【KS5U解析】天津市濱海新區(qū)四校2020屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)試卷本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時(shí)間120分鐘.第卷選擇題(共45分)注意事項(xiàng)：1.答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂在答題卡規(guī)定的位置上.2.第卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；參考公式：·如果事件、互斥，那么柱體的體積公式.其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，滿分45分.1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出的補(bǔ)集，再求交集【詳解】由題意，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，掌握集合運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵2.已知直線

2、，和平面，若，則“”是“”的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及充分條件和必要條件的判定方法，即可得到“”是“”的必要不充分條件【詳解】由線面垂直的判定定理得：若，則“”不能推出“”， 由“”，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得“”， 即“”是“”的必要不充分條件， 故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件的判定，以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，其中解答中熟記線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，合理利用充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.將某

3、市參加高中數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生成績分成6組，繪成頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)按成績運(yùn)用分層抽樣的方法抽取100位同學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)方法座談，則成績?yōu)榻M應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)6個(gè)矩形面積之和等于1求出，再用樣本容量乘以第4個(gè)矩形的面積即可得到答案.詳解】依題意得，解得，所以成績?yōu)榻M應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.4.已知正方體的表面積為，若圓錐的底面圓周經(jīng)過四個(gè)頂點(diǎn)，圓錐的頂點(diǎn)在棱上，則該圓錐的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)正方體的表面積求出，再求出圓錐的底面積和高

4、代入圓錐的體積公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則，所以，所以圓錐的底面半徑為，所以底面積為，又圓錐的高為，所以圓錐的體積為.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了正方體與圓錐的組合體，考查了正方體的表面積，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先得出在上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以，且在上為增函數(shù)，因?yàn)?，且，所以，?故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇

5、偶性和單調(diào)性，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若三角形（為原點(diǎn)）的面積，則雙曲線的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，聯(lián)立直線與漸近線方程得出的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與準(zhǔn)線方程得出的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積得出，再結(jié)合，可解得結(jié)果.詳解】由得，所以，所以直線，拋物線的準(zhǔn)線為：，聯(lián)立可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和雙曲線的

6、幾何性質(zhì)，考查了三角形的面積，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)的最小正周期為，若將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式，利用該函數(shù)的最小正周期可求得的值，利用平移變換求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)為奇函數(shù)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】，由于函數(shù)最小正周期為，則，則，將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.因此，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的周期性、奇偶性求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象平移變

7、換求函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.已知，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于恒成立，則的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】基本量法求出的公比，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得，然后求出的最小值，再解相應(yīng)的不等式可得【詳解】設(shè)數(shù)列的公比是，又，解得，它是關(guān)于的增函數(shù)，由，解得故選：a【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查數(shù)列的最值，掌握等比數(shù)列基本時(shí)運(yùn)算是解題關(guān)鍵9.在平面四邊形中，為中點(diǎn)，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】在上取點(diǎn)，使得，由得出，從而可得，是和的中點(diǎn)，從而由可求得的長，再用表示出，進(jìn)行數(shù)

8、量積的運(yùn)算【詳解】在上取點(diǎn)，使得，連接交于，即，又，設(shè)，則，是中點(diǎn)，又，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是作圖，在上取點(diǎn)，使得，由得出，利用圖形進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算第卷非選擇題(共105分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應(yīng)橫線上.10.為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】【分析】由除法運(yùn)算化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解【詳解】為純虛數(shù)，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的分類，掌握復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵11.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為_【答案】【解析】試題分析：由題意得的展開式中的通項(xiàng)為，令，解得，

9、所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)為，若，則_.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意列出不等式組，解不等式可得到，再計(jì)算即可.【詳解】由題知：，解得：，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡單題.13.已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，直線垂直平分弦，則的值為_，弦的長為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由題意可知直線與直線垂直，可求得的值，并且直線過圓心，可求得實(shí)數(shù)的值，然后將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)和半徑，并計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦的長.【詳解】由題意可知，直線與直線垂直，可得，由于方程表

10、示的曲線為圓，則，解得，且圓的圓心坐標(biāo)為，圓心在直線上，所以，解得，所以，圓的方程為，即，圓心坐標(biāo)為，半徑長為，圓心到直線的距離為，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線垂直求參數(shù)，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是求出圓的方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14.設(shè)，則最小值為_.【答案】【解析】分析】由題意結(jié)合基本不等式可得，再利用基本不等式，驗(yàn)證等號(hào)同時(shí)成立即可得解.【詳解】，當(dāng)且即，時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立，的最小值為1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，在連續(xù)使用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)是否能同時(shí)成立，屬于中檔題.15.已知，函

11、數(shù)（1）若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_；（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組即可.（2）首先根據(jù)已知條件得到，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由題知：，解得.（2）因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且，所以，解得.所以，函數(shù)的圖象如圖所示：令，解得，即.當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.故答案為：；【點(diǎn)

12、睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.三、解答題：本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（1）求角和的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得、，求出后，再利用余弦定理即可求得，即可得解；（2）由正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角恒等變化可得、，再利用正弦的差角公式即可得解.【詳解】（1）由題意結(jié)合正弦定理得，則，又，所以；由，解得或（舍去），所以；（2）由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，為銳角，所以，所以，因此

13、.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了三角恒等變換的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.17.全民參與是打贏新型冠狀病毒防疫戰(zhàn)的根本方法.在防控疫情的過程中，某小區(qū)的“卡口”工作人員由“社區(qū)工作者”“下沉干部”“志愿者”三種身份的人員構(gòu)成，其中社區(qū)工作者3人，下沉干部2人，志愿者1人.某電視臺(tái)某天上午隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，某報(bào)社在該天下午隨機(jī)抽取1人進(jìn)行訪談.（1）設(shè)表示上午抽到的社區(qū)工作者的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“全天抽到的名工作人員的身份互不相同”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）的可能值為，分別求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的

14、概率，然后做出分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望. （2）身份互不相同為：抽到一名社區(qū)工作者，一名下沉干部，一名志愿者.分類討論逐一計(jì)算即可求出概率.【詳解】解：（1）的可能值為.（每個(gè)）所以隨機(jī)變量的分布列為012（2）身份互不相同為：抽到一名社區(qū)工作者，一名下沉干部，一名志愿者，上午同時(shí)抽取兩個(gè)，情況為，下午抽取一個(gè)，情況為，所以所以事件發(fā)生的概率.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的分布列、期望和方差，考查求互斥事件的概率，考查概率的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.18.如圖，四棱錐中，側(cè)面底面，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，若存在求出的

15、長，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可證明且，從而證明，進(jìn)而可證明平面；（2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法可求出二面角的余弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，利用向量法求與平面所成角的正弦值為時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷是否在線段上，進(jìn)而求出的長.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，即，所以為平行四邊形，平面，平面，因此平面.（2）解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面且交線為，所以平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則令，得.所以，因此二面角的余弦值為.（3）解：設(shè)，平面的法向量，所以，解得或（

16、舍），所以存在，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理，考查向量法求線面角，考查滿足線面角的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19.已知橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與的斜率的乘積為，關(guān)于軸對(duì)稱，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可知，點(diǎn)代入方程即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓即可求m，由與的斜率的乘積為可求的斜率，聯(lián)立與橢圓可得n，根據(jù)m、n關(guān)于y軸對(duì)稱即可求出k.【詳解】（1）因?yàn)?，即，又橢圓過點(diǎn)，所以，解得，橢圓方程為.（2

17、）設(shè)直線的方程為，則得，解得，所以.因?yàn)橹本€的斜率乘積為，所以直線的方程為，同理可得.因?yàn)閙，n關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，即，解得.所以直線的斜率為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.20.設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（3）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，再求得，寫出切線方程.（2）令，求導(dǎo)，設(shè)，則，結(jié)合，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再利用零點(diǎn)存在定理求解.（3）設(shè)，則，將證明，轉(zhuǎn)化為證明成立，易知恒成立，則要證，只需證為單調(diào)遞減函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)法證明即可.