復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章ppt課件

1、 任何一個(gè)人，都必須養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，即使是今天任何一個(gè)人，都必須養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，即使是今天在學(xué)校的學(xué)生，也要養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，因?yàn)檫t早總要離開在學(xué)校的學(xué)生，也要養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，因?yàn)檫t早總要離開學(xué)校的！自學(xué)，就是一種獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的能力。行學(xué)校的！自學(xué)，就是一種獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的能力。行路，還是要靠行路人自己。路，還是要靠行路人自己。 科學(xué)是老老實(shí)實(shí)的學(xué)問，不可能靠運(yùn)氣來創(chuàng)造發(fā)明，科學(xué)是老老實(shí)實(shí)的學(xué)問，不可能靠運(yùn)氣來創(chuàng)造發(fā)明，對(duì)一個(gè)問題的本質(zhì)不了解，就是碰上機(jī)會(huì)也是枉然。入寶對(duì)一個(gè)問題的本質(zhì)不了解，就是碰上機(jī)會(huì)也是枉然。入寶山而空手回，原因在此。山而空手回，原因在此。 學(xué)習(xí)有兩個(gè)必經(jīng)的過程：

2、即學(xué)習(xí)有兩個(gè)必經(jīng)的過程：即“由薄到厚和由薄到厚和“由厚到由厚到薄的過程薄的過程.-華羅庚華羅庚2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念一一 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二二 解析函數(shù)概念解析函數(shù)概念三三 柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)zwz 0limzzfzzfz )()(lim000則稱則稱 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，)(zf0z設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，)(zfw 0z定義定義zz 0是是0z, )()(00zfzzfw 的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，假如假如存在有限的極限值存在有限

3、的極限值 A，且稱且稱 A為為 在在 處的導(dǎo)數(shù)，處的導(dǎo)數(shù)，)(zf0z. )(0zf 記作記作 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，)(zf在在 D 內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)即得內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)即得 的導(dǎo)的導(dǎo)(函函)數(shù)數(shù))(zf. )(zf )(zf則稱則稱 P22定義定義 2.1 .ddzAw 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 復(fù)變函數(shù)的微分復(fù)變函數(shù)的微分則稱則稱 在在 處可微，處可微，)(zfz設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，)(zfw zzz z定義定義是是的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)， 假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處

4、可微，則稱內(nèi)處處可微，則稱 在在 D 內(nèi)可微。內(nèi)可微。)(zf)(zf如果存在如果存在 A，使得，使得, ) | ()()(zozAzfzzfw 記作記作zA .dzAw 為微分，為微分，特別地，有特別地，有.dzz ( (考慮函數(shù)考慮函數(shù) 即可即可) )( )wf zz 導(dǎo)數(shù)反映的是導(dǎo)數(shù)反映的是“變化率變化率”；而微分更能體現(xiàn)；而微分更能體現(xiàn)“迫近的思迫近的思想。想。 補(bǔ)補(bǔ) 3. 可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系(1) 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微可微(2) 可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù) 由此可見，上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)是一樣的。由此可見，上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)是一樣的。 對(duì)二元實(shí)函數(shù)：對(duì)二元實(shí)

5、函數(shù)： 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微可微 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例1 .)(2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)4. 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則;)()( )()(zgzfzgzf ; )()()()( )()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf . )0)( zg(1) 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則P25 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由于復(fù)變函

6、數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復(fù)變函數(shù)中并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣, 因而實(shí)變函因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來數(shù)中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.4. 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(1) 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則. )()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則其中，

7、其中， 與與 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值)(wz )(zfw .0)( zf函數(shù)，且函數(shù)，且一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、解析函數(shù)概念二、解析函數(shù)概念則稱則稱 在在 點(diǎn)解析；點(diǎn)解析；)(zf0z(1) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 點(diǎn)以及點(diǎn)以及 點(diǎn)的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，點(diǎn)的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，)(zf0z0z定義定義(2) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)解析，內(nèi)的每一點(diǎn)解析，)(zf則稱則稱)(zf或者稱或者稱 是是 D 內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zf P25定義定義 2.2 ( (解析函數(shù)的由來解析函數(shù)的由來) )DGz0

8、:, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在區(qū)區(qū)域域閉閉區(qū)區(qū)域域且且則則稱稱在在閉閉區(qū)區(qū)域域 上上解解析析 記記作作(3)(2) 區(qū)域可導(dǎo)區(qū)域可導(dǎo) 區(qū)域解析。區(qū)域解析。關(guān)系關(guān)系 (1) 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo) 點(diǎn)解析；點(diǎn)解析；函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導(dǎo)的要求要高得多要比可導(dǎo)的要求要高得多.說說明明(3) 閉區(qū)域可導(dǎo)閉區(qū)域可導(dǎo) 閉區(qū)域解析。閉區(qū)域解析。奇點(diǎn)奇點(diǎn)000( ) , ( )( ).f zzzzfzzf如如果果函函數(shù)數(shù)在在但但在在 的的任任一一鄰鄰域域, ,那那末末稱稱為為不不解解析析都都有有的的析析點(diǎn)點(diǎn)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)解解通常泛指

9、的解析函數(shù)是容許有奇點(diǎn)的。通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點(diǎn)的。1wz 以以z=0為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)。u注解注解1、“可微有時(shí)也可以稱為可微有時(shí)也可以稱為“單演單演”，而，而“解析有時(shí)也稱為解析有時(shí)也稱為“單值解析單值解析”、“全純?nèi)儭?、“正則等；正則等；u注解注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；個(gè)整體概念；注解：注解：u注解注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得

10、到可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；在這個(gè)點(diǎn)解析；u注解注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注解：注解：性質(zhì)性質(zhì)(1) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù) 與與 的和、的和、差、積、商差、積、商(除去分母為零的點(diǎn)除去分母為零的點(diǎn))在在 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析。)(zf)(zg(2) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 z 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zg 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 在在 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析。 )( gfw 函數(shù)函數(shù) 在在 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 G 內(nèi)

11、解析，內(nèi)解析， )( fw 且對(duì)且對(duì) D 內(nèi)的每一點(diǎn)內(nèi)的每一點(diǎn) z，函數(shù)，函數(shù) 的值都屬于的值都屬于 G，)(zg二、解析函數(shù)概念二、解析函數(shù)概念極限不存在極限不存在( (見見1.3 )1.3 )討論函數(shù)討論函數(shù) 的解析性。的解析性。2|)(zzfw 例例zwz 0lim當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 z即即,0lim0 zwz;0)0( f當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 zzwz 0lim不存在。不存在。因而，因而， 僅在僅在 點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )( )(lim0解解,|)(2zzzzfw )(22yx 由由有有. )(lim0zzzzzz 討論函數(shù)討論函

12、數(shù) 的解析性。的解析性。yixzfw2)( 例例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 yx,2lim0 zwz當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 xy,1lim0 zwz因而，因而， 處處不可導(dǎo)，處處不解析。處處不可導(dǎo)，處處不解析。yixzfw2)( 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) 如何判別其解析性？如何判別其解析性？問題問題, ),(),()(yxviyxuzf 任務(wù)！任務(wù)！用定義討論函數(shù)的解析用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！性絕不是一種好辦法！三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件且滿足柯西

13、且滿足柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann )方程：方程： 和和 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可微，處可微，),(yxu),(yxv),(yx(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 方程方程)RC ,yvxu .xvyu 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo)),(),()(yxviyxuzfw 定理定理yixz 的充要條件是：的充要條件是： P24定理定理 2.2 .)(xvixuzf 求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件)(zf假設(shè)假設(shè)在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，yixz 那么那么uuixyvuiyy.vviyx( (關(guān)于關(guān)于C -RC -R條件條件) ) ( )( , )( , )

14、, ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi) 則則在在內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)可可( (微微) )導(dǎo)導(dǎo)的的是是在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) ( ) ( ) 在在點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足C-RC-R條條件件充充分分條條件件三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程2. 區(qū)域解析的充要條件區(qū)域解析的充要條件和和 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)可微，內(nèi)可微， 且且),(yxu),(yxv函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的內(nèi)解析的),(),()(yxviyxuzfw

15、 定理定理充要條件是：充要條件是：滿足滿足 C - R 方程。方程。推論推論在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)存在且連續(xù)，并滿足內(nèi)存在且連續(xù)，并滿足 C - R 方程，方程，),(),()(yxviyxuzfw 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析。和和 的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)若函數(shù)),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,則函數(shù)則函數(shù) P26定理定理 2.4 可知不滿足可知不滿足 C - R 方程，方程，解解 由由zw ,yix 有有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以所以 在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)， 處處不解析。處處不解析。zw 討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解

16、析性。的可導(dǎo)性與解析性。例例zw , )()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有有,322yxyv ,2 yxxv ,322yxxu ,2 yxyu ,0 yx由由 C - R 方程，方程， 所以所以 僅在僅在 點(diǎn)可導(dǎo)，點(diǎn)可導(dǎo)， 處處不解析。處處不解析。zw 2z)0,0(解解 由由zw 2zzz2| 討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性。的可導(dǎo)性與解析性。例例2zzw ,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性。的可導(dǎo)性與解析性。例例22)(yixzf ,yx 由由 C - R 方程，方程， 解解 由由,22yvxu 有有處處不解析。處處

17、不解析。所以所以 僅在直線僅在直線 上可導(dǎo)，上可導(dǎo)， yx 22)(yixzf xyyx ,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解解 由由有有,2222yxyDxCvByxyAxu 由由 C - R 方程可得方程可得,22yxDyAx , )2(2yDxCByxA 求解得求解得 .2,1,1,2 DCBA即得即得cyxf ),( (常數(shù)常數(shù)) )。(1) 由由 解析，解析，證證viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由由 解析，解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，為常數(shù)，證證0),( yxf( (常數(shù)常數(shù)) )

18、；(2) 由由 解析，解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由由 在在 D 內(nèi)為常數(shù)，內(nèi)為常數(shù)，| )(|zfavu 22( (常數(shù)常數(shù)) )，兩邊分別對(duì)兩邊分別對(duì) x , y 求偏導(dǎo)得：求偏導(dǎo)得： 假設(shè)假設(shè),0 uvvu 假設(shè)假設(shè),0 uvvu方程組方程組(A)只有零解，只有零解，即得即得cyxf ),( (常數(shù)常數(shù)) )。,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，為常數(shù)，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A) 小結(jié)與思考小結(jié)與思考 理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念概念; 掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之

19、間的關(guān)系以及求掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法；掌握函數(shù)解析的充要條件并能靈活運(yùn)導(dǎo)方法；掌握函數(shù)解析的充要條件并能靈活運(yùn)用用. 注意注意: 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣, 它們的一些求它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣, 然而復(fù)變函數(shù)極限然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與存在要求與z 趨于零的方式無關(guān)趨于零的方式無關(guān), 這表明它在這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.思考題思考題 ? )( 00解解析析有有無無區(qū)區(qū)別別可可導(dǎo)導(dǎo)與與在在在在點(diǎn)點(diǎn)復(fù)復(fù)

20、變變函函數(shù)數(shù)zzzf1、? ),(),()( 解解析析時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼條條件件判判斷斷yxivyxuzf 2、2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù),02222 yx 則稱則稱 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。),(yx 若二元實(shí)函數(shù)若二元實(shí)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，),(yx 定義定義且滿足拉普拉斯且滿足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程：方程： P27定義定義 2.3 P28定理定理 2.5

21、 二、共軛調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 及及 均為區(qū)域均為區(qū)域 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，),(yxu),(yxv定義定義函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充要內(nèi)解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理定理?xiàng)l件是：條件是：在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)，內(nèi)，v 是是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)。的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱則稱 v 是是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)。的共軛調(diào)和函數(shù)。注意注意 v 是是 u 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù) u 是是 v 的共軛調(diào)和函數(shù)。的共軛調(diào)和函數(shù)。 且滿足且滿足 C - R 方程：方程：,yvxu ,xvyu P28定義定義 2.4 三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)問題

22、問題 已知實(shí)部已知實(shí)部 u，求虛部，求虛部 v (或者已知虛部或者已知虛部 v，求實(shí)部，求實(shí)部 u )，使使 解析，且滿足指定的條件。解析，且滿足指定的條件。),(),()(yxviyxuzf 注意注意 必須首先檢驗(yàn)必須首先檢驗(yàn) u 或或 v 是否為調(diào)和函數(shù)。是否為調(diào)和函數(shù)。方法方法 偏積分法偏積分法 全微分法全微分法構(gòu)造解析函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù) 的依據(jù)：的依據(jù)：),(),()(yxviyxuzf 根據(jù)根據(jù) (1) u 和和 v 本身必須都是調(diào)和函數(shù)；本身必須都是調(diào)和函數(shù)； (2) u 和和 v 之間必須滿足之間必須滿足 C - R 方程。方程。方法方法 偏積分法偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解

23、析函數(shù)( ( 不妨僅考慮已知實(shí)部不妨僅考慮已知實(shí)部 u u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u 及及 C - R 方方程程(2) 將將 (A) 式的兩邊對(duì)變量式的兩邊對(duì)變量 y 進(jìn)展進(jìn)展(偏偏)積分得：積分得： yxuyyvyxvdd),(其中，其中， 知，而知，而 待定。待定。),(yxv)(x (3) 將將 (C ) 式代入式代入 (B ) 式，求解即可得到函數(shù)式，求解即可得到函數(shù). )(x 得到待定函數(shù)得到待定函數(shù) v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：,xuyv .yuxv (A)(B )cyxv ),(C ), )(x C方法方法三、構(gòu)造解析函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù) 全微分法全微分法 ( (

24、不妨僅考慮已知實(shí)部不妨僅考慮已知實(shí)部 u u 的情形的情形 ) )(1) 由由 u 及及 C - R 方程得到待定函數(shù)方程得到待定函數(shù) v 的全微分：的全微分：(2) 利用第二類曲線積分利用第二類曲線積分(與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)) 得到原函數(shù)：得到原函數(shù)：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中，其中， 或或0CC .21CC 故故 是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由由解解 (1) 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)),(yxu

25、驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 由由 ,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv , )(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由由解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv方法一：方法一： 偏積分法偏積分法驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif ,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法二：方法二： 全

26、微分法全微分法(利用第二類曲線積分利用第二類曲線積分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0 , 0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法三：方法三： 全微分法全微分法(利用利用“反微分法反微分法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx

27、.21212),(22cxyxyyxv , )2/d(d2)2/d(d222yyxxxy , )2/2/2d(22yxxy 驗(yàn)證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 解解 (2) 求虛部求虛部 。 ),(yxv解解 (3) 求確定常數(shù)求確定常數(shù) c根據(jù)條件根據(jù)條件,1)(iif 將將 代入得代入得1,0 yx,21 c. )21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得即得. )2121212()()(2222 xyxyixyyxzf221122.zzii驗(yàn)

28、證驗(yàn)證 為調(diào)和函數(shù)，并求以為調(diào)和函數(shù)，并求以),(yxu例例, )(zf的解析函數(shù)的解析函數(shù)使得使得為實(shí)部為實(shí)部xyyxu 22.1)(iif 2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)冪函數(shù)2.3.4 三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.3.5 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。的定義方式盡可能保持一致。 本節(jié)主要從下面幾個(gè)方面來討論復(fù)變函數(shù)中的

29、初等函數(shù)：本節(jié)主要從下面幾個(gè)方面來討論復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)：定義、定義域、運(yùn)算法則、連續(xù)性、解析性、單值性等等。定義、定義域、運(yùn)算法則、連續(xù)性、解析性、單值性等等。特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別。特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別。一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù),yixz )sin(coseyiywx 對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)稱稱定義定義為指數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù) ,記為記為 或或zwexp .ezw 注注(1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)都通過指數(shù)函數(shù)來定義。都通過指數(shù)函數(shù)來定義。(2) 借助歐拉公式，

30、指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz P31定義定義 2.5 , . (cossin)zxeeyiy ( (3 3) )沒沒有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào) 代代表表一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)(1) 是單值函數(shù)。是單值函數(shù)。ze事實(shí)上，對(duì)于給定的復(fù)數(shù)事實(shí)上，對(duì)于給定的復(fù)數(shù),yixz 定義中的定義中的 均為單值函數(shù)。均為單值函數(shù)。yyxsin,cos,e事實(shí)上，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有事實(shí)上，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有(2) 除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。ze當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， xy,0;e z當(dāng)當(dāng) 時(shí)，

31、時(shí)， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因?yàn)橐驗(yàn)樾再|(zhì)性質(zhì)(6) 是以是以 為周期的周期函數(shù)。為周期的周期函數(shù)。zeik2一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 的圖形的圖形ze二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。.Lnzw 記作記作zwLn zArgiz |ln即即zw e)(zfw 滿足方程滿足方程的函數(shù)的函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義定義計(jì)算計(jì)算 令令,|eeArg izirzz ,viuw 由由,ezw 有有,eee iviur , |lnlnzru .Argzv 由由 z 的模得到的模得到 w

32、的實(shí)部的實(shí)部 ；由由 z 的輻角得到的輻角得到 w 的虛部的虛部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P32定義定義 2.6 二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù) 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值主值(枝枝)zwLn 稱稱為為的主值的主值(枝枝)，zizwarg|ln .lnzw 記為記為故有故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支分支(枝枝)特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 xz的主值的主值 就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。zLnxzlnln 對(duì)于任意一個(gè)固定的對(duì)于任意一個(gè)固定的 k，稱，稱 為為 的的ikz2ln zLn一個(gè)分支一個(gè)分支

33、(枝枝)。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)在原點(diǎn)無定義，故它的定義域?yàn)樵谠c(diǎn)無定義，故它的定義域?yàn)閦wLn .0 z(1)(2)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，特別地，注意到，函數(shù)注意到，函數(shù)arg z在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。注意到，注意到，函數(shù)函數(shù)在原點(diǎn)無定義；在原點(diǎn)無定義；a rg z0.we或者指數(shù)函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)1dlnd()wwzze由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得由反函數(shù)

34、求導(dǎo)法則可得11.wez進(jìn)一步有進(jìn)一步有2dLnd(ln)ddzzkizz1d ln.dzzz( (在集合意義下在集合意義下) )二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)(3)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；zLnzln在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。特別地，特別地，三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：函函數(shù)數(shù)單單值值與與多多值值xlnzLnzln單值多值單值定定義義域域所有正實(shí)數(shù)所有非零復(fù)數(shù)所有非零復(fù)數(shù)注注解解一個(gè)單值時(shí)，0 xzxln為zln分支為對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖形的圖形主值主值 .2)(

35、lnii 解解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值主值 .42ln)1(ln)(ii ;)12(ik 解解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值主值 .)1(lni iki21ln 求對(duì)數(shù)求對(duì)數(shù) 以及它的主值。以及它的主值。)1(Ln 例例 可見，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的?？梢?，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對(duì)數(shù)的。 三、冪函數(shù)三、冪函數(shù)稱為復(fù)變量稱為復(fù)變量 z 的冪函數(shù)。的冪函數(shù)。 還規(guī)定：當(dāng)還規(guī)定：當(dāng) a 為正實(shí)數(shù)，且為正實(shí)數(shù)，且 時(shí)，時(shí)， 0 z

36、.0 z( ( 為復(fù)常為復(fù)常數(shù)，數(shù)， ) ) zw zzLne 定義定義 函數(shù)函數(shù) 規(guī)定為規(guī)定為0 z 注意注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定的方式定義了冪函數(shù)，規(guī)定的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種但不要將這種“規(guī)定方式反過來作用于指數(shù)函數(shù)，規(guī)定方式反過來作用于指數(shù)函數(shù)，.eLneLneeezzz ?即即 P33定義定義 2.7 討論討論此時(shí)，此時(shí)， 處處解析，且處處解析，且.)(1 zz z當(dāng)當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí), .lnLneeznznnz ( (單值單值) )(1)此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)外處處解析，且除原點(diǎn)外處處解析，且.)(1 zz z當(dāng)當(dāng) 為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí),

37、 .1nnzz (2)( (單值單值) )當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 .10 z(3)三、冪函數(shù)三、冪函數(shù)討論討論其中，其中，m 與與 n 為互質(zhì)的整數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)，且 .1 n(5) 當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)( )時(shí)，時(shí)， 0Im 當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)時(shí)為有理數(shù)時(shí), (4).nmnmzz ( ( 值值) )n此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析， z一般為無窮多值。一般為無窮多值。此時(shí)，此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。 z.)(1 zz且且三、冪函數(shù)三、冪函數(shù)13z的圖形的圖形解解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1,

38、0( k,)(22ek 可見，可見， 是正實(shí)數(shù)，是正實(shí)數(shù)，ii它的主值是它的主值是2.e 例例 求求 的值。的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求求 的值。的值。21例例1Ln22e1 解解 可見，不要想當(dāng)然地認(rèn)為可見，不要想當(dāng)然地認(rèn)為11. 四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)啟示啟示 由歐拉公式由歐拉公式,sincose ii 有有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函數(shù)余弦函數(shù); )(21coseeziziz 正弦函數(shù)正弦函數(shù). )(21sineeziziiz 定義定義

39、 P34定義定義 2.8 其它三角函數(shù)其它三角函數(shù)四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) 周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣；周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬；各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬； 有界性有界性(即即 )不成立。不成立。1|cos| ,1|cos| zz( (略略) ) sinz 的圖形的圖形cosz 的圖形的圖形tanz 的圖形的圖形iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例例 求求2coseei ii ii 根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有解解.2ee1 . )21sin(i

40、 例例 求求根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有解解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 五、反三角函數(shù)五、反三角函數(shù)記為記為.cosArczw 假如假如定義定義,coszw 則稱則稱 w 為復(fù)變量為復(fù)變量 z 的反余弦函數(shù)，的反余弦函數(shù)，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw計(jì)算計(jì)算, )(21coseewiwiwz 由由 同理可得同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz 反三角函數(shù)反三角函數(shù)Arctanz的圖形的圖形六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù);ch

41、shthzzz 雙曲正切函數(shù)雙曲正切函數(shù).shchcothzzz 雙曲余切函數(shù)雙曲余切函數(shù); )(21sheezzz 雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義定義雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù); )(21cheezzz P36定義定義 2.9 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)sinhz或或shz）六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲正切函數(shù)反雙曲正切函數(shù);11Ln21Arthzzz 反雙曲余弦函數(shù)反雙曲余弦函數(shù);1LnArch)(2 zzz反雙曲正弦函數(shù)反雙曲正弦函數(shù)定義定義;1LnArsh)(2 zzz反雙曲余切函數(shù)反雙曲余切函數(shù).11Ln21Arcoth zzzP36 小結(jié)與思考小結(jié)與思考 復(fù)變初等函數(shù)是

42、一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性質(zhì)本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性又有一些與后者不同的特性. 如如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性指數(shù)函數(shù)具有周期性) 2 (i周周期期為為2. 三角正弦與余弦不再具有有界性三角正弦與余弦不再具有有界性3. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)思考題思考題 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同哪些異同?本章總結(jié)本章總結(jié)1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導(dǎo)與解析

43、的判別方法：、函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法：1利用定義；利用定義； 2利用充分要條件利用充分要條件3、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系4、復(fù)變初等函數(shù)、復(fù)變初等函數(shù)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)連續(xù)連續(xù)初等解析函數(shù)初等解析函數(shù)判判別別方方法法可導(dǎo)可導(dǎo)解析解析指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)冪冪 函函 數(shù)數(shù)本章內(nèi)容總結(jié)本章內(nèi)容總結(jié)解析函數(shù)與調(diào)和解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系函數(shù)的關(guān)系第二章第二章 完完附：附：知識(shí)廣角知識(shí)廣角 解析函數(shù)的由來解析函數(shù)的由來 解析函數(shù)的名稱是康道爾西解析函數(shù)的名稱是康道爾西(Condorcet)首先使用的。他的首先使用的。他的研究報(bào)告沒有公

44、開出版，但有很多人知道他的工作。研究報(bào)告沒有公開出版，但有很多人知道他的工作。 在康道爾西使用該名稱在康道爾西使用該名稱 20 年之后，拉格朗日年之后，拉格朗日(Lagrange)也也使用了解析這個(gè)術(shù)語(yǔ)，他在使用了解析這個(gè)術(shù)語(yǔ)，他在中將能展開成中將能展開成級(jí)數(shù)的函數(shù)說成是解析函數(shù)。級(jí)數(shù)的函數(shù)說成是解析函數(shù)。 現(xiàn)在所使用的解析函數(shù)的概念，則基本上是在魏爾斯特拉現(xiàn)在所使用的解析函數(shù)的概念，則基本上是在魏爾斯特拉斯斯(Weierstrass)的著作中形成的。的著作中形成的。( (返回返回) ) 1755年，歐拉年，歐拉(Euler)也提到了上述關(guān)系式。也提到了上述關(guān)系式。附：附：知識(shí)廣角知識(shí)廣角 關(guān)于關(guān)于 C - R 條件條件,yvxu .xvyu 1746年，達(dá)朗貝爾年，