三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式張奕輝用簡

1、1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）誘導(dǎo)公式（一）：誘導(dǎo)公式（一）： 終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等sin(2 )sincos(2 )costan(2 )tankkk作答：作答：作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0 0到到 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .2 思考思考2:2: 給定一個給定一個角角. .（1 1）角）角-、+的終邊與角的終邊與角的終邊有什么關(guān)的終邊有什么關(guān) 系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？（2 2）角）角-的的終邊與角的的終邊與角的終邊有什么關(guān)系？它們

2、的的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？的終邊yxOA(1,0)r =1的終邊的終邊1( , )P x y的終邊的終邊x xy yO O角角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為為P P1 1(x,y).(x,y).角角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn) 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 2P , xy1( , )P x y2P由三角函數(shù)的定義得：由三角函數(shù)的定義得：sincostanyxyxsin()cos()tan()yxyx誘導(dǎo)公式（二）誘導(dǎo)公式（二）sin()sincos()costan()tan xyO1( , )P x y誘導(dǎo)公式（三）誘導(dǎo)公式

3、（三）sin()sincos()costan()tan 正弦正切為奇函數(shù)、余弦為偶函數(shù)。正弦正切為奇函數(shù)、余弦為偶函數(shù)。sincostanyxyxyxyxxyO1( , )P x y4(, )Px ysin()sincos()costan()tan誘導(dǎo)公式（四）誘導(dǎo)公式（四）sincostanyxyxyxyx)k(tan)2k(tan)k(cos)2k(cos)k(sin)2k(sinZZZ （公式一）（公式一） tan)(tancos)cos(sin)sin(（公式二）（公式二）tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式三公式三）tan)tan(cos)cos(sin)sin(（

4、公式四）（公式四）討論：討論：觀察四組公式，如何用一句話來概括？它們的作用觀察四組公式，如何用一句話來概括？它們的作用是什么？是什么？簡記為簡記為“函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限”.作用是把任意角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)作用是把任意角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù).、)k(2kZ、的三角函數(shù)值，等于的三角函數(shù)值，等于的同名三角函數(shù)值前面加上把的同名三角函數(shù)值前面加上把看作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號看作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號. .答：答：例例1.1.求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值225cos) 1 ()45180cos(45cos22311sin)2()34sin(3sin23

5、四.例題分析例例1.1.求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值)316sin()3(316sin)35sin()3sin(23)2040cos()4(2040cos)2403605cos(240cos)60180cos(60cos21四.例題分析例例2 2 化簡化簡解：解：cos 180sin360.sin180cos180 sin180sin180 sin 180sinsin, cos180cos180cos 180cos , 所以所以原式原式cossin1.sincos 討論討論: :你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函 數(shù)的步驟嗎？數(shù)的步

6、驟嗎？任意負(fù)角的任意負(fù)角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)銳銳角的三角的三角函數(shù)角函數(shù)用公式三或一用公式三或一 的角的的角的三角函數(shù)三角函數(shù)02用公式一用公式一用公式二或四用公式二或四1.1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)： 131 cos9 2 sin 1 3 sin5 4 cos70 64cos9sin1sin5cos70 62.2.利用公式求下列三角函數(shù)值：利用公式求下列三角函數(shù)值： 1 cos420 72 sin6 3 sin1320 794 cos6121232323.3.化簡化簡 1 sin180cossin180 32 si

7、ncos 2tan2sincos4sin sin(1440) cos(1080 )3cos( 180) sin(180 )1例3、已知 ， 是第四象限角，求 的值53)cos(tan53cos)cos(53cos解：由解：由 得得 ， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?是第四象限角是第四象限角 所以所以34tan32sin334sin2)3sin(1、0)180cos()180sin()360sin()180cos(2、化簡123233232【例例1 1】求下列各式求下列各式的值：的值：（1 1）sinsin( () )；(2)cos(2)cos(6060) )sin(sin(210210) )【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)

8、】利用誘導(dǎo)公式將負(fù)角化為正角，進(jìn)而化為銳利用誘導(dǎo)公式將負(fù)角化為正角，進(jìn)而化為銳角三角函數(shù)求值角三角函數(shù)求值. .43【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）sinsin( () )= =433sin()sin332；110.22（2）原式）原式=cos60 +sin(180 +30 )=cos60 sin30 =【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】求下式的值求下式的值：2sin(2sin(1 1101 110) ) sin960sin960+ +cos(-225cos(-225)+cos(-210)+cos(-210) )【解析解析】原式原式=2sin(-3=2sin(-3360360-30-30)-sin(2)-si

9、n(2360360+240+240)+)+cos(180cos(180+45+45)+cos(180)+cos(180+30+30) )=2sin(-30=2sin(-30)-sin240)-sin240- -cos45cos45-cos30-cos30= =-2.=-2.2221323222222 【例例2 2】已知已知sin(+sin(+)=)=求求cos(5+)cos(5+)的值的值. .1,3【規(guī)范解答規(guī)范解答】因?yàn)橐驗(yàn)閟in(+sin(+)=)=所以所以sinsin= =當(dāng)當(dāng)是第一象限角時(shí)，是第一象限角時(shí)，cos(5+)=cos(5+)=cos(+cos(+)=-)=-coscos當(dāng)

10、當(dāng)是第二象限角時(shí)，是第二象限角時(shí)，cos(5+)=cos(5+)=cos(+cos(+)=)=綜上，綜上，cos(5+)cos(5+)的值為的值為1,31.322 21 sin.3 22 2cos1 sin.3 2 2.31. 1. 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程, ,理解理解 “ “函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限”2. 2. 作用作用: : 將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到銳角三角函數(shù)將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到銳角三角函數(shù). .1.1.對于誘導(dǎo)公式中的角對于誘導(dǎo)公式中的角，下列說法正確的是，下列說法正確的是( )( )( (A)A)一定是銳角一定是銳角 (B)0(B

11、)022( (C)C)一定是正角一定是正角 ( (D)D)是使公式有意義的任意角是使公式有意義的任意角【解析解析】選選D.D.由誘導(dǎo)公式的概念可知，角由誘導(dǎo)公式的概念可知，角可以取使公式可以取使公式有意義的任意角有意義的任意角. .2.2.下列各式不正確的是下列各式不正確的是( )( )( (A)sinA)sin（180180）= =sinsin ( (B)cosB)cos（）= =coscos（）( (C)sinC)sin（360360）= =sinsin( (D)cosD)cos（)=)=coscos（）【解析解析】選選B.B.對于對于B B，coscos（）= =coscos -( -(

12、-)=)=coscos（），而不是），而不是coscos（）. .3.3.化簡化簡sin(sin(2)+cos(2)+cos(2 2)tan(2)tan(24)4)所得的結(jié)果是所得的結(jié)果是( )( )（A A）2sin22sin2 (B)0(B)0 (C)(C)2sin22sin2 (D) (D) 1 1【解析解析】選選C.sinC.sin( (2)+cos(2)+cos(2 2)tan(2tan(24)=4)=-sin2+cos(2+)-sin2+cos(2+)tan2=-sin2-cos2tan2=tan2=-sin2-cos2tan2=2sin2.2sin2.4.tan2 0114.ta

13、n2 011與與tan2 012tan2 012的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_. .【解析解析】tan2011tan2011=tan(5=tan(5360360+211+211)=)=tan211tan211=tan31=tan31, ,同理同理tan2 012tan2 012=tan32=tan32. .因?yàn)橐驗(yàn)閠an31tan31tan32tan32, ,所以所以tan2011tan2011tan2 012tan2 012. .答案答案: :tan2 011tan2 011tan2 012tan2 0125.5.化簡化簡【解析解析】原式原式= = 答案答案: :-1-1costan 7_.si

14、ncos tan1.sin yx01-1-11P(x,y)P(y,x)sinsin. .) )2 2cos(cos(coscos, ,) )2 2sin(sin(: :公式五公式五兩角互余，一角正弦等于另一角余弦兩角互余，一角正弦等于另一角余弦sinsin. .) )2 2cos(cos(coscos, ,) )2 2sin(sin(: :公式公式六 2sin因因?yàn)闉?2sin 2sin4公公式式 cos5公公式式總結(jié)總結(jié)：公式五，六口訣：公式五，六口訣：函數(shù)名改變，符號看象限；函數(shù)名改變，符號看象限；sinsin. .) )2 2cos(cos(coscos, ,) )2 2sin(sin(

15、: :公式公式六sinsin. .) )2 2cos(cos(coscos, ,) )2 2sin(sin(: :公式五公式五1.1.已知已知RR，則，則coscos( ()=()=( ) )( (A)sinA)sin( (B)cosB)cos(C(C)-)-sinsin(D(D)-)-coscos【解析解析】選選C.cosC.cos( ()=-)=-sinsin. .222.2.若若cos65cos65=a=a，則，則sin25sin25的值是的值是( )( )【解析解析】選選B.sin25B.sin25=sin(90=sin(90-65-65)=cos65)=cos65=a.=a. 22A

16、aB aC1 aD1 a3.3.若若sinsin( ()0 0，則，則是是( )( )(A)(A)第一象限角第一象限角(B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角(D)(D)第四象限角第四象限角【解析解析】選選B.sinB.sin( ()=)=coscos000，是第二象限角是第二象限角. .2222例例1 1 證明：證明：（1 1） （2 2） 3sincos2 3cossin .2 證明證明: : (1)(1)3sinsin22sincos2 證明證明: : (2)(2)3coscos22cossin .2 例題例題2 29 9sinsinsinsin3 3sinsin

17、coscos2 21111coscos2 2coscoscoscos2 2sinsin例2.化簡例2.化簡tan等于等于)2sin( )2sin(.)2cos(.)2cos(.)23sin(. DCBAA的值是的值是則則在第四象限，在第四象限，)23sin(54)2cos( 54.53.53.53.DCBA A【例例】已知已知ABCABC的三個內(nèi)角分別為的三個內(nèi)角分別為A A，B B，C C，求證：，求證：（1 1）cosA=-coscosA=-cos（B+CB+C）；）；（2 2）BCAsincos.22【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）A+B+C=A+B+C=,A,A=-(B+C),=-(B+

18、C),cosAcosA= =coscos-（B+CB+C）=-=-coscos（B+CB+C）. .（2 2）A+B+C=A+B+C=，BCA222，BCAAsinsin()cos.2222【變式備選變式備選】已知已知A A、B B、C C為為ABCABC的三個內(nèi)角，求證：的三個內(nèi)角，求證：（1 1）sinsin（A+BA+B）= =sinCsinC；（2 2）【證明證明】（1 1）A+B+C=A+B+C=，A+B=-CA+B=-C，sinsin（A+BA+B）=sin=sin（-C-C）= =sinCsinC. .（2 2）A+B+C=A+B+C=，ABCcossin.22ABC.222AB

19、CCcoscos()sin.2222等于等于則則10cos,280sinm 221:1:mDmCmBmAB )22cos()22sin(21 2cos2sin 【互動探究互動探究】若若cos(-cos(-)=)=則則sin(5+sin(5+）的值是多少？的值是多少？【解析解析】cos(-cos(-)=)=又又22，sin(5+)=sin(5+)=sin(+sin(+) )=-=-sinsin= =1 3,2 .3 2 11,cos,33 3222 21 cos.3 【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】化簡化簡【解析解析】原式原式= = = =sin2n1sin2n1.sin2ncos2n sinsinsin

20、cos 2sin2.sin coscos6.6.計(jì)算：計(jì)算：sin315sin315-sin(-480-sin(-480)+cos(-330)+cos(-330) )【解析解析】原式原式 =sin(360=sin(360-45-45)+sin(360)+sin(360+120+120)+cos(-360)+cos(-360+30+30) )=-sin45=-sin45+sin60+sin60+cos30+cos30= =23.2sin(21) 2sin(21) ().sin(2)cos(2)nnnZnn 例例4 4 化簡：化簡：sin()22sin()2sin(2)cos(2)nnnnsin2

21、sinsincosaaaa-=3cosa= -解：解：原式原式= =252525sincostan()6341.1.計(jì)算：計(jì)算： 3sincos24sincos 9tan2.2.已知已知，則，則 015222cos(4 )cos ()sin (3 )sin(4 )sin(5)cos () 3.3.化簡（化簡（1 1）（2 2）cos2sincos 2.52sin2（）（）（）(1)-cos(2)sincos【例例1 1】已知已知為第三象限角，為第三象限角，(1)(1)化簡化簡f(f() )；(2)(2)若若求求f(f() )的值的值. .【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】解答此題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式對解答此

22、題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式對f(f() )進(jìn)行進(jìn)行化簡，進(jìn)而利用化簡，進(jìn)而利用 求出求出coscos的值以達(dá)到求的值以達(dá)到求f(f() )的目的的目的. .3sin()cos()tan()22f( ).tan()sin() 31cos()25，31cos()25【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1) = =-=-coscos(2)(2)從而從而又又為第三象限角，為第三象限角，即即f(f() )的值為的值為( cos )sintantansin 311cos(),sin,255 1sin.5 22 6cos1 sin,5 2 6.53sin()cos()tan()22f( ).tan()sin() 【變式

23、訓(xùn)練變式訓(xùn)練】化簡：化簡：【解析解析】原式原式= = = =3sin(2)cos()tan()233sin()sin()sin()cos(2)22sinsintansincoscos cos 22222sinsin1sincossin coscoscoscos22221 sincos1.coscos【例例2 2】求證：求證：tan(2)sin( 2)cos(6)tan33sin()cos()22 左邊左邊= = = = =tansincossin 2()cos2()22( tan )sincossin()cos(22）22sinsincos sinsin()cos()22sintan .cos

24、 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】求證：求證：【解題提示解題提示】左繁右簡，很顯然從左邊推向右邊左繁右簡，很顯然從左邊推向右邊. .【證明證明】 左邊左邊= = =1+tan=1+tan2 2x=x=右邊右邊. .所以原等式成立所以原等式成立. .22cos x5tan 2xtanx1tan x3cos(x)2 2cosx tanxtan xcos(x)222cosxtanxsinxtan xtan xsinxsinx【典例典例】(12(12分）若分）若求求的值的值. .3sin3 ，coscos 233cossin() 1cossin()sin()222 【規(guī)范解答規(guī)范解答】原式原式= = =7 7分分

25、 1111分分即原式即原式= =6. 6. 1212分分coscoscoscos1cos coscos 2112.1cos1 cossin22322sin,6.3sin3()3 4.sin4804.sin480= =_. .【解析解析】sin480sin480=sin120=sin120=sin(90=sin(90+30+30)=cos30)=cos30= = 答案答案: :3.2325.5.已知已知sin(sin( )=m)=m，則，則cos(-cos(-)=)=_. .【解析解析】sinsin( ()=)=m m，coscos=m=m，cos(-cos(-)=-)=-coscos=-m.=

26、-m.答案答案: :-m-m226.6.化簡化簡【解析解析】原式原式= = =cos()2sincos 2.5sin()2cos()2sin cos()sin()22sinsin cossin.cos 【典例典例】(12(12分分) )化簡化簡【審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)】觀察本例題目可以發(fā)現(xiàn)觀察本例題目可以發(fā)現(xiàn)故可用誘導(dǎo)公式加以求解故可用誘導(dǎo)公式加以求解. .4n14n1cos(x)cos(x) nZ .44（）4n14n1(x)(x)2n ,44【規(guī)范解答規(guī)范解答】4 4分分原式原式= = = = 7 7分分4n14n1x)x)2n44（，4n14n1cos(x)cos2n(x)444n12cos(x)2cos(nx).44【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】化簡下列各式：化簡下列各式：【解析解析】(1)(1)原式原式= = =（2 2）