dǎo)，再由曲線在點處的切線與直線垂直可得，則求得 解析式， 然后通過單調(diào)性求最值。（ 2）要證，即證，即，構(gòu)造函數(shù)，通過證明，從而證明.【解析】 （ 1 ）由，得，所以，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，則，.令，則當(dāng)時， ，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為.（ 2）要證，即證，又因為，所以即證.記，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減

14、，所以當(dāng)時，有最大值.又記，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的最小值為.因為，所以，所以，所以成立.【評注】 當(dāng) f x g x 的最值無法確定時，要證明 f x g x ， 可考慮轉(zhuǎn)化為證明f x min g x max【類題展示】已知（I ）求函數(shù)在定義域上的最小值；（n）求函數(shù)在上的最小值；（出）證明：對一切，都有成立.【解析】（I ）由得，令，得.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增可得最小值為（n）當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，此時所以（出）問題等價于證明.由（1）知的最小值是， 當(dāng)且僅當(dāng)時取到，設(shè)，則，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時取到.從而對一切，都有成立.（四）對所給不等式通過恒等

15、變形，再構(gòu)造函數(shù)22【例】（2020 貴州局二（理）已知函數(shù)f x x ax a lnx, （a R）（1）討論f x的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)a 1時，對于任意x （0,）,都有f x 2xln x x2.【答案】（1）見解析（2）證明見解析【解析】【分析】0,a 0三種情況，討論f x的單調(diào)性.（1）求得f x的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對 a分成a 0,a2（2）將不等式f x 2xln x x轉(zhuǎn)化為（2x1)ln x1x 0 ,對x分成x 一，x2,1八1-二,0 x 二二種情況,22通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，證得不等式成立【詳解】（1） f x的定義域為 0,2c2j 八 a 2x ax a，f

16、 x 2x a - xx2x a x a當(dāng) a 0時，f x 2x 0, f x 在 0,上遞減., a 當(dāng)a 0時，x 時，f x2a .'0, f x 遞減，0 x 時，f x20, f x遞增.當(dāng)a 0時，xa 時，f x 0, f x 遞減，0 xa時，f x 0, f x遞增.綜上所述，當(dāng)a 0時，f x在0,a 上遞減，當(dāng)a 0時，f x在0,-上遞增，在2上遞減.當(dāng)a 0時，f x在0, a上遞增，在a，上遞減.21.(2)要證f x 2xln x x ,即證2x 1 In x x 0,當(dāng)x 時，不等式顯然成立21 . x _1, x 一當(dāng)x 一時，即證ln x 0 ;當(dāng)

17、0 x 一時，即證ln x 0.2 2x 122x 1-x11令 F x ln x ，則 F x - 22x 1x 2x 14x 1 x 1x 2x 1-1.1當(dāng)x 一時，在一,1上F x 0, Fx遞減，在1,22xF x min F 11 0,所以 lnx 0.2x 1上F x 0 , F x遞增，所以,11,'11,當(dāng)0 x 時，F(xiàn) x在0,上F x 0, F x遞增，在一，一上F x 0, F x遞 減,244 2111x所以 F x max F In 0，所以 In x0.max 44 22x 1綜上所述，當(dāng)a 1時，對于任意x (0,),都有f x 2xlnx x2.【點睛

18、】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題【類題展示】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）（I）若在上單調(diào)遞減，求的最大值；（n）當(dāng)時，證明：.【分析】（I ）由題意得對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則對于恒成立，由，得，然后再驗證時成立即可得到 所求.（n ）結(jié)合（I ）可得當(dāng)時，單調(diào)遞減，且， 故當(dāng)時，整理得.然后再證明成立，最后將兩不等式 相加可得所證不等式.【解析】（I ）由，得. 在上單調(diào)遞減，對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則對于恒成立.則，.，當(dāng)時，且單調(diào)遞增， 當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增. .,即恒成立，

19、的最大值為 2.（n）當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，即，,下面證明，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故成立.由+得成立.【評注】本題把一個不等式拆成兩個不等式分別證明，有時也可以先去分母或先局部放縮再構(gòu)造函數(shù)證明 【類題展示】已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，求證：.【解析】（1）由，得，定義域為令，解得，列表如下:+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減結(jié)合表格可知函數(shù)的極大值為，無極小值(2)要證明，即證，而定義域為，所以只要證，又因為，所以，所以只要證明 .令，則，記，則在單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時，從而；當(dāng)時，從而，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.所以當(dāng)時，.三、跟蹤訓(xùn)練a1.(2020河南局二月考(理)已

20、知函數(shù)f (x) 2x (1 2a)ln x -.x(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)如果方程f (x) m有兩個不相等的解 ox2,且xi X2,證明：f x1-2-0.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)得 f(x) (x 嗎x 1)(x 0),再對a進(jìn)行分類討論，解不等式，即可得答 x案；(2)當(dāng)a, 0時，f(x)在(0,)單調(diào)遞增，f(x) m至多一個根，不符合題意；當(dāng)a 0時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,)單調(diào)遞增，則f (a)0 .不妨設(shè)0x1ax2，只要證二一&ax22ax1，2再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論.【詳解】

21、1 2a ax x一 2一一(1) f (x)2x (1 2a)x a (x a)(2x 1)22(x 0).當(dāng)a, 0時,(0,), f (x)xx0, f (x)單調(diào)遞增；當(dāng) a 0時，x (0, a), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減；x (a,), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.11 / 20綜上：當(dāng)a, 0時，f(x)在(0,)單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,)單調(diào)遞增.(2)由(1)知，當(dāng) a, 0 時，f(x)在(0,)單調(diào)遞增，f (x)m至多一個根，不符合題意;當(dāng)a 0時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,)單調(diào)遞增，則f (a) 0

22、.不妨設(shè)0 x1 a x2,要證fx1x22a ,即證xiX22a ,即證 x2 2a x1 .因為f (x)在(a,)單調(diào)遞增，即證乂2f 2a x1 ,因為 f x2xif x1 f 2axi ,即證f(ax)f(ax).令 g(x) f(a x)f (ax)2(a x) (12a)ln( ax)2(a x) (1 2a)ln( a x)4x(12a)ln(a x)(1 2a)ln( ax)g(x)1 2a1 2a(a x)2 (a x)22a(1 2a)2a x2a a24x2 x2 a2 a(0,a)時,g (x) 0,g(x)單調(diào)遞減，又g(0)f(a 0)所以 x (0,a)時，g

23、(x) g(0) 0,即 f (ax)f(a x),又 x1(0,a)，所以 f x f 2a x ,所以 fxx22(a x)2(af(a 0)即 f (x)0.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、0,(a x)2(a x)2f (2a x).轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將所證不等式轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行122.已知函數(shù)f(x) -ax(1)討論f(x)的單調(diào)性.2.x 2a In x(a 0)(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2 ,證明:f(x1)f(x2)x x2【答案】(1)答案不唯一，具體見解析

24、(2)詳見解析17/20(1)求導(dǎo)得到f (x)22ax x 2a2,設(shè) p(x) axX 2a2(x 0),討論a的范圍得到p(x)的正負(fù),得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間.(2)由(1)知，當(dāng)f (x)存在兩個極值點,得到X1X21八，,將要證明的式子化為 a2a2 In 土X2X2(1)解:設(shè) p(x)所以X2XiX1X2以01t 1),證明 g(t) 0 - x1x22得到答案.f (x)2 axax2a22 ax2a2X (0,).2,x 2a (x0),1 8a30, P(x) 0,則f (x)0,f (x)在(0,)上單調(diào)遞增,p(x)的零點為X111 8a32a，X21,1 8a352ac 1

25、f (X)在 0,-“1 8a32a11 8a32a上單調(diào)遞增£- 1.1 8a 1.1 8af(x)在,2a2a上單調(diào)遞減，當(dāng)a 0時,p(x)的零點為1 6 8a , 2af(x)在 0,1.1 8a3田上單調(diào)遞增，在2a1.1 8a32a上單調(diào)遞減.(2)證明;不妨假設(shè)011)知，當(dāng)0 a 3時,1f (x)存在兩個極值點X1X2 ，則 X1X2-af x1要證1X1 X21,只需證X2f X1f x2X1X2X1X2XX1X2X2X2X1一1一只需證一 % x2a2 12X1x22 2a2 In 土X21一 X12 1X22a2 In 1X2X1x2X2X12. X1 X1即

26、證2a In - x2 x2X2X11一 X1 x22x. _，設(shè)t -(0 tX21),設(shè)函數(shù)g(t)2a2 In t tg (t)t2 2a2t 1t24a4 4 0,所以 t2 2a2t 1 0, g 0,所以g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，則g(t)1g(1) 0又一x x22°!X1X2 ,2a2 in XX2JxX2X2X112 X1X2f X1f X2X1X21X11X2【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，其中通過換元可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力a3.函數(shù)f(X) ln(X t) a,其中t, a,為實常數(shù) X(

27、1)若t 0時，討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性；(2)若t 0時，不等式f (x) 1在X (0,1上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；a.(3)右 g(X) e 一，當(dāng) t 2時，證明：g(X)f(x).X【答案】(1)見解析；(2) 1,)(3)見證明【解析】【分析】(1)代入t的值，求得導(dǎo)函數(shù)，對 a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間即可.(2)代入t的值，根據(jù)不等式分離參數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)g x xlnx x,x 0,1 ,再求g' x單調(diào)性求得最大值即可得 a的取值范圍.(3)要證明不等式成立，根據(jù)分析法得到只需證明ex In x 2 0成立即可.通過構(gòu)造函數(shù)F x ex In x

28、 2 ,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，根據(jù)最小值即可得證.【詳解】a 1 x a解(1) 7E義域為 0, f X2-,X X X當(dāng)a0時，Qx>0, x a 0 f X 0, f x在定義域0,上單調(diào)遞增;當(dāng)a 0時，Qx a時，f x 0, f x單調(diào)遞增；當(dāng)0xa時，fx 0. f x單調(diào)遞減；綜上可知：當(dāng)a 0時，f x的增區(qū)間為 0,無減區(qū)間;當(dāng)a 0時，增區(qū)間為 a,減區(qū)間為 0,a ；(2) flnxa .lnxa xlnxx對任意x0,1恒成立.即等價于lnx(3)即證xlnxxmax0,1 ，xlnx x, x0,1 .lnx0, x0,1g x 在 0,1上單調(diào)遞增,g

29、maxx g 11,1.故a的取值范圍為1,要證明g從而當(dāng)0,只要證ex ln x tln xln2,2,x0 時 Fx x0 時，F(xiàn)ln x 20,只要證明ln x20即可,exln x 2ex 在x 22,上是單調(diào)遞增,有唯一實根設(shè)為xO ,且x00, F x單調(diào)遞減，當(dāng)取得最小值，由F x2x0 2【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、難題.4. (2020福建高三(文)已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)0 a 1時，證明:xf(x)【答案】(1)詳見解析；(2)(1)求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng) ax0最值中的綜合應(yīng)用,f(x)a(sin詳見解析1時,xf (x) a(sin x 1),

30、只需證明xln x函數(shù)轉(zhuǎn)化證明，再證：ax 1asin x1,0x。,ex0時，F(xiàn) x0,單調(diào)遞增lnx x2X 1 x0 2分離參數(shù)法、0 ,故當(dāng)t 2時，證得：g構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，屬于1時，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，圖象函數(shù)的單調(diào)性;asinx 1,證明 xlnx ax 1 .設(shè) g(x) xlnx1,設(shè) h(x) x sin x,貝Uh'(x) 1 cosx > 0.ax要證利用函數(shù)的單調(diào)13 / 20性轉(zhuǎn)化證明即可.【詳解】（1）由,a 1,1f (x) ln x 得 f '(x)-1 時,f'(x) 0,所以 f(x)在(0,上（x 0）. x）上單調(diào)遞增.

31、27 / 20(x) 0得 x a 1 ,1 時，由 f '(x)0 得 x a 1 ；由 f所以f (x)在(0,a1）上單調(diào)遞減，在（a 1,）上單調(diào)遞增.(2)要證xf (x)a(sin x 1)成立,只需證xln x a1 asin x a成立，即證xln x asinx1.現(xiàn)證：xln x ax 1.設(shè) g(x)xln xax 1 .則 g '(x)1 In xa ln x,所以f（x）在（0,ea 1）上單調(diào)遞減，在a 1(e ,）上單調(diào)遞增.所以g（x）g(ea 1)(a 1)eaaea 1 1 1 ea 1.因為 0 a1,所以0 ,貝U g(x) 0 ,即 x

32、ln xax 1,當(dāng)且僅當(dāng)再證ax1 asin x 1.設(shè) h(x) xsin x ,則 h'(x) 1 cosx > 0.所以h（x）在（0,）上單調(diào)遞增，則h(x) h(0) 0,即 x sinx.因為0 a 1,所以ax 1 asin x1.當(dāng)且僅當(dāng)a 0時取等號,又xlnx ax 1與ax 1 asinx 1兩個不等式的等號不能同時取到,即 xlnx asinx 1,所以 xf(x) a(sin x 1).推理論證能力、【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識， 考查抽象概括能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)

33、合思想.考查數(shù)學(xué)抽象、x 2 ex,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).5. （2020河北石家莊二中高二月考）已知函數(shù)f x（1）求函數(shù)f x的最小值;1. .（2）若 x 一 ,1 都有 x ln x a f x ,求證：a 4. 2【答案】（1） f x min e（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究 f x的單調(diào)區(qū)間，由此求得f x的最小值.(2)由不等式XIn x a f x分離常數(shù)a ,即a x 2 ex x In x .構(gòu)造函數(shù)x lnx,x 2,1 ,利用導(dǎo)數(shù)求得g x的最大值，分析這個最大值求得的取值范圍.(1) f,1時,0,函數(shù)單

34、調(diào)遞減，當(dāng)x1,時，f' X單調(diào)遞增,mine.(2)證明:12，1In xx Inx 即In x xg' x1 exx xe1 xx xe1, X12，11-,1上單調(diào)遞增, h0,Ye 1 0, 存在唯一2xq1-,1使得h %2x0%e10,12，x°時,g'0 ,函數(shù)g x單調(diào)遞增,xq,1 時,g' x單調(diào)遞減,maxxqxq2 eXo XqIn x0Xq2xq In xqxq1 2Xqxq In xq ,x)eXo 10,Xxoe1,In xqxq0 即 In xqX max 1 ZXq112, ，22x2 22x2 x2 12x0，上單調(diào)

35、遞增， XmaxXq【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于難題6.已知函數(shù)f(x) xex,其中e 2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù)(1)求曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線方程；(2)證明：f (x) ln x 1.【答案】(1) 2ex y e 0 ； (2)證明見解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)得到f'(x) x 1 ex,計算f' 1 2e, f 1 e,得到答案. 分別證明xex x和x In x 1得到答案. x xx【詳斛】(1) f (x) xe ,貝U f'

36、;(x) e xe x 1 e ,貝U f' 1 2e, f 1 e.故切線方程為：y 2e x 1 e,即2ex y e 0.(2)當(dāng)x 0時，易知ex 1 ,故xex x;1 x 1現(xiàn)在證明：當(dāng) x 0 時，x Inx 1,設(shè) gx x Inx 1,則 g'x 1 .x x故當(dāng)x 1時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) 0 x 1,函數(shù)單調(diào)遞減.故g x min g 10, g x 0恒成立，故x Inx 1恒成立.故 xex x In x 1,即 f (x) In x 1,得證.【點睛】本題考查了切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力1 27.【江西省新八校 2020屆

37、圖三聯(lián)考】已知函數(shù) f (x) mln x - x (m 1)x m(m 0).2(1)討論函數(shù)f x的單調(diào)性；2(2)證明：對任意x (1,)都有£(刈2m m e恒成立.21 2【解析】(1)Q f(x) m ln x - x (m 1)x m(x 0)2一2f (x) m x (m 1) x (m 1)x m (x 1)(x m) xxx)上單調(diào)遞增，在 m,1上單調(diào)遞減;當(dāng) x 2y <2 0 時，f x 在(0, m),(1,當(dāng)m 1時，f (x) 0, f (x)在0,上單調(diào)遞增;當(dāng) m 1 時，f x 在 0,1 , m, 上單調(diào)遞增，在 1,m上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)0 m 1時，f x在1,2_ m_11_ 25-Q 2me(m2)e0,22